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北京师范大学访问学者，泉州师范学院副教授，主要从事小学数学教师培养与小学数学教学研究。现为教育部“国培计划”高端研修项目小学数学“种子”教师，福建省小学数学学科带头人培养基地首席专家，福建省首批基础教育教师培训专家。近年来带领教学团队专门开展数学“四基”的教学实践研究。
2001年教育部颁布实施了《义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《实验稿课标》），标志着我国21世纪初新一轮数学课程改革的开始，教学理念的革新和学习方式的转变是本次课程改革的主要内容，“数学从生活中来”这一理念深入人心，课改初期“数学知识生活化、数学教学情景化”等呼声非常高，然而，在改革过程中，许多数学家和数学教育家看到了数学课堂价值取向出现了严重的问题，纷纷呼吁“数学课堂应有数学味”，倡导数学教学“数学化”和“去情景化”，这一轮课改的后期数学课堂开始逐步从“感性”回归到“理性”的思考。
以史宁中教授为组长的课程标准修订组，对《实验稿课标》进行了修订，2011年教育部颁布实施了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《2011年版课标》）。《2011年版课标》在原来“双基”的基础上，明确提出了“四基”的目标要求，“四基”是我国数学教育发展过程中的一个新的提法，是我国数学课程改革的一次重大突破，明确提出了数学思想是数学教学的精髓，是数学课堂教学的主要内容和基本要求。那么，当下回归到理性思考，我国义务教育阶段数学课堂的教学价值取向如何？
2014年5月22日～23日首届华人数学教育会议在北京师范大学召开，笔者应邀做了主题发言，提出如下教学主张：数学“四基”不应该成为一种教学摆设，而应成为教师的一种自觉行为，教师在平时教学过程中，应该有意识地从数学“四基”的角度去分析教材，分析学情，设计教学，评价反思，并且通过融入数学思想、突出数学思考等方式，让课堂焕发数学应有的魅力！下面，笔者围绕这一教学主张，结合教学实践课例，与大家商榷三个问题！
一、是什么
在数学教学中，为了能够更好地融入数学思想的教学，达成数学“四基”教学的目标要求，让课堂焕发出数学应有的魅力，首先我们必须明确数学思想是什么？《2011年版课标》指出：数学思想是数学知识与方法在更高层面上的抽象与概括。这个定义告诉我们：数学思想高于数学知识和数学方法，同时，数学思想与数学知识和数学方法又是密切相关的，它们不是相互孤立、相互割裂的，而是一个相互联系的有机整体，也就是数学思想离不开数学知识和数学方法。笔者在教学实践中还感悟到：数学思想是一种稳固的思维模式，是数学思考的一种更高境界，也就是，数学思想还与数学思考和思维模式紧密相关。
除此之外，我们还必须进一步明确数学的基本思想是什么？在小学数学中，常见的数学思想有哪些？史宁中教授认为：数学的基本思想不应当是个案的，而必须是一般的，需要满足两个条件，一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人所具有的思维特征，根据这两个标准，他归纳出数学的三种基本思想，即抽象思想、推理思想和建模思想。在小学数学中，常见的数学思想是由基本思想演绎出来的一些具有操作性的下位数学思想，如由抽象思想派生出的分类思想、对应思想、集合思想、极限思想、变中不变思想、数形结合思想、符号表示思想等，由推理思想派生出的转化思想、类比思想、归纳思想、演绎思想、逼近思想、代换思想等，由建模思想派生出的量化思想、简化思想、方程思想、函数思想、优化思想等。
二、在哪里
为了在课堂教学过程中更好地融入数学思想的教学，让课堂焕发出数学应有的魅力，除了明确数学思想是什么，有哪些，还应该更进一步明确数学思想一般都蕴含在哪里？只有明确这个问题，我们才能知道到哪里去寻找数学思想，教师在分析教学内容时也才能更好地挖掘出数学知识背后所蕴含的数学思想，才能更好把握教学内容的数学本质。《2011年版课标》指出：数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中。因此，当我们要从数学思想的角度去把握教学内容的数学本质时，就可以从以下三个方面去思考和分析。
