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摘 要:基于正态分布、学生-t分布、GED分布和Skewed-t分布四种不同分布,采用ARFIMA-FIGARCH模型对深圳股市收益率的风险值进行了动态建模。通过模型实证参数估计,发现深圳股市收益率序列存在双长记忆性特征;通过模型预测的VaR值的DQ和LR测试,发现在Skewed-t分布下,ARFIMA-FIGARCH模型能更有效地捕捉深圳股市收益率序列的特性,能够较好地反映金融收益率的实际风险。
关键词:VaR 双长记;ARFIMA-FIGARCH模;Skewed-t分布
中图分类号:F830.91文献标志码:A文章编号:1673-291X(2010)24-0071-03
引言
金融时间序列是否具有长记忆性是现代金融理论和实证研究的一个热点问题。最近几年,利用长期记忆模型研究股市收益和波动,已经成为一个热门的研究领域。长记忆过程作为重要的指标,以确定非线性依赖于有条件的均值和方差的金融时间序列。
国内学者研究中国股市的长记忆性的文献比较多,就研究方法上可以分为:统计方法和数学模型方法。张维等(2001)及王春峰等(2003、2004)采用传统的R/S分析方法检验中国深沪两股市周收益和日收益的长记忆,指出两股市均有较强的长记忆特征。张卫国,胡彦梅和陈建忠(2006)通过考察Akaike、Schwarz、Shibata、Hannan-Quinn四个信息准则,建立了描述深圳股票市场收益过程和波动过程双长记忆性特征的ARFIMA-FIGARCH模型。认为深圳成分指数日收益序列无长记忆,但波动序列具有较强的长记忆特征。
而国内学者在研究中的模型服从何种分布的认识不尽相同,张卫国,胡彦梅和陈建忠(2006)采用的模型服从t分布,徐炜和黄炎龙(2008)对比了正态分布和Skewed-t分布,曹广喜(2009)采用Skewed-t分布来研究中国的股市收益的双长记忆性。本文的结构为:首先介绍计量模型与方法即:ARFIMA-FIGARCH模型和VaR方法;其次利用数据就正态分布、学生-t分布、GED分布和Skewed-t分布下,进行实证对比分析。
一、计量模型与方法
(一)计量模型
Granger 和Joyeux(1980)及Hosking(1981)提出的ARFIMA模型是最早描述时间序列长记忆性的模型,得到了广泛的应用。模型ARFIMA(n,,s)可以表示为:
(L)(1-L)(yt-)=(L)t(1)
t=ztt,zt～N(0,1)(2)
yt为可观测样本序列,为母体均值,t~ iidN(0,2),L为滞后算子。(L)=1-1L-2L2-……-nLn和(L)=1+1L+2L2+…+nLn分别是n阶和s阶滞后算子多项式,为了满足时间序列的平稳性要求,需要约束算子多项式的特征根均在单位圆外。
模型(1)中,定义n+s个参数描述过程的短记忆性特征,以参数反映过程的长记忆性特征。当-0.5< ≤0,时间序列为平稳序列,不具有记忆性;当0< <0.5,序列为平稳序列,且具有有限方差和长记忆性;当0.5≤ <1,序列为非平稳序列,具有无限方差和持久记忆性,并能够有记忆向均值回归的过程;最后,当>1,那么时间序列不具有恢复过程均值的特性。另外,当=1时,ARFIMA(n,1,s),即为ARIMA模型;当=0时,ARFIMA(n,0,s),即为ARMA(n,s)模型。而且,当n=s=0且μ=0时,ARFIMA (0,,0)模型即退化为FDN模型。
对波动率的相关研究是对ARFIMA模型的扩展,即对2t的研究,最早是在Baillie(1996)等人的FIGARCH模型中。FIGARCH(p,d,q)模型可以表示为:
φ(L)(1-L)dε2t=ω+[1-β(L)]Vt(3)
其中,φ(L)=φ1L+φ2L2+…+φqLq,β(L)=β1L+β2L2+…+βpLp和Vt=ε2t-σ2t。同时,{Vt}是以条件方差和0均值的不相关序列。滞后多项式φ(L)和[1-β(L)]的根都在单位圆外。
FIGARCH模型的条件方差具有一定弹性,当d=0时,FIGARCH模型就是协方差平稳的GARCH模型,当d=1时,FIGARCH模型就是非平稳的IGARCH模型。当0 ARFIMA-FIGARCH模型的估计是用准最大概似估计法来估计。分数差分算子(1-L)可以用二项式展开:
(1-L)=Lk (4)
=1-L-(1-)L2-(1-)(2-)L3-…
其中,Γ为伽马函数。同时,(1-L)d在其条件方差下,也遵循同样的展开过程。
(二)VaR检验
