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在我区“高效课堂”教学展示活动中，笔者听了一节北师大版八年级《数学》上册“一次函数的图像（第二课时）”的展示课。在教学中，教师组织学生经历动手操作、分析探究、质疑互动、解决问题等一系列数学活动，让学生在探索中生成知识，在互动中彰显智慧，享受着探索的过程与成功的喜悦。现将课堂精彩部分与大家一起赏析。
[片段一]复习旧知，引发猜想
师：前面我们已经学习了一次函数的概念，学会了画正比例函数的图像。下面大家思考以下几个问题（要求独立思考，同桌交流，时间2分钟）：
1.已知函数y=（m-2）x-2m+1。
（1）当m取何值时，该函数是一次函数。
（2）当m取何值时，该函数是正比例函数。
2.请说出正比例函数和一次函数有何区别与联系？
（学生积极思考，教师巡视指导）
生1：一次函数的一般式是y=kx+b（k、b是常数，k≠0），当m-2≠0时，即m≠2，函数y=（m-2）x-2m+1是一次函数。
生2：正比例函数的一般式是y=kx（k是常数，k≠0），当m-2≠0且-2m+1=0时，即m=， 函数y=（m-2）x -2m+1是正比例函数。
生3：当一次函数y=kx+b中的常数b=0时，就是正比例函数y=kx。所以正比例函数是一次函数的特例。
师：请同学们拿出你们课前的作业，在同一坐标系中描出以下4个函数的图像：
①y=2x，②y=-2x，③y=2x-1，④ y=-2x+1。
观察所画的图像，你能否发现什么规律（或共同点）吗？
生4：① 与②是正比例函数，它们的图像是一条直线；③与④是一次函数，它们的图像也是一条直线。
生5：我发现①与③两直线平行，②与④两直线平行。
生6：由于y=2x-1的图像是直线，可以猜想：“一次函数的图像也是一条直线。”
师：其他同学有补充吗？
生7：③与④的图像是直线，它们能代表一次函数吗？
生8：正比例函数的图像是直线，正比例函数能代表一次函数吗？
师：刚才生7、生8有疑问，我们由③④的图像是直线能直接猜想：一次函数的图像是一条直线吗？
[赏析]在本教学片段中，教师从实例出发，通过实践操作，依据“最近发展区”理论，由正比例函数的图像，引发猜想：“一次函数的图像是一条直线”的结论，这样自然地引入新课——探究一次函数的图像与性质。
[片段二]探究分析，验证猜想
师：我们提出了猜想，一定要验证的。怎么去验证？
学生活动：用描点法在同一坐标系中画出下列函数的图像：
① y=2x，②y=2x+1。
观察两函数图像，你们能发现什么规律？
（学生利用课间发下去的直角坐标系直接填表并画图）
生1：两个函数的图像都是一条直线，并且倾斜程度相同（有同学补充说：两条直线是平行的）。
生2：直线y=2x通过原点（0，0），直线y=2x+1在直线y=2x上方且过点（0，1）。
师：这两位同学是直接观察图像得出了结论。
生3：我从刚才的描点过程发现y=2x+1的点分别在 y=2x点的上方1个单位长度处。既然第一组描出的点是共线，那么由平移规律可得第二组描出的点也应在一条直线上。所以一次函数y=2x+1的图像是一条直线。
师：有道理，是否还有其他的分析呢？
生4：我们在画y=2x+1的图像时，大多数同学只选了4个点，然后用线段连接起来。我想问相邻两点（0，3）与（1，5）之间，为什么是线段而不是曲线？
师：你对此有怀疑？请你说说有什么想法。
生5：我尝试从细微处分析：在（0，3）与（1，5）之间再取3点：（，）、（，2）、（，），发现这5个点确实在一条直线上，所以可以肯定一次函数y=2x+1的图像是一条直线。
师：分析得非常好。这位同学采用“放大”的分析法，使我们对“一次函数y=2x+1的图像是一条直线”的认识又深入一层，这是一种很有价值的分析方法。
生6：我们还可以将正比例函数的图像经过向上或向下的平移得到相应的一次函数的图像。
[赏析]通过描点法画正比例函数和一次函数的图像，让学生在描点的过程中去体验两者之间的联系。本教学环节精彩之处在于学生采用“放大”分析和“平移”等解释，加深了对“一次函数y=kx+b的图像是一条直线”的理性认识。在探究过程中，教师不急于给出研究问题的方法，而是让学生先讨论交流，教师再启发引导，在学生充分互动的过程中，让学生找到解决问题的方法。
[片段三]抓住关键，归纳画法
