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【背景分析】
《圆的认识》是小学数学教材中传统的一个教学内容，许多名师将它作为典型研究课例，以不同视角作过精彩演绎。有的以数学文化的视角为圆的认识打开另一片天空；有的创设现实中投圈是否公平这一问题情境，展开对圆的探索。其实对于圆的认识这样一节研究课，已经被上课者挖掘得非常彻底了，甚至于教师们欣赏圆的认识这节课也已经达到了非常高的水准了。我们知道，圆的科学定义是：在平面内，到达一个定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆。但是很少人尝试着从圆的本质属性出发，教学圆的认识。所以我尝试着从圆的本质属性出发，引领学生用“点的轨迹”的思想去感悟、体验和理解圆的本质属性，实现深入浅出的教学圆的认识。以下是我对《圆的认识》教学的几点思考：
1.教学圆的特征时，能否让学生领悟 “圆是平面内到定点距离相等的点的集合”这一本质特征，为学生后续学习和今后有效发展铺设奠基石？
2.探究圆的特征时，除了借助探究材料和有效的实践操作，是否可以利用想象、推理有价值的数学思考方式来学习圆的特征？
3.圆具有深厚的文化内涵，是否可以将圆的文化融合在数学学习过程之中，实现数学知识与数学文化水乳相溶，使数学课堂显得丰满而圆润？
【过程的简略描述】
一、课前游戏
师：在规定的时间内看谁画的点多。规则：先在白纸上画一个点，然后再画一些点，要求到第一个点的距离都是3厘米。
师：我能在很短的时间内画无数个这样的点。你信吗？
二、教学新课
师：你能把刚才自己画的那幅图补充成圆形吗？
师：这是我们第一次用圆规画圆，你觉得哪儿最容易出问题？
师：同学们，看到这个圆，让你联想到生活中的哪些物体？
师：圆美吗？
师：难怪古希腊有位数学家说：“在一切平面图形中，圆是最美的。”
师：圆看似简单其实一点也不简单！在圆里，还隐藏着许多数学知识！
三、圆的各部分名称与圆的特征
师：在这个圆里，中间的这个点叫圆心，用字母O表示，你还知道哪些数学知识？……
师：这只是我们感性的认识，要想得到更科学的概念，我们还得请教书本。
师：半径是连接圆心到圆上任意一点的线段，这“任意一点”你是怎么理解的？
师：现在请你在自己的圆内标出圆心，并画一条半径。
师：你还能画多少条半径（继续画）？画的完吗？
师：这些半径的长度，相等吗？你是怎么想的？
师：现在我们已经研究了半径的特征，现在可否想象一下直径有多少条，长度都相等吗？你是怎么知道的呢？
师：真不错，半径和直径的关系的秘密竟一眼被你看出来了。不过呆会儿我们还要用多种方法来证明。……
师：太了不起了，如此抽象的数学知识，在你们的手里竟如此简单地迎刃而解了。
师：难道圆规仅仅只能画半径是3厘米的圆吗？我想画的更大些，怎么办？
师：什么决定了圆的大小？（半径）……
师：这两个圆虽然大小不同，什么是相同的？（指出数学上称为同心圆）
师：刚才得出结论半径都相等，这两条半径相等吗？（不相等）看来刚才的结论还需要增加一个条件。（同圆、等圆内）。
师：我想到其他的位置画圆，该怎么办？是什么决定圆的位置？（圆心）
四、巩固拓展
师：《周髀算经》里有这么一句话“圆出于方，方出于矩”，所谓“圆出于方”就是说最初的圆并不是由圆规画成的，而是由正方形不断的切割而成的。如果告诉你正方形的边长是10厘米，你能知道圆的半径与直径吗？
师：到现在美术老师还会用这种方法教我们画圆。