1.失败率检验法。这是通过比较实际损失超过VaR的频率与一定置信水平下的上限值是否接近或相等,来判断VaR模型的有效性。如果模型有效,则模拟的失败率应等于预先设定的VaR置信度(1-α),反之亦然。假定置信水平为α,实际考察天数为T,失败天数为n,则失败频率记为r (=n/T),r服从一个二项式分布,设零假设为H0: r=α,检验失败频率是否拒绝零假设。Kupiec提出了采用似然比率检验法对零假设检验,其统计量为:
LR=2ln{[(1-r)T-nrn]-ln[(1-α)T-nαn]} (11)
式(11)在零假设条件下,统计量LR服从自由度为1的χ2分布。
2.动态分位数测试。返值测试通常采用失败率检验法,但Engle和Manganelli (2004)认为,失败率检验法难以捕捉不同置信水平下模型的预测效果,因此提出了动态分位数测试。
首先定义函数:
Ht=I[rt 其中,如果t期的实际收益率超过所估计的VaR值,那么H取值为1,反之为0。然后定义H′t=Ht-α,构造一个回归方程:H′t=Xλ+εt,其中X是一个M×N矩阵,第1列是一个所有元素为1的列向量,随后的q列分别是取值为H′ t-1,H′ t-2,H′ t-q的列向量,最后的(M-1-q)列是附加的解释变量(包括所预测的VaR序列)。在原假设:H′0∶E(H′t(α))=0并且H′t(α)互不相关的条件成立下,其统计量为:
DQ=～χ2 (N) (13)
其中,为λ的OLS估计量。若P值越大,表示越不能拒绝原假设,该VaR模型的预测能力精确。
二、实证分析
(一)数据选取与基本统计描述
本文的实证分析工具采用eviews5.0和Oxmetrics5.10。由于在中国股票上市初期,进入流动的股票数量少,同时证券市场交易制度与监管制度也不完善,股票质量不高,股市呈现大幅度波动的现象;同时,为了避免1995年5月20日国债期货市场关闭市场异常波动对实证检验结果的影响,本文选取1995年5月21日至2009年6月10日深圳综指日收盘价格指数,样本总量为3 405个。本文把股票的日收益率定义为:Rt=ln(Pt/Pt-1)。数据来源于http://stock.sohu.com。
首先我们对深圳综指日收盘价格指数序列有基本的认识,分别进行单位根检验和正态性检验,检验结果(见表1)。可知,深圳股市收益率分布的偏度小于0,是非对称分布的,显现出偏左特征;峰度显著大于3,表明深圳股市收益率分布有尖峰特征。
(二)模型参数估计
由于深圳股市的收益率序列存在自相关现象,在作GARCH族模型分析时,首先要确定方程的ARFIMA形式中自回归阶数n与移动平均阶数s的阶数。我们在0≤n ≤2,
0≤s≤2范围内,根据AIC、SBIC最小化准则和模型调整后的R2最大化准则来选取n,s的阶数。因此,我们建立ARFIMA(2,d,1)-FIGARCH(1,d,1)模型。参数估计实证结果(见表2)。
表2为各分布下模型的估计结果。在99%的置信水平下,在对残差进行异方差效应检验后,① 除了正态分布外,其他三个分布下模型估计结果基本显著,且都不存在异方差现象,而Skewed-t分布下实证估计效果更加明显。首先,非对称项和厚尾项均显著异于0,表明Skewed-t分布下较好地反映了股市收益率序列的尖峰厚尾特征。其次,在95%的置信水平下,参数d-Arfima和d-Figarch均显著且大于0小于1,说明深圳股市收益率序列存在双长记忆性。
(三)动态VaR估计及检验
从表3的动态分位数测试结果可得,在0.05置信水平下,除正态分布之外,模型的DQ测试相对于正态分布而言均有了显著的改善。正态分布下的DQ值为9.9167,概率值为0.19335;学生-t分布下为16.991,概率值为0.017453;GED分布下为11.9221,概率值为0.12923;Skewed-t分布下为8.9519,概率值为0.25612。并且在0.005、0.0025置信水平下,Skewed-t分布下更能准确地反映市场真实的VaR,其DQ统计量小,概率值大。
从表3中的LR测试结果也可以看出,Skewed-t分布计算的VaR值均比其他分布下显著,而且估计结果没有拒绝原假设。在0.05置信水平下,失败率均接近5%,p值相对其他分布都更高,表明拟合效果较好。在靠近左尾0.01、0.005和0.0025置信水平时,正态分布、学生-t分布和GED分布下都出现不同程度的低估风险现象。在这方面,Skewed-t分布下低估风险的程度比较低,失败率接近理论值。
结论
本文对在正态分布、学生-t分布、GED分布和Skewed-t分布下,采用ARFIMA-FIGARCH模型对深圳股市收益率的风险值进行了动态建模,其主要结论如下:1)深圳股市的模型参数d-Arfima在95%的置信水平上显著的大于0,表明深圳股市日收益率序列具有显著的长记忆特征,且它的模型参数d-Figarch在99%的置信水平上均有0
参考文献:
[1]张维,黄兴.沪深股市的R/S实证分析[J].系统工程,2001,(1):1-5.