1.数学知识的产生过程。一般来说，数学知识的产生常常伴随着数学概念的形成，也就是在数学概念的形成过程中，往往蕴含着数学思想。数学概念是数学知识的重要内容，是数学知识得以发展的重要基础，是学生学好数学知识的关键，在小学数学“数与代数”和“图形与几何”两个领域中，主要的数学概念有：数的概念、运算的概念、方程的概念、图形的概念、周长的概念、面积的概念和体积的概念等。在这些数学概念的形成过程中都蕴含着抽象思想，主要包括对应思想、符号表示思想、分类思想、集合思想等。
比如：0的认识和分数初步认识这两节课，在0和分数的产生过程中，都必须经历一个从生活到数学的逐步抽象过程，最终用一个新的数学符号“0”和“1/2”分别来表示“没有”和“一半”，在这个过程中蕴含着符号表示思想和一一对应思想。再如：方程的认识这节课，在方程概念的形成过程中，也必须经历一个逐步抽象的过程，这个过程通常包含着等式、不等式以及含有未知数、不含未知数等四个方面要素两次分类的过程，分类的结果就产生新的集合。因此，在方程概念形成过程中主要蕴含着分类思想和集合思想。
2.数学知识的发展过程。在数学知识的发展过程中，常常是在一些已经形成数学的概念基础上，经过逻辑推演得出一些新的数学結论，以此推动数学向前发展，不断完善并建构了数学的知识体系。在小学数学“数与代数”和“图形与几何”两个领域中，主要的数学知识就是在数、运算、方程、图形、周长、面积、 体积等概念的基础上，经过逻辑推演得到了一系列新的数学结果，形成了数与代数和图形与几何的知识体系，在这个过程中常常蕴含着推理思想。推理是数学思考的一种重要形式，推理思想主要包括归纳思想、转化思想和类比思想等。
比如：在平行四边形、三角形、梯形、圆以及面积等概念的基础上，经过逻辑推演就可以推导出相应几何图形的面积公式，在平行四边形和圆的面积公式推导过程中，都是把它们转化成长方形的面积问题，在三角形和梯形的面积公式推导过程中，都是把它们转化成平行四边形的面积问题，在这些面积公式的推导过程中，都蕴含着归纳思想和转化思想等。 3.数学知识的应用过程。数学知识的应用主要是指数学概念和数学结论的具体应用过程，大致包括两个方面：一是數学知识在数学问题上的应用，二是数学知识在生活实际问题中的应用，在这些过程中通常也都会蕴含着一些数学思想。比如：在一个三角形中，A=30°，B=100°，求C=？，这就是“三角形内角和180度”这一数学结论在数学问题上的一个具体应用，这是一个从一般到特殊的演绎过程，因此，在这个过程中蕴含着演绎思想。另外，数学知识在生活实际问题中的应用，常常蕴含着建模思想，一般地，运用数学知识解决实际问题的过程，必须经历以下三个主要步骤：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，然后用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，最后求出结果并讨论结果的意义。在这个过程中包含着建模的过程，蕴含着模型思想。
三、怎么办
经过前面两个问题的讨论，我们已经明确了数学思想是什么，也了解了一般情况下数学思想蕴含在哪里，最后一个问题，也是最关键的问题，就是怎么办？也就是如何才能在数学教学中融入数学思想，突出数学思考，从而让课堂焕发出数学应有的魅力？笔者结合自身的教学实践与体会，主要总结以下三个方面：
1.要从数学思想的深度分析教材。分析教材是教学设计的关键和基础。从数学思想的深度分析教材是课堂教学融入数学思想的基础和保证，因此，教师在分析教材时，必须突破传统“双基”的分析方法，有意识地从“四基”的角度分析教材，在明确所教内容“基础知识”和“基本技能”的基础上，还要从“基本思想”和“基本活动经验”的角度分析教材，尤其是必须充分挖掘教学内容所蕴含的“数学思想”，认真把握教学内容的数学本质，这样才能为融入数学思想的教学设计奠定重要基础。比如：在“0的认识”“分数初步认识”“确定位置”等课例中，都蕴含着抽象思想中的符号表示思想和一一对应思想，在“分数的基本性质”“同分母分数的加法”“负数的认识”等课例中，都蕴含着抽象思想中的数形结合思想，在“9加几”“异分母分数的加法”“平行四边形的面积”“圆的面积”等课例中，都蕴含着转化思想等。