师：体育老师想在操场上画一个比较大的圆，难道还用圆规？
师：自行车轮子为什么选用圆形，而不选用三角形与正方形？
师：难道用圆形做轮子就可以吗？（课件演示车轴在圆心和不在圆心的两种情况）
五、课堂总结（略）
【自我反思】
整堂课以围绕感知、体验和深化圆的本质属性的学习框架而展开。游戏环节以初步感知圆是到定点距离等于定长的点的集合；画圆环节以体验圆是确定固定长度（半径）围绕固定点（圆心）旋转一周形成的封闭图形；练习环节在多样的画圆方法中，提炼出画圆的共同点，深刻理解圆的本质属性。我引领学生用“点的轨迹”思想学习圆的本质属性，得到了成功的尝试，总结起来有以下几点体会：
一、返朴归真——用数学的本质魅力来吸引学生
创设情境有利于调动学生的学习兴趣与欲望，但最终能够真正持久地吸引学生的是数学的本质魅力，它才是维系学生不懈学习数学的源泉。课堂上我没有创设情境，但学生在学习活动中投入了极大的热情，这股热情源于学生对数学本身魅力的吸引，源于对数学思考的挑战，源于对数学真理的追求。为什么“在白纸画一个点，然后再画一些点，要求到第一个点的距离都是3厘米。”形成的图形会接近于圆形？而当有无数个这样的点就会形成一个圆形，究竟里面隐藏着怎样的奥秘？是数学的本身魅力吸引着学生。更重要的是，利用这样一个画点平台，用圆规将它补充成一个圆的时候，半径与直径的特征就在潜移默化中悄悄解决了。看似非常简单的画点游戏，却蕴含了深刻的哲理——圆的本质属性：圆就是平面内到定点距离相等的点的集合。
二、数学思考——有效操作最终为思维的深刻性服务
数学课堂中，数学操作有利于学生数学的思考，但是操作仅仅是作为学习的手段，把它作为“拐杖”，最终实现操作活动数学化。圆的半径有无数条这一特征，假如想利用操作理解这一特征实在很抽象，但是借助画点这一有效操作手段建立一个认知经验，再通过有效操作后的合理想象，比较容易得出圆有无数条半径，以此类推出圆的直径有无数条也是水到渠成。同时在解决半径与直径之间的关系时，通过测量法、观察法、折叠法来学习数学，我们在操作时只研究了一条直径与对应的两条半径存在的倍数关系，但是借助不断的想象与推理，以此类推：任何一条直径都有与之相对应的两条半径，最终得出一条直径等于两条半径。可以说，此时的操作并不是主要学习的手段，反而数学的思考——想象、推理成为学习圆的特征的主要学习方式。这些有价值的数学思维，随着学生年龄的增长，越来越显现出其重要的地位与作用。
三、文化底蕴——数学学习过程中实现数学知识与数学文化有机融合
数学史料是不仅仅只作为课堂教学的一种点缀，更重要的是通过学习内容的融合中品味其中的含义，用于巩固、深化和拓展对圆的知识。课始，在简单而抽象的圆中展开想象：圆让你联想到生活中的什么物体？然后引用古希腊数学家的一句话：“在一切平面图形中，圆是最美的。”有了这样的一种亲身体验美的过程，对圆的思考与研究就添加了有效的催化剂。《周髀算经》关于圆的记载：圆出于方，方出于矩。最初画圆并不是由用圆规画的，而是由正方形不断的切割而成的。事实上，这种方法至今仍在沿用，美术教师还会用这种方法教我们画圆，进一步思考，如果正方形的边长是10厘米，你能想到圆的直径与半径的长度吗？在默默学习古人画圆方法的过程中，体会到原来自己美术课上画圆的方法也有这样一段美丽的典故呢？数学文化正悄悄滋润着每位学生的心田。在落实知识与技能的同时，学会用数学的眼光分析生活问题，学习有价值的数学，精彩地演绎着数学文化。在不断学习与深化的过程中，始终有伟人与史料做伴，数学文化使得数学课堂变得丰满而圆润。
