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摘要 建立了集中载荷作用下大挠度悬臂梁的数学模型，利用椭圆函数法推导给出了集中载荷作用下大挠度悬臂梁的转角，挠度和水平位移的解析表达式。采用Maple编程求解了集中载荷作用下大挠度悬臂梁的非线性微分方程组。分析计算了自由端转角，挠度和水平位移与载荷的力学特征，给出了相应的解析表达式。分别绘制了大挠度理论下自由端转角、挠度和水平位移与载荷变化的关系曲线图，并与小挠度理论的解进行了对比。对集中载荷作用下大挠度悬臂梁的挠曲线形状进行了计算机仿真。列出了集中载荷作用下大挠度悬臂梁的自由端转角，挠度和水平位移随载荷变化的数值计算表。提供了集中载荷作用下大挠度悬臂梁的计算机仿真的Maple源程序代码。
关 键 词 集中载荷;悬臂梁;大挠度; Maple;计算机仿真
中圖分类号 O343.9;TP391.9 文献标志码 A
Abstract The mathematical model of large deflection cantilever beam under concentrated load is established. The analytical expressions of the angle， deflection and horizontal displacement of large deflection cantilever beam under concentrated load are derived by using elliptic function method. The nonlinear differential equations of large deflection cantilever beam under concentrated loads are solved by Maple programming. The mechanical characteristics of angle， deflection， horizontal displacement and load at the free end are analyzed and calculated， and the corresponding analytical expressions are given. The relationship curves of free end angle， deflection and horizontal displacement with load change under large deflection theory are drawn respectively， and compared with the solution of small deflection theory.The shape of the deflection curve of a cantilever beam with concentrated deflection under the concentrated load is simulated by computer. A numerical table for calculating the free-end angle， deflection and horizontal displacement of a large deflection cantilever beam under concentrated loads is presented. Maple source code for computer simulation of large deflection cantilever beam under concentrated load is provided.
Key words concentrated load; cantilever; large deflection; Maple; computer simulation
0 引言
在实际工程分析中，大部分实际工程受力部件都可以简化为悬臂梁。然而，很多时候弯曲杆件往往不是小变形，按照小挠度假设设计杆件截面往往过大，为了保证设计经济合理，采用梁的大挠度理论来设计计算。近年来，随着现代工业的发展，越来越多的工程问题涉及到大变形的情形。快速发展的航空航天领域中越来越多地使用大型柔性构件，而且能在发生大变形时而不超出弹性极限的复合材料越来越广泛地应用，悬臂梁结构大变形这一几何非线性问题已成为力学、机械及航空航天等领域研究的热点和难点问题之一。目前，解决大挠度梁弯曲和稳定问题已经有不少方法，例如推导精确微分方程并最后归结为求解椭圆积分方程 [1-3]， 近似估计法[4]，编写程序利用黎曼积分配合二分法迭代求解法[5]，利用变分原理求解微分方程近似解 [6，15]，利用微分求积法求解均布载荷下的稳定性问题[7]，Padé逼近法[8]，采用辛卜生数值积分法和微分方程打靶数值解法计算方法求解精确挠度 [9-10]，钱伟长等使用拟线性方法得到大挠度问题的摄动解 [11-13] ，廖世俊等采用同伦分析方法得到大挠度问题级数解[14]，以及采用有限元方法等[5]。 李银山等采用Maple编程对细长柔韧压杆弹性失稳后挠曲线形状进行了计算机仿真[15-16]。
本文采用Maple编程对集中载荷作用下大挠度悬臂梁进行计算机仿真，并详细研究自由端转角，挠度和水平位移与载荷的力学特征。
在通常的材料力学教学中，所确定的梁之挠度是藉求解近似的微分方程：
式中：[dθds]代表梁的曲率，亦即[θ]（挠度曲线的旋转角）的变化时[s]（沿曲线本身度量的距离）的变化之比率。当旋转很小时，距离[s]就与距离[x]相同，其旋转角与斜度[dvdx]相同;因此，[dθds]近似地等于[d2vdx2]。然而，对于大挠度，这种简化是不能成立的，而必须求解方程式（2）。根据此方程所求得的弹性曲线的精确形状称为弹性线。 讨论图1中所示的悬臂梁[AB]。假设荷载[F]使梁产生大挠度，使梁自由端从[B]点移到[B′]点。以[θb]表示梁自由端的旋转角，分别以[δh]和[δv]表示水平位移和竖直位移。挠度曲线的长度[AB′]等于原来的长度[L]，因为略去了由于直接拉伸所引起的长度轴向变化。由于该梁是静定者，其弯矩[M]的表达式可以容易地求得，并代入式（2）。于是，在方程的大量操作之后，包括因变量的变换，以及应用适当的边界条件，方可以得出以椭圆函数来表示的方程的解。根据这个解，得到求[θb]，[δv]和[δh]的方程。具体求解与计算机仿真讨论如下。
參考文献：
[1] 刘鸿文. 高等材料力学[M]. 北京：高等教育出版社，1985.
