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摘 要 本文主要研究非参数异方差回归模型的局部多项式估计问题.首先利用局部线性逼近的技巧，得到了回归均值函数的局部极大似然估计.然后，考虑到回归方差函数的非负性，利用局部对数多项式拟合，得到了方差函数的局部多项式估计，保证了估计量的非负性，并证明了估计量的渐近性质.最后，通过对农村居民消费与收入的实证研究，说明了非参数异方差回归模型的局部多项式方法比普通最小二乘估计法的拟合效果更好，并且预测的精度更高.
关键词 非参数回归；异方差；局部多项式拟合；局部极大似然估计；渐近正态性
中图分类号 O212.7； F224.0 文献标识码 A
Local Polynomial Estimations for Nonparametric
Heteroscedastic Regression Model
—— An Empirical Analysis of Rural Households’ Consumption and Income
ZHANG Dongyun
（Business School， Henan Normal University， XinXiang， Henan 453007，China）
Abstract This paper studied local polynomial estimations for nonparametric heteroscedastic regression models. Firstly， the local maximum likelihood estimation of regression mean function was gained by using local linear fitting. Secondly， considering the positive of regression variance function， its local polynomial estimation was proposed by using local logpolynomial fitting， which guaranteed positive of the local estimation. Furthermore， we verified asymptotic normality of the local estimation. Finally， with the real data studies of Chinese rural residents’ consumption and income， it shows that the local polynomial method for nonparametric regression models performs better than the least squares method， and has higher accuracy.
Key words nonparametric regression； heteroscedastic； local polynomial fitting； local maximum likelihood estimation； asymptotic normality
1 引 言
由于非参数回归模型统计推断问题不依赖于总体的分布类型，因此其有着非常广泛的应用.有关非参数回归模型的研究可以参见文献[1-5，]等.近年来，非参数异方差回归模型得到飞速的发展，其中回归模型的异方差性，是指对于不同的解释变量的观测值，随机误差项的方差是不同的.比如，横截面数据通常都具有异方差性.何其祥等[6]研究了线性模型的异方差的局部多项式估计.
本文中，考虑非参数异方差回归模型中均值函数和方差函数的局部多项式估计问题，这里，采用的技巧是局部多项式拟合（参见文献[7]）.注意到方差函数是非负的，对方差函数的对数进行局部多项式拟合，保证了回归方差函数的估计的非负性.此外，利用非参数异方差回归模型的局部多项式估计方法，对我国农村居民人均消费支出与人均纯收入之间的关系进行了实证分析，结果表明，非参数异方差回归模型的局部多项式方法比最小二乘的方法有更好地拟合效果和更高的预测精度.这是由于改革的逐渐深入，居民的经济生活中的不确定因素日渐增多，人们很难对未来的收入做出比较理性的预期，所以居民的消费行为是一个时变的过程，并且在不同的时期存在着显著的差异性，而传统的经济计量模型很难解释居民生活消费行为的这种时变特征，而本文的非参数异方差回归模型能更好地捕捉居民生活消费行为这种时变的特征.
2 模型的局部多项式估计
考虑非参数异方差回归模型：
参考文献
[1] C J STONE. Consistent nonparametric regression[J]. The Annals of Statistics， 1977， 5（4）：595-645.
[2] 李丹宁，穆铮，石军，马明洋.基于非参数估计方法的沪铜期货价格研究[J]. 经济数学，2012，29（3）： 32-35.
[3] H G MULLER，U STADTMULLER. Estimation of heteroscedasticity in regression analysis[J]. The Annals of Statistics， 1987， 15 （2）： 610-625.
[4] K YU， M C JONES. Likelihoodbased local linear estimation of the conditional variance function[J]. J Amer. Statist. Assoc.， 2004，99 （1）： 139-144.
[5] 王景乐，郑明.非参数回归中方差变点的小波检测[J]. 应用概率统计，2012，28（4）：413-438.
