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摘 要： 学生对应用问题建模的过程就是要求学生灵活应用所学到的数学知识，以及有关的数学思想和方法解决实际问题的过程。本文提出中职数学教学开展建模活动的实施构想，并且结合具体实例探讨了开展数学建模学习，培养中职学生数学应用能力的措施。
关键词： 中职数学教学 建模学习 实施构想 具体实践 应用能力
一、问题的提出
对于中职学生而言，学习数学的主要目的是利用所学的数学知识去解决生产和生活中所遇到的问题，而应用的关键是数学应用能力的培养。现行的中职数学课程多是“掐头去尾烧中段”，也就是说数学主要着眼于内部的理论结构和它们之间的逻辑关系，着重训练学生的逻辑思维能力，而没有着重讨论和训练如何从实际问题中提炼出数学问题，到头来还是不会解决实际问题。没有充分的有意识的训练，学生的应用意识是不会形成和提高的。数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，也是连接应用问题与发展学生数学应用意识的纽带。如果学生能将与所学数学知识相关的实际问题自觉模型化，就说明学生的数学应用意识和应用能力很强了。根据长期的教学实践，我认为开展数学建模学习能够有效培养中职学生的数学应用能力。
二、中职数学教学开展建模活动的实施构想
第一阶段（一年级实施）：结合教材，以应用题为突破口，培养学生运用数学建模方法的意识，以简单建模为主要目标。例如：暑假考虑全家外出旅游，找两家旅行社联系，甲社的收费标准为：家长一人购全票，其余成员全部可购半票；乙社的收费标准为：家庭旅行按团体票优惠，照标价的三分之二计算。已知旅行社的原价是一样的，试就家庭成员的多少分析哪家旅行社更实惠。本题解法其实很简单，只不过要将现实世界的问题经简化转换成现实模型，然后翻译成数学模型，再采用数学方法和计算工具求解模型，接着将此解翻译成实际问题的解，最后分析此解是否符合实际，是否需要修改、深化、拓展等。经过这样一段时间训练之后，学生的建模能力将逐渐提高，同时运用数学知识解决实际问题的兴趣也会逐渐提高，享受到数学学习的乐趣，增强学好数学建模的信心。但要注意的是由于刚开始接触这一新的思想方法，因此选取的例子要贴近教材内容，要考虑到中职生的数学基础，贴近学生的认知水平，贴近学生的生活实际，涉及的专业知识不能太多，且要易于理解。此阶段的重点是站在提高学生素质的高度，把渗透数学建模的意识作为首要任务，并注重培养学生的阅读理解能力和数学语言的转换能力。同时，此阶段师生共同讨论，分析寻找等量关系或函数关系，将实际问题数学化，本阶段主要是落实简单建模的教学目标。
第二阶段（二年级实施）：安排与教材内容有关的典型案例，落实典型案例教学目标，让学生初步掌握建模的常用方法。到了中职二年级阶段，学生所学知识逐渐增多，教师应结合教材内容精心挑选典型案例，有计划地让学生参与建模过程。例如：某零售商店对甲商品的需求量为每天一个单位，而前置时间（订货至到货的时间）是两天。如果甲商品成本为每单位500元，存货1单位每年的存贮费为成本的20%，每次订货所付订货费为20元。（1）决策S：每2天订货一次，每次订货2个单位；决策：S每20天订货一次，每次订货20个单位。试比较哪种决策为优?（2）能否找出更好的订货决策?在解决这类决策问题时可适宜介绍数学建模方法，以激发学生进一步学好数学的热情，拓宽学生视野，接触更多的社会知识和科学知识。此阶段主要落实典型案例教学目标。为此，教师应该改变传统教学方式，精心指导学生自己独立完成，然后由学生汇报并写报告，使他们能对经过提炼加工、忽略了次要因素保留下来的诸因素之间的数量关系比较清楚的实际问题，构建其数学模型。
第三阶段（三年级实施）：由于中职三年级不再开设数学课，在此阶段数学建模的学习主要以讲座和专题活动的形式开展。此阶段重点培养学生的对各种能力的综合应用，它涉及文字理解能力，对实际的熟悉程度，对相关知识的掌握程度，良好的心理素质，创新精神和创造能力，以及观察、分析、综合、比较、概括等各种科学思维方法的综合应用。为此，师生应组成“共同体”，在活动时结合中职生的实际情况，以建模为核心，在老师的点拨指导下，以小组为单位开展建模活动，同时为提高学生独立工作和相互合作的能力，小组成员最好是优、良、中、差均衡搭配，并轮流担任组长负责召集、记录和写报告，然后师生共同讨论评定并总结，教师重点在科学的思维方法上给予点拨和总结。此时，有关课题可由教师提供，亦可由学生提供，并可让学生去实践，增强应用意识和经济观念，增长生活、生产知识，提高学生的应用能力和创新能力，为今后的工作和就业做好准备。比如下文具体举例阐述的投资方案选择研究课题。
三、开展建模学习的具体实践