2.要从数学思想的高度设计教学。设计教学是课堂教学的关键和基础，从数学思想的高度设计教学是课堂教学融入数学思想的关键和保障。传统意义上的“双基”课堂，数学留给学生的印象只是想办法记住“结论”和无休止的“计算”，最终“谈数色变”，无法真正让学生体会数学的神奇，感悟数学的奥妙。因此，要让课堂焕发数学应有的魅力，教师在设计教学时，就必须突破传统“双基”的教学设计，有意识地从“四基”的角度设计教学。要在确保“双基”的基础上，从数学思想的高度整体把握教学内容的数学本质，并将数学思想融入整体的教学设计之中。比如：在“分数基本性质”“三角形边的关系”“三角形内角和”等课例中，可以从“变中有不变”的思想高度把握所教知识的数学本质，启发学生体会感悟：分数的分子和分母在“变”，而分数的大小“不变”；三角形的形状大小在“变”，而边的关系和内角和都“不变”。这样的整体设计，不仅把握住了所教内容的数学本质，而且能让学生真实体会到数学的神奇，感悟到数学的奥妙，从而让课堂焕发出数学应有的魅力！
3.要从数学思想的角度启发思考。启发思考是数学教学的基本任务，从数学思想的角度启发思考是课堂教学融入数学思想的重要举措。一般地，一堂课的整体教学设计方案往往是由一系列紧密相联的数学活动所构成，教师从数学思想的高度设计教学，最终必须落实到每一个细小的数学活动的设计之中，因此，教师的课堂教学实质上就是教学设计方案的具体实施过程。在这个过程中，教师是通过落实已经设计好的每一个细小数学活动，来实现整体的教学目标。然而，在落实每一个细小数学活动中，我们常常借助师生互动交流的形式得以实现，因此，在师生互动交流中，教师必须从数学思想的角度启发学生进行必要的数学思考，让学生感悟数学思想，这样才能真正让课堂焕发出数学应有的魅力！比如：在“平行四边形的面积”一课中，可以设计这么一个片段：让学生认真观察屏幕上的平行四边形，然后启发学生思考“如果它是什么图形那就好办了？”这时学生可以提取已有的知识经验，想到“如果它是个长方形就好办了”，此时教师接着启发学生思考：“你打算如何把它变成长方形？……”在这个师生互动交流的片段中，就是从“转化思想”的角度启发学生进行数学思考。（本文系2013年福建省教育厅A 类人文社科课题研究成果之一，项目编号：JA13253S）（作者单位：泉州师范学院）
2001年教育部颁布实施了《义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《实验稿课标》），标志着我国21世纪初新一轮数学课程改革的开始，教学理念的革新和学习方式的转变是本次课程改革的主要内容，“数学从生活中来”这一理念深入人心，课改初期“数学知识生活化、数学教学情景化”等呼声非常高，然而，在改革过程中，许多数学家和数学教育家看到了数学课堂价值取向出现了严重的问题，纷纷呼吁“数学课堂应有数学味”，倡导数学教学“数学化”和“去情景化”，这一轮课改的后期数学课堂开始逐步从“感性”回归到“理性”的思考。
以史宁中教授为组长的课程标准修订组，对《实验稿课标》进行了修订，2011年教育部颁布实施了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《2011年版课标》）。《2011年版课标》在原来“双基”的基础上，明确提出了“四基”的目标要求，“四基”是我国数学教育发展过程中的一个新的提法，是我国数学课程改革的一次重大突破，明确提出了数学思想是数学教学的精髓，是数学课堂教学的主要内容和基本要求。那么，当下回归到理性思考，我国义务教育阶段数学课堂的教学价值取向如何？
2014年5月22日～23日首届华人数学教育会议在北京师范大学召开，笔者应邀做了主题发言，提出如下教学主张：数学“四基”不应该成为一种教学摆设，而应成为教师的一种自觉行为，教师在平时教学过程中，应该有意识地从数学“四基”的角度去分析教材，分析学情，设计教学，评价反思，并且通过融入数学思想、突出数学思考等方式，让课堂焕发数学应有的魅力！下面，笔者围绕这一教学主张，结合教学实践课例，与大家商榷三个问题！
一、是什么