师：我们已经知道正比例函数y=kx的图像是一条直线。除了描点法外，采用“两点法”能更简便画出它的图像，怎么选取关键点？
生1：正比例函数的图像是过点（0，0）和（1，k）的一条直线。依据两点确定一条直线，通常选取（0，0）和（1，k）两点作直线。
师：刚刚讨论了一次函数y=kx+b的图像也是一条直线，我们描点时能找到哪些特殊的点吗？
生2：最好在坐标轴上描点。
师：为什么呀？
生3：因为这是图像与x、y轴的交点，一是由x=0求y，或由y=0求x，计算较简单；二是在坐标轴上描点比在象限内描点更准确。
师：这种方法很好。下面请思考y=kx+b与y轴的交点是_______；与x轴的交点是_______。
生4：与y轴相交时，此时x=0，代入有y=b，所以（0，b）是与y轴的交点的坐标；与x轴相交时，此时y=0，代入有x=-，所以（-，0）是与x轴的交点坐标。 生5：我知道了画一次函数y=kx+b的图像时，通常可以描点（0，b）和 （-，0）。
（同学们鼓掌表示认同）
师：其实描点是很有学问的，应根据函数解析式的特点来思考。请看函数y=3x-5图像与x、y轴的交点如何求？
生6：通过计算，直线与y轴的交点为（0，）。
师：x=不是整数，描点不容易准确，不如取（1，-2）描点会更准确。
生7：我还想到另一种画法。比如画直线y=2x+1，可先画直线y=2x，然后过点（0，1）作该直线的平行线即可。
[赏析]从“两点确定一条直线”出发，结合一次函数的解析式，重点讨论画图取点的简便与准确，关注画出的图像是否准确，培养学生的画图能力。最后学生提出作平行线的画法是对“平移”的最好诠释，学生思维碰撞激发出智慧的火花。
[片段四]观察图像，研究性质
师：请哪位同学说出正比例函数的性质？
生1：对于正比例函数y=kx，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
师：回答很完整。下面在同一坐标系中画出4个函数y=-x， y=-x+3，y=2x+3和y=5x-2的图像。（1）这4个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？相应图像变化趋势如何？（2）直线y=-x与直线y=-x +3的位置关系如何？（3）直线y=2x+3 与直线y=-x +3有什么共同点？
（大屏投影，小组交流，教师巡视）
生2：直线y=2x+3和直线y=5x-2的图像是“上升”的， y的值随着x值的增大而增大；直线y=-x和直线y=-x +3的图像是“下降”的， y的值随着x值的增大而减小。
师：那么，直线的倾斜方向是由什么量决定的？
生3：是函数y=kx+b中的k值的正、负来决定。
师：对于一次函数y=kx+b，y 值与x值的变化如何？
生4：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
师：直线y=-x与直线y=-x +3的位置关系如何？
生5：直线y=-x与直线 y=-x +3平行；把直线y=-x向上平移3个单位，就得到直线y=-x+3。
师：这两条直线的位置关系是互相平行的，从解析式来看，两条直线平行是指哪个量相同？
生6：当k值相同，两直线互相平行。
生7：可以推出，直线y=kx+b 与直线y=kx是两条平行直线，只要将直线y=kx平移|b|个单位就得到直线y=kx+b 。
师：上面提到的直线“平移”，平移的方向由谁决定？
生8：由b的正负来确定。
…………
[赏析]教师从比较函数图像出发，引导学生从k的正负来分析直线的“倾斜”方向，得出函数的增减性；由给出的函数的解析式b的正负，确定直线与y 轴的交点；使学生从数和形两方面去理解和掌握一次函数的性质。
综观整堂课，教师能立足于学生的原有认知，为学生提供充分的从事数学活动的时间和空间。首先引导学生复习正比例函数的图像和性质，为新知识的学习做好铺垫。然后让学生动手画出一次函数的图像，通过观察、比较图像和解析式得出一次函数的图像形状、画法以及两者之间的关系。最后通过改变k的正负引起直线位置和变化趋势的改变，突出一次函数的图像和性质。整节课以问题思维为主线，把主动权充分地还给学生，学生通过观察、发现、猜想、操作、交流等活动，寻找解决问题的办法并最终探求到真正的结果。始终围绕由特殊到一般的过程展开教学活动，让学生亲历知识的形成过程，体会实践、观察、类比、归纳的学习方法和数形结合的思想；倡导动手动脑、探究交流的学习方式，提升学习数学的能力，从而体会到数学的奥妙与学习成功的快乐。（作者单位：江西省吉安市青原区教研室）