[2] 余同希，章亮炽. 塑性弯曲理论及其应用[M]. 北京：科学出版社，1992.
[3] GERE J M，TIMOSHENKO S P. Mechanics of Materials[M]. Boston：PWS Publishing Company，1997.
[4] 赵则昂，邓宗白，宋安平. 悬臂梁大挠度变形的近似估计法[J]. 力学与实践，2014，36（3）：341-344，366.
[5] 王逸维，王杰，沈杰，等. 基于MATLAB的悬臂梁大变形分析[J]. 力学与实践，2015，37（6）：750-753.
[6] 夏茂辉，侯春强，刘才. 大挠度弯曲直梁混合变量最小势能原理的应用[J]. 力学与实践，2006，28（3）：53-55.
[7] 刘洋，杨永波，梁枢平. 轴向均布载荷下压杆稳定问题的DQ解[J]. 力学与实践，2005，27（2）：44-47.
[8] 吴柏生，朴淑贤. Padé逼近在力学中的应用[J]. 力学与实践，1996，18（1）：27-29.
[9] 杨亚平，王先. 计算梁大挠度变形的数值积分法[J]. 青海大学学报（自然科学版），1998，16（6）：17-22.
[10] 李清禄，李世荣. 受均布载荷压杆后屈曲形态的数值计算[J]. 力学与实践，2010，32（3）：41-43.
[11] CHIEN W Z. Second order approximation solution of nonlinear large deflection problems of Yongjiang Railway Bridge in Ningbo[J]. Applied Mathematics and Mechanics，2002，23（5）：493-506.
[12] 何晓婷，陈山林. 悬臂梁大挠度问题的摄动解[J]. 重庆建筑大学学报，2003，25（6）：46-51.
[13] HE X T，CHEN S L. Biparametric perturbation solutions of large deflection problem of cantilever beams[J]. Applied Mathematics and Mechanics，2006，27（4）：453-460.
[14] WANG J，CHEN J K，LIAO S J. An explicit solution of the large deformation of a cantilever beam under point load at the free tip[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2008，212（2）：320-330.
[15] 李银山，刘波，潘文波，等. 弹性压杆的大变形分析[J]. 河北工业大学学报，2011，40（5）：31-35.
[16] 潘文波，李银山，李彤，等. 细长柔韧压杆弹性失稳后挠曲线形状的计算机仿真[J]. 力学与实践，2012，34（1）：48-51.
[17] 李银山. 材料力学（上册）[M]. 北京：人民交通出版社，2014.
[18] 李银山. 材料力学（下册）[M]. 北京：人民交通出版社，2015.
关 键 词 集中载荷;悬臂梁;大挠度; Maple;计算机仿真
中圖分类号 O343.9;TP391.9 文献标志码 A
Abstract The mathematical model of large deflection cantilever beam under concentrated load is established. The analytical expressions of the angle， deflection and horizontal displacement of large deflection cantilever beam under concentrated load are derived by using elliptic function method. The nonlinear differential equations of large deflection cantilever beam under concentrated loads are solved by Maple programming. The mechanical characteristics of angle， deflection， horizontal displacement and load at the free end are analyzed and calculated， and the corresponding analytical expressions are given. The relationship curves of free end angle， deflection and horizontal displacement with load change under large deflection theory are drawn respectively， and compared with the solution of small deflection theory.The shape of the deflection curve of a cantilever beam with concentrated deflection under the concentrated load is simulated by computer. A numerical table for calculating the free-end angle， deflection and horizontal displacement of a large deflection cantilever beam under concentrated loads is presented. Maple source code for computer simulation of large deflection cantilever beam under concentrated load is provided.