[2]张卫国,胡彦梅,陈建忠.中国股市收益及波动的ARFIMA-FIGARCH模型研究[J].南方经济,2006,(3):108-112.
[3]徐炜,黄炎龙.GARCH模型与VaR的度量研究[J].数量经济技术经济研究,2008(1):120-132
[4]曹广喜.中国股市收益的双长记忆性检验——基于vaR估计的ARFIMA-HYGARCH-skt模型[J].数理统计与管理,2009,(1):167-174.
[5]Sang Hoon Kang,Seong-Min Yoon.Long memory properties in return and volatility:Evidence fromthe Korean stock market[J].PhysicaA,2007(385):591-600.
[6]Hasan Olgun,Zeynel Abidin Ozdemir.Linkages between the center and periphery stock prices:Evidence from the vector ARFIMA model[J].Economic Modelling,2008 (25):512-519.
[7]Richard T.Baillie,Claudio Morana.Modelling long memory and structural breaks in conditional variances:An adaptive FIGARCH approach[J].Journal of Economic Dynamics&Control.2009,(25).
[8]肖智,傅肖肖,钟波.基于EVT-POT-FIGARCH的动态VaR风险测度[J].南开管理评论,2008,(11):100-104.
[9]王春峰,张庆翠,李刚.中国股票市场收益的长期记忆性研究[J].系统工程,2003,(l):22-28.
[10]胡彦梅,张卫国,陈建忠.中国股市长记忆的修正R/S分析[J].数理统计与管理,2006,(l):73-77.
[11]P.Lambert,S.Laurent,Modelling financial time series using GARCH-type models and a skewed Student density[M].Universite′de Lie`ge,2001.
[12]R.T.Baillie,T.Bollerslev,H.O.Mikkelsen.Fractionally integrated generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J].Econ-ometrics ,1996,(74):3-30.[责任编辑 刘娇娇]
关键词:VaR 双长记;ARFIMA-FIGARCH模;Skewed-t分布
中图分类号:F830.91文献标志码:A文章编号:1673-291X(2010)24-0071-03
引言
金融时间序列是否具有长记忆性是现代金融理论和实证研究的一个热点问题。最近几年,利用长期记忆模型研究股市收益和波动,已经成为一个热门的研究领域。长记忆过程作为重要的指标,以确定非线性依赖于有条件的均值和方差的金融时间序列。
国内学者研究中国股市的长记忆性的文献比较多,就研究方法上可以分为:统计方法和数学模型方法。张维等(2001)及王春峰等(2003、2004)采用传统的R/S分析方法检验中国深沪两股市周收益和日收益的长记忆,指出两股市均有较强的长记忆特征。张卫国,胡彦梅和陈建忠(2006)通过考察Akaike、Schwarz、Shibata、Hannan-Quinn四个信息准则,建立了描述深圳股票市场收益过程和波动过程双长记忆性特征的ARFIMA-FIGARCH模型。认为深圳成分指数日收益序列无长记忆,但波动序列具有较强的长记忆特征。
而国内学者在研究中的模型服从何种分布的认识不尽相同,张卫国,胡彦梅和陈建忠(2006)采用的模型服从t分布,徐炜和黄炎龙(2008)对比了正态分布和Skewed-t分布,曹广喜(2009)采用Skewed-t分布来研究中国的股市收益的双长记忆性。本文的结构为:首先介绍计量模型与方法即:ARFIMA-FIGARCH模型和VaR方法;其次利用数据就正态分布、学生-t分布、GED分布和Skewed-t分布下,进行实证对比分析。
一、计量模型与方法
(一)计量模型
Granger 和Joyeux(1980)及Hosking(1981)提出的ARFIMA模型是最早描述时间序列长记忆性的模型,得到了广泛的应用。模型ARFIMA(n,,s)可以表示为:
(L)(1-L)(yt-)=(L)t(1)
t=ztt,zt～N(0,1)(2)
yt为可观测样本序列,为母体均值,t~ iidN(0,2),L为滞后算子。(L)=1-1L-2L2-……-nLn和(L)=1+1L+2L2+…+nLn分别是n阶和s阶滞后算子多项式,为了满足时间序列的平稳性要求,需要约束算子多项式的特征根均在单位圆外。
模型(1)中,定义n+s个参数描述过程的短记忆性特征,以参数反映过程的长记忆性特征。当-0.5< ≤0,时间序列为平稳序列,不具有记忆性;当0< <0.5,序列为平稳序列,且具有有限方差和长记忆性;当0.5≤ <1,序列为非平稳序列,具有无限方差和持久记忆性,并能够有记忆向均值回归的过程;最后,当>1,那么时间序列不具有恢复过程均值的特性。另外,当=1时,ARFIMA(n,1,s),即为ARIMA模型;当=0时,ARFIMA(n,0,s),即为ARMA(n,s)模型。而且,当n=s=0且μ=0时,ARFIMA (0,,0)模型即退化为FDN模型。
对波动率的相关研究是对ARFIMA模型的扩展,即对2t的研究,最早是在Baillie(1996)等人的FIGARCH模型中。FIGARCH(p,d,q)模型可以表示为:
φ(L)(1-L)dε2t=ω+[1-β(L)]Vt(3)
其中,φ(L)=φ1L+φ2L2+…+φqLq,β(L)=β1L+β2L2+…+βpLp和Vt=ε2t-σ2t。同时,{Vt}是以条件方差和0均值的不相关序列。滞后多项式φ(L)和[1-β(L)]的根都在单位圆外。
FIGARCH模型的条件方差具有一定弹性,当d=0时,FIGARCH模型就是协方差平稳的GARCH模型,当d=1时,FIGARCH模型就是非平稳的IGARCH模型。当0
(1-L)=Lk (4)
=1-L-(1-)L2-(1-)(2-)L3-…
其中,Γ为伽马函数。同时,(1-L)d在其条件方差下,也遵循同样的展开过程。
(二)VaR检验
1.失败率检验法。这是通过比较实际损失超过VaR的频率与一定置信水平下的上限值是否接近或相等,来判断VaR模型的有效性。如果模型有效,则模拟的失败率应等于预先设定的VaR置信度(1-α),反之亦然。假定置信水平为α,实际考察天数为T,失败天数为n,则失败频率记为r (=n/T),r服从一个二项式分布,设零假设为H0: r=α,检验失败频率是否拒绝零假设。Kupiec提出了采用似然比率检验法对零假设检验,其统计量为:
LR=2ln{[(1-r)T-nrn]-ln[(1-α)T-nαn]} (11)
式(11)在零假设条件下,统计量LR服从自由度为1的χ2分布。
2.动态分位数测试。返值测试通常采用失败率检验法,但Engle和Manganelli (2004)认为,失败率检验法难以捕捉不同置信水平下模型的预测效果,因此提出了动态分位数测试。
首先定义函数:
Ht=I[rt
DQ=～χ2 (N) (13)
其中,为λ的OLS估计量。若P值越大,表示越不能拒绝原假设,该VaR模型的预测能力精确。
二、实证分析
(一)数据选取与基本统计描述
本文的实证分析工具采用eviews5.0和Oxmetrics5.10。由于在中国股票上市初期,进入流动的股票数量少,同时证券市场交易制度与监管制度也不完善,股票质量不高,股市呈现大幅度波动的现象;同时,为了避免1995年5月20日国债期货市场关闭市场异常波动对实证检验结果的影响,本文选取1995年5月21日至2009年6月10日深圳综指日收盘价格指数,样本总量为3 405个。本文把股票的日收益率定义为:Rt=ln(Pt/Pt-1)。数据来源于http://stock.sohu.com。
首先我们对深圳综指日收盘价格指数序列有基本的认识,分别进行单位根检验和正态性检验,检验结果(见表1)。可知,深圳股市收益率分布的偏度小于0,是非对称分布的,显现出偏左特征;峰度显著大于3,表明深圳股市收益率分布有尖峰特征。
(二)模型参数估计
由于深圳股市的收益率序列存在自相关现象,在作GARCH族模型分析时,首先要确定方程的ARFIMA形式中自回归阶数n与移动平均阶数s的阶数。我们在0≤n ≤2,
0≤s≤2范围内,根据AIC、SBIC最小化准则和模型调整后的R2最大化准则来选取n,s的阶数。因此,我们建立ARFIMA(2,d,1)-FIGARCH(1,d,1)模型。参数估计实证结果(见表2)。
表2为各分布下模型的估计结果。在99%的置信水平下,在对残差进行异方差效应检验后,① 除了正态分布外,其他三个分布下模型估计结果基本显著,且都不存在异方差现象,而Skewed-t分布下实证估计效果更加明显。首先,非对称项和厚尾项均显著异于0,表明Skewed-t分布下较好地反映了股市收益率序列的尖峰厚尾特征。其次,在95%的置信水平下,参数d-Arfima和d-Figarch均显著且大于0小于1,说明深圳股市收益率序列存在双长记忆性。