责任编辑 周瑜芽
E-mail：jxjyjxsxl@126.com
[片段一]复习旧知，引发猜想
师：前面我们已经学习了一次函数的概念，学会了画正比例函数的图像。下面大家思考以下几个问题（要求独立思考，同桌交流，时间2分钟）：
1.已知函数y=（m-2）x-2m+1。
（1）当m取何值时，该函数是一次函数。
（2）当m取何值时，该函数是正比例函数。
2.请说出正比例函数和一次函数有何区别与联系？
（学生积极思考，教师巡视指导）
生1：一次函数的一般式是y=kx+b（k、b是常数，k≠0），当m-2≠0时，即m≠2，函数y=（m-2）x-2m+1是一次函数。
生2：正比例函数的一般式是y=kx（k是常数，k≠0），当m-2≠0且-2m+1=0时，即m=， 函数y=（m-2）x -2m+1是正比例函数。
生3：当一次函数y=kx+b中的常数b=0时，就是正比例函数y=kx。所以正比例函数是一次函数的特例。
师：请同学们拿出你们课前的作业，在同一坐标系中描出以下4个函数的图像：
①y=2x，②y=-2x，③y=2x-1，④ y=-2x+1。
观察所画的图像，你能否发现什么规律（或共同点）吗？
生4：① 与②是正比例函数，它们的图像是一条直线；③与④是一次函数，它们的图像也是一条直线。
生5：我发现①与③两直线平行，②与④两直线平行。
生6：由于y=2x-1的图像是直线，可以猜想：“一次函数的图像也是一条直线。”
师：其他同学有补充吗？
生7：③与④的图像是直线，它们能代表一次函数吗？
生8：正比例函数的图像是直线，正比例函数能代表一次函数吗？
师：刚才生7、生8有疑问，我们由③④的图像是直线能直接猜想：一次函数的图像是一条直线吗？
[赏析]在本教学片段中，教师从实例出发，通过实践操作，依据“最近发展区”理论，由正比例函数的图像，引发猜想：“一次函数的图像是一条直线”的结论，这样自然地引入新课——探究一次函数的图像与性质。
[片段二]探究分析，验证猜想
师：我们提出了猜想，一定要验证的。怎么去验证？
学生活动：用描点法在同一坐标系中画出下列函数的图像：
① y=2x，②y=2x+1。
观察两函数图像，你们能发现什么规律？
（学生利用课间发下去的直角坐标系直接填表并画图）
生1：两个函数的图像都是一条直线，并且倾斜程度相同（有同学补充说：两条直线是平行的）。
生2：直线y=2x通过原点（0，0），直线y=2x+1在直线y=2x上方且过点（0，1）。
师：这两位同学是直接观察图像得出了结论。
生3：我从刚才的描点过程发现y=2x+1的点分别在 y=2x点的上方1个单位长度处。既然第一组描出的点是共线，那么由平移规律可得第二组描出的点也应在一条直线上。所以一次函数y=2x+1的图像是一条直线。
师：有道理，是否还有其他的分析呢？
生4：我们在画y=2x+1的图像时，大多数同学只选了4个点，然后用线段连接起来。我想问相邻两点（0，3）与（1，5）之间，为什么是线段而不是曲线？
师：你对此有怀疑？请你说说有什么想法。
生5：我尝试从细微处分析：在（0，3）与（1，5）之间再取3点：（，）、（，2）、（，），发现这5个点确实在一条直线上，所以可以肯定一次函数y=2x+1的图像是一条直线。
师：分析得非常好。这位同学采用“放大”的分析法，使我们对“一次函数y=2x+1的图像是一条直线”的认识又深入一层，这是一种很有价值的分析方法。
生6：我们还可以将正比例函数的图像经过向上或向下的平移得到相应的一次函数的图像。
[赏析]通过描点法画正比例函数和一次函数的图像，让学生在描点的过程中去体验两者之间的联系。本教学环节精彩之处在于学生采用“放大”分析和“平移”等解释，加深了对“一次函数y=kx+b的图像是一条直线”的理性认识。在探究过程中，教师不急于给出研究问题的方法，而是让学生先讨论交流，教师再启发引导，在学生充分互动的过程中，让学生找到解决问题的方法。
[片段三]抓住关键，归纳画法
师：我们已经知道正比例函数y=kx的图像是一条直线。除了描点法外，采用“两点法”能更简便画出它的图像，怎么选取关键点？
生1：正比例函数的图像是过点（0，0）和（1，k）的一条直线。依据两点确定一条直线，通常选取（0，0）和（1，k）两点作直线。