数学应用和建模应与平时的数学教学有机结合，把应用和数学课内知识的学习更好地结合起来。这样的结合可以向两个方向发展，一是向“源”的方向展开，即教师应特别注意向学生介绍知识产生、发展的背景；二是向“流”的方向深入，即教师要引导学生了解知识的功能，以及在实际生活中的应用，了解数学应用、数学建模与学生现实所学知识的切入点，引导学生在学中用，在用中学。在每学完一单元有关数学知识后，应安排该单元知识的应用专题，重点是渗透数学建模思想，提高学生的创新意识和化归等能力。根据大纲要求和现行教材内容，主要有：函数的应用，等差数列和等比数列的应用，不等式的应用，线性规划的应用，排列与组合和概率统计应用，导数的应用，等等。此外，结合时代发展的特点，涉及现代生活的经济统计图表（识别、分析、绘制），矩阵对策，股票、彩票发行模型，风险决策，市场预测，存贮原理，供求模型，就业与失业，广告与税款，等等，亦可以专题讲座等形式向学生作介绍，以适应时代发展的要求。在此基础上，应对上述内容结合专业需要，对其建模的主要类型进行化归，以适应教学的需要，减轻学生负担。
比如建立或化归为函数模型，可以选择现实生活中普遍存在着最优化问题——最佳投资、最小成本等，归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。
例如，我对财会专业三年级学生提出投资方案选择研究课题：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问：你会选择哪种投资方案？
1.分析问题，激发思考。
学生已经在初中学过一次函数、二次函数，在前面两年又学习了指数函数、对数函数及幂函数，对函数的知识已有一定的认识。虽然在前面已初步了解了指数函数、对数函数及幂函数的概念及其基本性质，本课题的内容只是对这些知识进行实际应用。但是在解决实际问题时，学生经常会面临着如何选择恰当的函数模型来刻画一个实际问题，这对学生来说不是轻易能做到的。多数学生选择方案三，我反问：“一定是这样吗？”学生陷入沉思，引起不同的思考。我引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述，鼓励学生猜想，更引导学生确认，进而提出用数学方法解决该问题——建立相应的函数模型。
2.建立模型，求解作答。
解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元；y=40（x∈N）
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；y=10x（x∈N）
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番；y=0.4×2（x∈N）
提供备选方案：
（1）投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优，比较三种方案每天回报量。
（2）比较三种方案一段时间内的总回报量，哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
师生合作：利用计算工具列出三种投资方案对应的表格。
引导学生观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流。
引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线上升”、“指数爆炸”等。
根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。
利用几何画板画出上述三种函数的图像。
引导学生利用函数图像分析三种方案的不同变化趋势。学生对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据。
累积回报表
学生往往是将每天的回报量当作选择的依据，因此会得出错误的结论，需要修正。我引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要作出正确选择，除了要考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益。学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息作出推理判断，获得累计收益并给出本题的完整解答，然后全班进行交流。
3.修正错误，完善结论。
从每天的回报量来看：第1—4天，方案一最多；第5—8天，方案二最多；第9天以后，方案三最多。有人认为投资：1—4天选择方案一；5—8天选择方案二；9天以后选择方案三。其实不然。