（作者单位：545799广西金秀县民族小学）
《圆的认识》是小学数学教材中传统的一个教学内容，许多名师将它作为典型研究课例，以不同视角作过精彩演绎。有的以数学文化的视角为圆的认识打开另一片天空；有的创设现实中投圈是否公平这一问题情境，展开对圆的探索。其实对于圆的认识这样一节研究课，已经被上课者挖掘得非常彻底了，甚至于教师们欣赏圆的认识这节课也已经达到了非常高的水准了。我们知道，圆的科学定义是：在平面内，到达一个定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆。但是很少人尝试着从圆的本质属性出发，教学圆的认识。所以我尝试着从圆的本质属性出发，引领学生用“点的轨迹”的思想去感悟、体验和理解圆的本质属性，实现深入浅出的教学圆的认识。以下是我对《圆的认识》教学的几点思考：
1.教学圆的特征时，能否让学生领悟 “圆是平面内到定点距离相等的点的集合”这一本质特征，为学生后续学习和今后有效发展铺设奠基石？
2.探究圆的特征时，除了借助探究材料和有效的实践操作，是否可以利用想象、推理有价值的数学思考方式来学习圆的特征？
3.圆具有深厚的文化内涵，是否可以将圆的文化融合在数学学习过程之中，实现数学知识与数学文化水乳相溶，使数学课堂显得丰满而圆润？
【过程的简略描述】
一、课前游戏
师：在规定的时间内看谁画的点多。规则：先在白纸上画一个点，然后再画一些点，要求到第一个点的距离都是3厘米。
师：我能在很短的时间内画无数个这样的点。你信吗？
二、教学新课
师：你能把刚才自己画的那幅图补充成圆形吗？
师：这是我们第一次用圆规画圆，你觉得哪儿最容易出问题？
师：同学们，看到这个圆，让你联想到生活中的哪些物体？
师：圆美吗？
师：难怪古希腊有位数学家说：“在一切平面图形中，圆是最美的。”
师：圆看似简单其实一点也不简单！在圆里，还隐藏着许多数学知识！
三、圆的各部分名称与圆的特征
师：在这个圆里，中间的这个点叫圆心，用字母O表示，你还知道哪些数学知识？……
师：这只是我们感性的认识，要想得到更科学的概念，我们还得请教书本。
师：半径是连接圆心到圆上任意一点的线段，这“任意一点”你是怎么理解的？
师：现在请你在自己的圆内标出圆心，并画一条半径。
师：你还能画多少条半径（继续画）？画的完吗？
师：这些半径的长度，相等吗？你是怎么想的？
师：现在我们已经研究了半径的特征，现在可否想象一下直径有多少条，长度都相等吗？你是怎么知道的呢？
师：真不错，半径和直径的关系的秘密竟一眼被你看出来了。不过呆会儿我们还要用多种方法来证明。……
师：太了不起了，如此抽象的数学知识，在你们的手里竟如此简单地迎刃而解了。
师：难道圆规仅仅只能画半径是3厘米的圆吗？我想画的更大些，怎么办？
师：什么决定了圆的大小？（半径）……
师：这两个圆虽然大小不同，什么是相同的？（指出数学上称为同心圆）
师：刚才得出结论半径都相等，这两条半径相等吗？（不相等）看来刚才的结论还需要增加一个条件。（同圆、等圆内）。
师：我想到其他的位置画圆，该怎么办？是什么决定圆的位置？（圆心）
四、巩固拓展
师：《周髀算经》里有这么一句话“圆出于方，方出于矩”，所谓“圆出于方”就是说最初的圆并不是由圆规画成的，而是由正方形不断的切割而成的。如果告诉你正方形的边长是10厘米，你能知道圆的半径与直径吗？
师：到现在美术老师还会用这种方法教我们画圆。
师：体育老师想在操场上画一个比较大的圆，难道还用圆规？