[6] 何其祥，郑明.一元线性模型异方差的局部多项式回归[J]. 系统工程理论方法应用，2003，12（2）： 153-156.
[7] J FAN， I GIJBELS. Local polynomial medelling and its applications[M]. London： Chapman and Hall， 1996.
关键词 非参数回归；异方差；局部多项式拟合；局部极大似然估计；渐近正态性
中图分类号 O212.7； F224.0 文献标识码 A
Local Polynomial Estimations for Nonparametric
Heteroscedastic Regression Model
—— An Empirical Analysis of Rural Households’ Consumption and Income
ZHANG Dongyun
（Business School， Henan Normal University， XinXiang， Henan 453007，China）
Abstract This paper studied local polynomial estimations for nonparametric heteroscedastic regression models. Firstly， the local maximum likelihood estimation of regression mean function was gained by using local linear fitting. Secondly， considering the positive of regression variance function， its local polynomial estimation was proposed by using local logpolynomial fitting， which guaranteed positive of the local estimation. Furthermore， we verified asymptotic normality of the local estimation. Finally， with the real data studies of Chinese rural residents’ consumption and income， it shows that the local polynomial method for nonparametric regression models performs better than the least squares method， and has higher accuracy.
Key words nonparametric regression； heteroscedastic； local polynomial fitting； local maximum likelihood estimation； asymptotic normality
1 引 言
由于非参数回归模型统计推断问题不依赖于总体的分布类型，因此其有着非常广泛的应用.有关非参数回归模型的研究可以参见文献[1-5，]等.近年来，非参数异方差回归模型得到飞速的发展，其中回归模型的异方差性，是指对于不同的解释变量的观测值，随机误差项的方差是不同的.比如，横截面数据通常都具有异方差性.何其祥等[6]研究了线性模型的异方差的局部多项式估计.
本文中，考虑非参数异方差回归模型中均值函数和方差函数的局部多项式估计问题，这里，采用的技巧是局部多项式拟合（参见文献[7]）.注意到方差函数是非负的，对方差函数的对数进行局部多项式拟合，保证了回归方差函数的估计的非负性.此外，利用非参数异方差回归模型的局部多项式估计方法，对我国农村居民人均消费支出与人均纯收入之间的关系进行了实证分析，结果表明，非参数异方差回归模型的局部多项式方法比最小二乘的方法有更好地拟合效果和更高的预测精度.这是由于改革的逐渐深入，居民的经济生活中的不确定因素日渐增多，人们很难对未来的收入做出比较理性的预期，所以居民的消费行为是一个时变的过程，并且在不同的时期存在着显著的差异性，而传统的经济计量模型很难解释居民生活消费行为的这种时变特征，而本文的非参数异方差回归模型能更好地捕捉居民生活消费行为这种时变的特征.
2 模型的局部多项式估计
考虑非参数异方差回归模型：
参考文献
[1] C J STONE. Consistent nonparametric regression[J]. The Annals of Statistics， 1977， 5（4）：595-645.
[2] 李丹宁，穆铮，石军，马明洋.基于非参数估计方法的沪铜期货价格研究[J]. 经济数学，2012，29（3）： 32-35.
[3] H G MULLER，U STADTMULLER. Estimation of heteroscedasticity in regression analysis[J]. The Annals of Statistics， 1987， 15 （2）： 610-625.
[4] K YU， M C JONES. Likelihoodbased local linear estimation of the conditional variance function[J]. J Amer. Statist. Assoc.， 2004，99 （1）： 139-144.
[5] 王景乐，郑明.非参数回归中方差变点的小波检测[J]. 应用概率统计，2012，28（4）：413-438.
[6] 何其祥，郑明.一元线性模型异方差的局部多项式回归[J]. 系统工程理论方法应用，2003，12（2）： 153-156.
[7] J FAN， I GIJBELS. Local polynomial medelling and its applications[M]. London： Chapman and Hall， 1996.