在数学教学中，为了能够更好地融入数学思想的教学，达成数学“四基”教学的目标要求，让课堂焕发出数学应有的魅力，首先我们必须明确数学思想是什么？《2011年版课标》指出：数学思想是数学知识与方法在更高层面上的抽象与概括。这个定义告诉我们：数学思想高于数学知识和数学方法，同时，数学思想与数学知识和数学方法又是密切相关的，它们不是相互孤立、相互割裂的，而是一个相互联系的有机整体，也就是数学思想离不开数学知识和数学方法。笔者在教学实践中还感悟到：数学思想是一种稳固的思维模式，是数学思考的一种更高境界，也就是，数学思想还与数学思考和思维模式紧密相关。
除此之外，我们还必须进一步明确数学的基本思想是什么？在小学数学中，常见的数学思想有哪些？史宁中教授认为：数学的基本思想不应当是个案的，而必须是一般的，需要满足两个条件，一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人所具有的思维特征，根据这两个标准，他归纳出数学的三种基本思想，即抽象思想、推理思想和建模思想。在小学数学中，常见的数学思想是由基本思想演绎出来的一些具有操作性的下位数学思想，如由抽象思想派生出的分类思想、对应思想、集合思想、极限思想、变中不变思想、数形结合思想、符号表示思想等，由推理思想派生出的转化思想、类比思想、归纳思想、演绎思想、逼近思想、代换思想等，由建模思想派生出的量化思想、简化思想、方程思想、函数思想、优化思想等。
二、在哪里
为了在课堂教学过程中更好地融入数学思想的教学，让课堂焕发出数学应有的魅力，除了明确数学思想是什么，有哪些，还应该更进一步明确数学思想一般都蕴含在哪里？只有明确这个问题，我们才能知道到哪里去寻找数学思想，教师在分析教学内容时也才能更好地挖掘出数学知识背后所蕴含的数学思想，才能更好把握教学内容的数学本质。《2011年版课标》指出：数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中。因此，当我们要从数学思想的角度去把握教学内容的数学本质时，就可以从以下三个方面去思考和分析。
1.数学知识的产生过程。一般来说，数学知识的产生常常伴随着数学概念的形成，也就是在数学概念的形成过程中，往往蕴含着数学思想。数学概念是数学知识的重要内容，是数学知识得以发展的重要基础，是学生学好数学知识的关键，在小学数学“数与代数”和“图形与几何”两个领域中，主要的数学概念有：数的概念、运算的概念、方程的概念、图形的概念、周长的概念、面积的概念和体积的概念等。在这些数学概念的形成过程中都蕴含着抽象思想，主要包括对应思想、符号表示思想、分类思想、集合思想等。
比如：0的认识和分数初步认识这两节课，在0和分数的产生过程中，都必须经历一个从生活到数学的逐步抽象过程，最终用一个新的数学符号“0”和“1/2”分别来表示“没有”和“一半”，在这个过程中蕴含着符号表示思想和一一对应思想。再如：方程的认识这节课，在方程概念的形成过程中，也必须经历一个逐步抽象的过程，这个过程通常包含着等式、不等式以及含有未知数、不含未知数等四个方面要素两次分类的过程，分类的结果就产生新的集合。因此，在方程概念形成过程中主要蕴含着分类思想和集合思想。
2.数学知识的发展过程。在数学知识的发展过程中，常常是在一些已经形成数学的概念基础上，经过逻辑推演得出一些新的数学結论，以此推动数学向前发展，不断完善并建构了数学的知识体系。在小学数学“数与代数”和“图形与几何”两个领域中，主要的数学知识就是在数、运算、方程、图形、周长、面积、 体积等概念的基础上，经过逻辑推演得到了一系列新的数学结果，形成了数与代数和图形与几何的知识体系，在这个过程中常常蕴含着推理思想。推理是数学思考的一种重要形式，推理思想主要包括归纳思想、转化思想和类比思想等。