师：自行车轮子为什么选用圆形，而不选用三角形与正方形？
师：难道用圆形做轮子就可以吗？（课件演示车轴在圆心和不在圆心的两种情况）
五、课堂总结（略）
【自我反思】
整堂课以围绕感知、体验和深化圆的本质属性的学习框架而展开。游戏环节以初步感知圆是到定点距离等于定长的点的集合；画圆环节以体验圆是确定固定长度（半径）围绕固定点（圆心）旋转一周形成的封闭图形；练习环节在多样的画圆方法中，提炼出画圆的共同点，深刻理解圆的本质属性。我引领学生用“点的轨迹”思想学习圆的本质属性，得到了成功的尝试，总结起来有以下几点体会：
一、返朴归真——用数学的本质魅力来吸引学生
创设情境有利于调动学生的学习兴趣与欲望，但最终能够真正持久地吸引学生的是数学的本质魅力，它才是维系学生不懈学习数学的源泉。课堂上我没有创设情境，但学生在学习活动中投入了极大的热情，这股热情源于学生对数学本身魅力的吸引，源于对数学思考的挑战，源于对数学真理的追求。为什么“在白纸画一个点，然后再画一些点，要求到第一个点的距离都是3厘米。”形成的图形会接近于圆形？而当有无数个这样的点就会形成一个圆形，究竟里面隐藏着怎样的奥秘？是数学的本身魅力吸引着学生。更重要的是，利用这样一个画点平台，用圆规将它补充成一个圆的时候，半径与直径的特征就在潜移默化中悄悄解决了。看似非常简单的画点游戏，却蕴含了深刻的哲理——圆的本质属性：圆就是平面内到定点距离相等的点的集合。
二、数学思考——有效操作最终为思维的深刻性服务
数学课堂中，数学操作有利于学生数学的思考，但是操作仅仅是作为学习的手段，把它作为“拐杖”，最终实现操作活动数学化。圆的半径有无数条这一特征，假如想利用操作理解这一特征实在很抽象，但是借助画点这一有效操作手段建立一个认知经验，再通过有效操作后的合理想象，比较容易得出圆有无数条半径，以此类推出圆的直径有无数条也是水到渠成。同时在解决半径与直径之间的关系时，通过测量法、观察法、折叠法来学习数学，我们在操作时只研究了一条直径与对应的两条半径存在的倍数关系，但是借助不断的想象与推理，以此类推：任何一条直径都有与之相对应的两条半径，最终得出一条直径等于两条半径。可以说，此时的操作并不是主要学习的手段，反而数学的思考——想象、推理成为学习圆的特征的主要学习方式。这些有价值的数学思维，随着学生年龄的增长，越来越显现出其重要的地位与作用。
三、文化底蕴——数学学习过程中实现数学知识与数学文化有机融合
数学史料是不仅仅只作为课堂教学的一种点缀，更重要的是通过学习内容的融合中品味其中的含义，用于巩固、深化和拓展对圆的知识。课始，在简单而抽象的圆中展开想象：圆让你联想到生活中的什么物体？然后引用古希腊数学家的一句话：“在一切平面图形中，圆是最美的。”有了这样的一种亲身体验美的过程，对圆的思考与研究就添加了有效的催化剂。《周髀算经》关于圆的记载：圆出于方，方出于矩。最初画圆并不是由用圆规画的，而是由正方形不断的切割而成的。事实上，这种方法至今仍在沿用，美术教师还会用这种方法教我们画圆，进一步思考，如果正方形的边长是10厘米，你能想到圆的直径与半径的长度吗？在默默学习古人画圆方法的过程中，体会到原来自己美术课上画圆的方法也有这样一段美丽的典故呢？数学文化正悄悄滋润着每位学生的心田。在落实知识与技能的同时，学会用数学的眼光分析生活问题，学习有价值的数学，精彩地演绎着数学文化。在不断学习与深化的过程中，始终有伟人与史料做伴，数学文化使得数学课堂变得丰满而圆润。
（作者单位：545799广西金秀县民族小学）