师：刚刚讨论了一次函数y=kx+b的图像也是一条直线，我们描点时能找到哪些特殊的点吗？
生2：最好在坐标轴上描点。
师：为什么呀？
生3：因为这是图像与x、y轴的交点，一是由x=0求y，或由y=0求x，计算较简单；二是在坐标轴上描点比在象限内描点更准确。
师：这种方法很好。下面请思考y=kx+b与y轴的交点是_______；与x轴的交点是_______。
生4：与y轴相交时，此时x=0，代入有y=b，所以（0，b）是与y轴的交点的坐标；与x轴相交时，此时y=0，代入有x=-，所以（-，0）是与x轴的交点坐标。 生5：我知道了画一次函数y=kx+b的图像时，通常可以描点（0，b）和 （-，0）。
（同学们鼓掌表示认同）
师：其实描点是很有学问的，应根据函数解析式的特点来思考。请看函数y=3x-5图像与x、y轴的交点如何求？
生6：通过计算，直线与y轴的交点为（0，）。
师：x=不是整数，描点不容易准确，不如取（1，-2）描点会更准确。
生7：我还想到另一种画法。比如画直线y=2x+1，可先画直线y=2x，然后过点（0，1）作该直线的平行线即可。
[赏析]从“两点确定一条直线”出发，结合一次函数的解析式，重点讨论画图取点的简便与准确，关注画出的图像是否准确，培养学生的画图能力。最后学生提出作平行线的画法是对“平移”的最好诠释，学生思维碰撞激发出智慧的火花。
[片段四]观察图像，研究性质
师：请哪位同学说出正比例函数的性质？
生1：对于正比例函数y=kx，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
师：回答很完整。下面在同一坐标系中画出4个函数y=-x， y=-x+3，y=2x+3和y=5x-2的图像。（1）这4个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？相应图像变化趋势如何？（2）直线y=-x与直线y=-x +3的位置关系如何？（3）直线y=2x+3 与直线y=-x +3有什么共同点？
（大屏投影，小组交流，教师巡视）
生2：直线y=2x+3和直线y=5x-2的图像是“上升”的， y的值随着x值的增大而增大；直线y=-x和直线y=-x +3的图像是“下降”的， y的值随着x值的增大而减小。
师：那么，直线的倾斜方向是由什么量决定的？
生3：是函数y=kx+b中的k值的正、负来决定。
师：对于一次函数y=kx+b，y 值与x值的变化如何？
生4：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
师：直线y=-x与直线y=-x +3的位置关系如何？
生5：直线y=-x与直线 y=-x +3平行；把直线y=-x向上平移3个单位，就得到直线y=-x+3。
师：这两条直线的位置关系是互相平行的，从解析式来看，两条直线平行是指哪个量相同？
生6：当k值相同，两直线互相平行。
生7：可以推出，直线y=kx+b 与直线y=kx是两条平行直线，只要将直线y=kx平移|b|个单位就得到直线y=kx+b 。
师：上面提到的直线“平移”，平移的方向由谁决定？
生8：由b的正负来确定。
…………
[赏析]教师从比较函数图像出发，引导学生从k的正负来分析直线的“倾斜”方向，得出函数的增减性；由给出的函数的解析式b的正负，确定直线与y 轴的交点；使学生从数和形两方面去理解和掌握一次函数的性质。
综观整堂课，教师能立足于学生的原有认知，为学生提供充分的从事数学活动的时间和空间。首先引导学生复习正比例函数的图像和性质，为新知识的学习做好铺垫。然后让学生动手画出一次函数的图像，通过观察、比较图像和解析式得出一次函数的图像形状、画法以及两者之间的关系。最后通过改变k的正负引起直线位置和变化趋势的改变，突出一次函数的图像和性质。整节课以问题思维为主线，把主动权充分地还给学生，学生通过观察、发现、猜想、操作、交流等活动，寻找解决问题的办法并最终探求到真正的结果。始终围绕由特殊到一般的过程展开教学活动，让学生亲历知识的形成过程，体会实践、观察、类比、归纳的学习方法和数形结合的思想；倡导动手动脑、探究交流的学习方式，提升学习数学的能力，从而体会到数学的奥妙与学习成功的快乐。（作者单位：江西省吉安市青原区教研室）
责任编辑 周瑜芽
E-mail：jxjyjxsxl@126.com