结论：投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8—10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案.当然投资时间越长，我们越会选择第三种投资方案——指数爆炸型。
由问题1的解决，我们可以得到解决实际问题的一般步骤：（1）实际问题；（2）读懂问题抽象概括；（3）数学模型；（4）演算推理；（5）数学问题的解；（6）还原说明；（7）实际问题的解。
从投资方来说，总希望利润越高越好，但实际上是不可能的，还需要受很多因素的制约，利润不可能无限制增长，说明了理论与实际的距离。问题的分析与解决都遵循求解函数问题的一般方法，通过师生合作、生生合作的互动方式，提取各种信息，综合运用所得的信息，转化问题、体会过程，从而获得结论。
我有效指导学生把实际问题转化为函数模型，选择合适的数学模型分析解决实际问题，进而在探究中比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例使学生体会到直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义，使学生体验到数学源于生活，又应用于生活，学好数学、用好数学可以提升我们自身的品位。
当然，现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如投资决策、生产规划、交通运输等问题中涉及的有关数量问题，常归结为方程或不等式求解，因此我们可以指导学生建立或化归为方程或不等式模型。许多经济问题，如增长率、利息（单利、复利）、分期付款等与时间相关的实际问题，常通过建立相应的数列模型求解，我们可以指导学生建立或化归为数列模型。其他如建立或化归为几何模型，建立或化归为概率模型等都可以结合学生所学专业开展建模学习，既培养了学生的数学应用能力，又为专业课教学作好了铺垫。
总之，实际问题数学化是过程，数学问题生活化是目的。数学建模就是应用数学的语言和方法对一个实际问题所作的设计。中职数学建模教学的主要目标是培养学生运用数学的意识、切实提高学生运用数学知识解决解决实际问题的应用能力，让数学服务于学生的发展。
参考文献：
［1］涂荣豹.新编数学教学论［M］.华东师范大学出版社，2006.
［2］徐稼红.中学数学应用与建模［M］.苏州大学出版社，2007.
［3］王尚志.数学教学研究与案例［M］.高等教育出版社，2006.
［4］李延林.数学建模引导高中学生进入用数学的新阶段［J］.数学通报，2005，（10）.
［5］陈定昌.数学课堂建模教学初探［J］.数学教学研究，2010，（9）.
关键词： 中职数学教学 建模学习 实施构想 具体实践 应用能力
一、问题的提出
对于中职学生而言，学习数学的主要目的是利用所学的数学知识去解决生产和生活中所遇到的问题，而应用的关键是数学应用能力的培养。现行的中职数学课程多是“掐头去尾烧中段”，也就是说数学主要着眼于内部的理论结构和它们之间的逻辑关系，着重训练学生的逻辑思维能力，而没有着重讨论和训练如何从实际问题中提炼出数学问题，到头来还是不会解决实际问题。没有充分的有意识的训练，学生的应用意识是不会形成和提高的。数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，也是连接应用问题与发展学生数学应用意识的纽带。如果学生能将与所学数学知识相关的实际问题自觉模型化，就说明学生的数学应用意识和应用能力很强了。根据长期的教学实践，我认为开展数学建模学习能够有效培养中职学生的数学应用能力。
二、中职数学教学开展建模活动的实施构想
第一阶段（一年级实施）：结合教材，以应用题为突破口，培养学生运用数学建模方法的意识，以简单建模为主要目标。例如：暑假考虑全家外出旅游，找两家旅行社联系，甲社的收费标准为：家长一人购全票，其余成员全部可购半票；乙社的收费标准为：家庭旅行按团体票优惠，照标价的三分之二计算。已知旅行社的原价是一样的，试就家庭成员的多少分析哪家旅行社更实惠。本题解法其实很简单，只不过要将现实世界的问题经简化转换成现实模型，然后翻译成数学模型，再采用数学方法和计算工具求解模型，接着将此解翻译成实际问题的解，最后分析此解是否符合实际，是否需要修改、深化、拓展等。经过这样一段时间训练之后，学生的建模能力将逐渐提高，同时运用数学知识解决实际问题的兴趣也会逐渐提高，享受到数学学习的乐趣，增强学好数学建模的信心。但要注意的是由于刚开始接触这一新的思想方法，因此选取的例子要贴近教材内容，要考虑到中职生的数学基础，贴近学生的认知水平，贴近学生的生活实际，涉及的专业知识不能太多，且要易于理解。此阶段的重点是站在提高学生素质的高度，把渗透数学建模的意识作为首要任务，并注重培养学生的阅读理解能力和数学语言的转换能力。同时，此阶段师生共同讨论，分析寻找等量关系或函数关系，将实际问题数学化，本阶段主要是落实简单建模的教学目标。