Key words concentrated load; cantilever; large deflection; Maple; computer simulation
0 引言
在实际工程分析中，大部分实际工程受力部件都可以简化为悬臂梁。然而，很多时候弯曲杆件往往不是小变形，按照小挠度假设设计杆件截面往往过大，为了保证设计经济合理，采用梁的大挠度理论来设计计算。近年来，随着现代工业的发展，越来越多的工程问题涉及到大变形的情形。快速发展的航空航天领域中越来越多地使用大型柔性构件，而且能在发生大变形时而不超出弹性极限的复合材料越来越广泛地应用，悬臂梁结构大变形这一几何非线性问题已成为力学、机械及航空航天等领域研究的热点和难点问题之一。目前，解决大挠度梁弯曲和稳定问题已经有不少方法，例如推导精确微分方程并最后归结为求解椭圆积分方程 [1-3]， 近似估计法[4]，编写程序利用黎曼积分配合二分法迭代求解法[5]，利用变分原理求解微分方程近似解 [6，15]，利用微分求积法求解均布载荷下的稳定性问题[7]，Padé逼近法[8]，采用辛卜生数值积分法和微分方程打靶数值解法计算方法求解精确挠度 [9-10]，钱伟长等使用拟线性方法得到大挠度问题的摄动解 [11-13] ，廖世俊等采用同伦分析方法得到大挠度问题级数解[14]，以及采用有限元方法等[5]。 李银山等采用Maple编程对细长柔韧压杆弹性失稳后挠曲线形状进行了计算机仿真[15-16]。
本文采用Maple编程对集中载荷作用下大挠度悬臂梁进行计算机仿真，并详细研究自由端转角，挠度和水平位移与载荷的力学特征。
在通常的材料力学教学中，所确定的梁之挠度是藉求解近似的微分方程：
式中：[dθds]代表梁的曲率，亦即[θ]（挠度曲线的旋转角）的变化时[s]（沿曲线本身度量的距离）的变化之比率。当旋转很小时，距离[s]就与距离[x]相同，其旋转角与斜度[dvdx]相同;因此，[dθds]近似地等于[d2vdx2]。然而，对于大挠度，这种简化是不能成立的，而必须求解方程式（2）。根据此方程所求得的弹性曲线的精确形状称为弹性线。 讨论图1中所示的悬臂梁[AB]。假设荷载[F]使梁产生大挠度，使梁自由端从[B]点移到[B′]点。以[θb]表示梁自由端的旋转角，分别以[δh]和[δv]表示水平位移和竖直位移。挠度曲线的长度[AB′]等于原来的长度[L]，因为略去了由于直接拉伸所引起的长度轴向变化。由于该梁是静定者，其弯矩[M]的表达式可以容易地求得，并代入式（2）。于是，在方程的大量操作之后，包括因变量的变换，以及应用适当的边界条件，方可以得出以椭圆函数来表示的方程的解。根据这个解，得到求[θb]，[δv]和[δh]的方程。具体求解与计算机仿真讨论如下。
參考文献：
[1] 刘鸿文. 高等材料力学[M]. 北京：高等教育出版社，1985.
[2] 余同希，章亮炽. 塑性弯曲理论及其应用[M]. 北京：科学出版社，1992.
[3] GERE J M，TIMOSHENKO S P. Mechanics of Materials[M]. Boston：PWS Publishing Company，1997.
[4] 赵则昂，邓宗白，宋安平. 悬臂梁大挠度变形的近似估计法[J]. 力学与实践，2014，36（3）：341-344，366.
[5] 王逸维，王杰，沈杰，等. 基于MATLAB的悬臂梁大变形分析[J]. 力学与实践，2015，37（6）：750-753.
[6] 夏茂辉，侯春强，刘才. 大挠度弯曲直梁混合变量最小势能原理的应用[J]. 力学与实践，2006，28（3）：53-55.
[7] 刘洋，杨永波，梁枢平. 轴向均布载荷下压杆稳定问题的DQ解[J]. 力学与实践，2005，27（2）：44-47.
[8] 吴柏生，朴淑贤. Padé逼近在力学中的应用[J]. 力学与实践，1996，18（1）：27-29.
[9] 杨亚平，王先. 计算梁大挠度变形的数值积分法[J]. 青海大学学报（自然科学版），1998，16（6）：17-22.
[10] 李清禄，李世荣. 受均布载荷压杆后屈曲形态的数值计算[J]. 力学与实践，2010，32（3）：41-43.
[11] CHIEN W Z. Second order approximation solution of nonlinear large deflection problems of Yongjiang Railway Bridge in Ningbo[J]. Applied Mathematics and Mechanics，2002，23（5）：493-506.
[12] 何晓婷，陈山林. 悬臂梁大挠度问题的摄动解[J]. 重庆建筑大学学报，2003，25（6）：46-51.
[13] HE X T，CHEN S L. Biparametric perturbation solutions of large deflection problem of cantilever beams[J]. Applied Mathematics and Mechanics，2006，27（4）：453-460.
[14] WANG J，CHEN J K，LIAO S J. An explicit solution of the large deformation of a cantilever beam under point load at the free tip[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2008，212（2）：320-330.
[15] 李银山，刘波，潘文波，等. 弹性压杆的大变形分析[J]. 河北工业大学学报，2011，40（5）：31-35.
[16] 潘文波，李银山，李彤，等. 细长柔韧压杆弹性失稳后挠曲线形状的计算机仿真[J]. 力学与实践，2012，34（1）：48-51.
[17] 李银山. 材料力学（上册）[M]. 北京：人民交通出版社，2014.
[18] 李银山. 材料力学（下册）[M]. 北京：人民交通出版社，2015.