比如：在平行四边形、三角形、梯形、圆以及面积等概念的基础上，经过逻辑推演就可以推导出相应几何图形的面积公式，在平行四边形和圆的面积公式推导过程中，都是把它们转化成长方形的面积问题，在三角形和梯形的面积公式推导过程中，都是把它们转化成平行四边形的面积问题，在这些面积公式的推导过程中，都蕴含着归纳思想和转化思想等。 3.数学知识的应用过程。数学知识的应用主要是指数学概念和数学结论的具体应用过程，大致包括两个方面：一是數学知识在数学问题上的应用，二是数学知识在生活实际问题中的应用，在这些过程中通常也都会蕴含着一些数学思想。比如：在一个三角形中，A=30°，B=100°，求C=？，这就是“三角形内角和180度”这一数学结论在数学问题上的一个具体应用，这是一个从一般到特殊的演绎过程，因此，在这个过程中蕴含着演绎思想。另外，数学知识在生活实际问题中的应用，常常蕴含着建模思想，一般地，运用数学知识解决实际问题的过程，必须经历以下三个主要步骤：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，然后用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，最后求出结果并讨论结果的意义。在这个过程中包含着建模的过程，蕴含着模型思想。
三、怎么办
经过前面两个问题的讨论，我们已经明确了数学思想是什么，也了解了一般情况下数学思想蕴含在哪里，最后一个问题，也是最关键的问题，就是怎么办？也就是如何才能在数学教学中融入数学思想，突出数学思考，从而让课堂焕发出数学应有的魅力？笔者结合自身的教学实践与体会，主要总结以下三个方面：
1.要从数学思想的深度分析教材。分析教材是教学设计的关键和基础。从数学思想的深度分析教材是课堂教学融入数学思想的基础和保证，因此，教师在分析教材时，必须突破传统“双基”的分析方法，有意识地从“四基”的角度分析教材，在明确所教内容“基础知识”和“基本技能”的基础上，还要从“基本思想”和“基本活动经验”的角度分析教材，尤其是必须充分挖掘教学内容所蕴含的“数学思想”，认真把握教学内容的数学本质，这样才能为融入数学思想的教学设计奠定重要基础。比如：在“0的认识”“分数初步认识”“确定位置”等课例中，都蕴含着抽象思想中的符号表示思想和一一对应思想，在“分数的基本性质”“同分母分数的加法”“负数的认识”等课例中，都蕴含着抽象思想中的数形结合思想，在“9加几”“异分母分数的加法”“平行四边形的面积”“圆的面积”等课例中，都蕴含着转化思想等。
2.要从数学思想的高度设计教学。设计教学是课堂教学的关键和基础，从数学思想的高度设计教学是课堂教学融入数学思想的关键和保障。传统意义上的“双基”课堂，数学留给学生的印象只是想办法记住“结论”和无休止的“计算”，最终“谈数色变”，无法真正让学生体会数学的神奇，感悟数学的奥妙。因此，要让课堂焕发数学应有的魅力，教师在设计教学时，就必须突破传统“双基”的教学设计，有意识地从“四基”的角度设计教学。要在确保“双基”的基础上，从数学思想的高度整体把握教学内容的数学本质，并将数学思想融入整体的教学设计之中。比如：在“分数基本性质”“三角形边的关系”“三角形内角和”等课例中，可以从“变中有不变”的思想高度把握所教知识的数学本质，启发学生体会感悟：分数的分子和分母在“变”，而分数的大小“不变”；三角形的形状大小在“变”，而边的关系和内角和都“不变”。这样的整体设计，不仅把握住了所教内容的数学本质，而且能让学生真实体会到数学的神奇，感悟到数学的奥妙，从而让课堂焕发出数学应有的魅力！
3.要从数学思想的角度启发思考。启发思考是数学教学的基本任务，从数学思想的角度启发思考是课堂教学融入数学思想的重要举措。一般地，一堂课的整体教学设计方案往往是由一系列紧密相联的数学活动所构成，教师从数学思想的高度设计教学，最终必须落实到每一个细小的数学活动的设计之中，因此，教师的课堂教学实质上就是教学设计方案的具体实施过程。在这个过程中，教师是通过落实已经设计好的每一个细小数学活动，来实现整体的教学目标。然而，在落实每一个细小数学活动中，我们常常借助师生互动交流的形式得以实现，因此，在师生互动交流中，教师必须从数学思想的角度启发学生进行必要的数学思考，让学生感悟数学思想，这样才能真正让课堂焕发出数学应有的魅力！比如：在“平行四边形的面积”一课中，可以设计这么一个片段：让学生认真观察屏幕上的平行四边形，然后启发学生思考“如果它是什么图形那就好办了？”这时学生可以提取已有的知识经验，想到“如果它是个长方形就好办了”，此时教师接着启发学生思考：“你打算如何把它变成长方形？……”在这个师生互动交流的片段中，就是从“转化思想”的角度启发学生进行数学思考。（本文系2013年福建省教育厅A 类人文社科课题研究成果之一，项目编号：JA13253S）（作者单位：泉州师范学院）