第二阶段（二年级实施）：安排与教材内容有关的典型案例，落实典型案例教学目标，让学生初步掌握建模的常用方法。到了中职二年级阶段，学生所学知识逐渐增多，教师应结合教材内容精心挑选典型案例，有计划地让学生参与建模过程。例如：某零售商店对甲商品的需求量为每天一个单位，而前置时间（订货至到货的时间）是两天。如果甲商品成本为每单位500元，存货1单位每年的存贮费为成本的20%，每次订货所付订货费为20元。（1）决策S：每2天订货一次，每次订货2个单位；决策：S每20天订货一次，每次订货20个单位。试比较哪种决策为优?（2）能否找出更好的订货决策?在解决这类决策问题时可适宜介绍数学建模方法，以激发学生进一步学好数学的热情，拓宽学生视野，接触更多的社会知识和科学知识。此阶段主要落实典型案例教学目标。为此，教师应该改变传统教学方式，精心指导学生自己独立完成，然后由学生汇报并写报告，使他们能对经过提炼加工、忽略了次要因素保留下来的诸因素之间的数量关系比较清楚的实际问题，构建其数学模型。
第三阶段（三年级实施）：由于中职三年级不再开设数学课，在此阶段数学建模的学习主要以讲座和专题活动的形式开展。此阶段重点培养学生的对各种能力的综合应用，它涉及文字理解能力，对实际的熟悉程度，对相关知识的掌握程度，良好的心理素质，创新精神和创造能力，以及观察、分析、综合、比较、概括等各种科学思维方法的综合应用。为此，师生应组成“共同体”，在活动时结合中职生的实际情况，以建模为核心，在老师的点拨指导下，以小组为单位开展建模活动，同时为提高学生独立工作和相互合作的能力，小组成员最好是优、良、中、差均衡搭配，并轮流担任组长负责召集、记录和写报告，然后师生共同讨论评定并总结，教师重点在科学的思维方法上给予点拨和总结。此时，有关课题可由教师提供，亦可由学生提供，并可让学生去实践，增强应用意识和经济观念，增长生活、生产知识，提高学生的应用能力和创新能力，为今后的工作和就业做好准备。比如下文具体举例阐述的投资方案选择研究课题。
三、开展建模学习的具体实践
数学应用和建模应与平时的数学教学有机结合，把应用和数学课内知识的学习更好地结合起来。这样的结合可以向两个方向发展，一是向“源”的方向展开，即教师应特别注意向学生介绍知识产生、发展的背景；二是向“流”的方向深入，即教师要引导学生了解知识的功能，以及在实际生活中的应用，了解数学应用、数学建模与学生现实所学知识的切入点，引导学生在学中用，在用中学。在每学完一单元有关数学知识后，应安排该单元知识的应用专题，重点是渗透数学建模思想，提高学生的创新意识和化归等能力。根据大纲要求和现行教材内容，主要有：函数的应用，等差数列和等比数列的应用，不等式的应用，线性规划的应用，排列与组合和概率统计应用，导数的应用，等等。此外，结合时代发展的特点，涉及现代生活的经济统计图表（识别、分析、绘制），矩阵对策，股票、彩票发行模型，风险决策，市场预测，存贮原理，供求模型，就业与失业，广告与税款，等等，亦可以专题讲座等形式向学生作介绍，以适应时代发展的要求。在此基础上，应对上述内容结合专业需要，对其建模的主要类型进行化归，以适应教学的需要，减轻学生负担。
比如建立或化归为函数模型，可以选择现实生活中普遍存在着最优化问题——最佳投资、最小成本等，归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。
例如，我对财会专业三年级学生提出投资方案选择研究课题：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问：你会选择哪种投资方案？
1.分析问题，激发思考。
学生已经在初中学过一次函数、二次函数，在前面两年又学习了指数函数、对数函数及幂函数，对函数的知识已有一定的认识。虽然在前面已初步了解了指数函数、对数函数及幂函数的概念及其基本性质，本课题的内容只是对这些知识进行实际应用。但是在解决实际问题时，学生经常会面临着如何选择恰当的函数模型来刻画一个实际问题，这对学生来说不是轻易能做到的。多数学生选择方案三，我反问：“一定是这样吗？”学生陷入沉思，引起不同的思考。我引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述，鼓励学生猜想，更引导学生确认，进而提出用数学方法解决该问题——建立相应的函数模型。
2.建立模型，求解作答。
解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元；y=40（x∈N）
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；y=10x（x∈N）