(三)动态VaR估计及检验
从表3的动态分位数测试结果可得,在0.05置信水平下,除正态分布之外,模型的DQ测试相对于正态分布而言均有了显著的改善。正态分布下的DQ值为9.9167,概率值为0.19335;学生-t分布下为16.991,概率值为0.017453;GED分布下为11.9221,概率值为0.12923;Skewed-t分布下为8.9519,概率值为0.25612。并且在0.005、0.0025置信水平下,Skewed-t分布下更能准确地反映市场真实的VaR,其DQ统计量小,概率值大。
从表3中的LR测试结果也可以看出,Skewed-t分布计算的VaR值均比其他分布下显著,而且估计结果没有拒绝原假设。在0.05置信水平下,失败率均接近5%,p值相对其他分布都更高,表明拟合效果较好。在靠近左尾0.01、0.005和0.0025置信水平时,正态分布、学生-t分布和GED分布下都出现不同程度的低估风险现象。在这方面,Skewed-t分布下低估风险的程度比较低,失败率接近理论值。
结论
本文对在正态分布、学生-t分布、GED分布和Skewed-t分布下,采用ARFIMA-FIGARCH模型对深圳股市收益率的风险值进行了动态建模,其主要结论如下:1)深圳股市的模型参数d-Arfima在95%的置信水平上显著的大于0,表明深圳股市日收益率序列具有显著的长记忆特征,且它的模型参数d-Figarch在99%的置信水平上均有0
参考文献:
[1]张维,黄兴.沪深股市的R/S实证分析[J].系统工程,2001,(1):1-5.
[2]张卫国,胡彦梅,陈建忠.中国股市收益及波动的ARFIMA-FIGARCH模型研究[J].南方经济,2006,(3):108-112.
[3]徐炜,黄炎龙.GARCH模型与VaR的度量研究[J].数量经济技术经济研究,2008(1):120-132
[4]曹广喜.中国股市收益的双长记忆性检验——基于vaR估计的ARFIMA-HYGARCH-skt模型[J].数理统计与管理,2009,(1):167-174.
[5]Sang Hoon Kang,Seong-Min Yoon.Long memory properties in return and volatility:Evidence fromthe Korean stock market[J].PhysicaA,2007(385):591-600.
[6]Hasan Olgun,Zeynel Abidin Ozdemir.Linkages between the center and periphery stock prices:Evidence from the vector ARFIMA model[J].Economic Modelling,2008 (25):512-519.
[7]Richard T.Baillie,Claudio Morana.Modelling long memory and structural breaks in conditional variances:An adaptive FIGARCH approach[J].Journal of Economic Dynamics&Control.2009,(25).
[8]肖智,傅肖肖,钟波.基于EVT-POT-FIGARCH的动态VaR风险测度[J].南开管理评论,2008,(11):100-104.
[9]王春峰,张庆翠,李刚.中国股票市场收益的长期记忆性研究[J].系统工程,2003,(l):22-28.
[10]胡彦梅,张卫国,陈建忠.中国股市长记忆的修正R/S分析[J].数理统计与管理,2006,(l):73-77.
[11]P.Lambert,S.Laurent,Modelling financial time series using GARCH-type models and a skewed Student density[M].Universite′de Lie`ge,2001.
[12]R.T.Baillie,T.Bollerslev,H.O.Mikkelsen.Fractionally integrated generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J].Econ-ometrics ,1996,(74):3-30.[责任编辑 刘娇娇]