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番；y=0.4×2（x∈N）
提供备选方案：
（1）投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优，比较三种方案每天回报量。
（2）比较三种方案一段时间内的总回报量，哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
师生合作：利用计算工具列出三种投资方案对应的表格。
引导学生观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流。
引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线上升”、“指数爆炸”等。
根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。
利用几何画板画出上述三种函数的图像。
引导学生利用函数图像分析三种方案的不同变化趋势。学生对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据。
累积回报表
学生往往是将每天的回报量当作选择的依据，因此会得出错误的结论，需要修正。我引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要作出正确选择，除了要考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益。学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息作出推理判断，获得累计收益并给出本题的完整解答，然后全班进行交流。
3.修正错误，完善结论。
从每天的回报量来看：第1—4天，方案一最多；第5—8天，方案二最多；第9天以后，方案三最多。有人认为投资：1—4天选择方案一；5—8天选择方案二；9天以后选择方案三。其实不然。
结论：投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8—10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案.当然投资时间越长，我们越会选择第三种投资方案——指数爆炸型。
由问题1的解决，我们可以得到解决实际问题的一般步骤：（1）实际问题；（2）读懂问题抽象概括；（3）数学模型；（4）演算推理；（5）数学问题的解；（6）还原说明；（7）实际问题的解。
从投资方来说，总希望利润越高越好，但实际上是不可能的，还需要受很多因素的制约，利润不可能无限制增长，说明了理论与实际的距离。问题的分析与解决都遵循求解函数问题的一般方法，通过师生合作、生生合作的互动方式，提取各种信息，综合运用所得的信息，转化问题、体会过程，从而获得结论。
我有效指导学生把实际问题转化为函数模型，选择合适的数学模型分析解决实际问题，进而在探究中比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例使学生体会到直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义，使学生体验到数学源于生活，又应用于生活，学好数学、用好数学可以提升我们自身的品位。
当然，现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如投资决策、生产规划、交通运输等问题中涉及的有关数量问题，常归结为方程或不等式求解，因此我们可以指导学生建立或化归为方程或不等式模型。许多经济问题，如增长率、利息（单利、复利）、分期付款等与时间相关的实际问题，常通过建立相应的数列模型求解，我们可以指导学生建立或化归为数列模型。其他如建立或化归为几何模型，建立或化归为概率模型等都可以结合学生所学专业开展建模学习，既培养了学生的数学应用能力，又为专业课教学作好了铺垫。
总之，实际问题数学化是过程，数学问题生活化是目的。数学建模就是应用数学的语言和方法对一个实际问题所作的设计。中职数学建模教学的主要目标是培养学生运用数学的意识、切实提高学生运用数学知识解决解决实际问题的应用能力，让数学服务于学生的发展。
参考文献：
［1］涂荣豹.新编数学教学论［M］.华东师范大学出版社，2006.
［2］徐稼红.中学数学应用与建模［M］.苏州大学出版社，2007.
［3］王尚志.数学教学研究与案例［M］.高等教育出版社，2006.
［4］李延林.数学建模引导高中学生进入用数学的新阶段［J］.数学通报，2005，（10）.
［5］陈定昌.数学课堂建模教学初探［J］.数学教学研究，2010，（9）.