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【摘 要】数学思想方法是关于数学知识和方法的本质认识，是对数学知识和方法进一步的抽象概括。小学数学中蕴含着丰富的数学思想方法，在小学数学教学中加强思想方法教学具有重要意义。数学思想方法的教学要基于数学的本质，围绕数学内容，循序渐进进行教学。通过数学思想方法与数学知识相统一的教学，让学生掌握知识、形成技能，进而获得数学思想。
【关键词】思想方法 数学知识 统一教学
小学数学中蕴含着丰富的数学思想方法，在小学数学教学中加强数学思想方法教学不但具有重要意义，而且切实可行。从课程目标上看，在小学除了进行数学知识和方法的教学，也要进行数学思想方法的教学。其实数学思想方法是数学的特殊内容，因此从数学的本质上来看，数学的教学是思想方法与数学知识统一的教学。而日常的教学中长期存在重知识轻思想的问题，这种功利性的片面教学，需要彻底改变，所以小学数学教学需要旗帜鲜明地提出思想方法的教学。下面以教学“3的倍数的特征”为例，探讨数学思想方法与数学知识相统一的教学。
“3的倍数的特征”的教学目标是使学生经历探索3的倍数的特征的过程，知道3的倍数的特征，能根据特征判断一个数是不是3的倍数;使学生在探索3的倍数的特征的过程中，积累数学活动经验，进一步培养观察、比较、分析和归纳能力，初步学习一些数学思想方法;使学生在参与学习活动的过程中，培养主动与他人合作交流的意识，体验数学学习活动的乐趣，增强对数学学习的自信心。
要达成上述目标，我们基于数学思想方法与数学知识相统一的教学理念，进行了下面的理论思考与教学实践。
一、通过数学操作理解一个数各个数位上的数的和，并体会数的构成的实质
师引导学生在计数器上拨数，要求用1个珠子在计数器上拨数，最多拨出三位数，看用1个珠子最多能拨出多少个数。追问：拨出3个数，用的珠子怎么样？（只有1个）分别用2、3、6个珠子呢？（体会各个数“数位上的数之和”）
二、回顾探索倍数特征的基本思想方法，反思特征背后的数学本质
师：我们刚刚研究过2和5的倍数的特征，谁来说2和5的倍数的特征分别是什么？
师：（追问）为什么只看个位上的数字就可以判断？其他位上的数字难道真的就不用看？（需要看的，但是整十、整百、整千……都是2和5的倍数）
这样做能让学生认识到要从整体上观察一个数的倍数。
师：今天这节课，我们用已经学会的方法并寻找新的方法来学习3的倍数的特征，大家可以先思考一下，想想3的倍数的特征是什么？
（学生自由表达自己的想法。）
师：（小结）有的学生说看个位上数字是否是3的倍数，有的学生认为要看所有数位上的数字，这些想法都需要我们去推理验证，那请大家思考一下我们今天该怎样去探索3的倍数的特征？
带着问题师生逐步明确探究方法，先找出一些3的倍数，再通过观察比较来验证此前的猜想，并归纳出3的倍数的特征。
三、运用化归和分类的思想整理数学知识，通过观察分析、比较归纳等数学方法抽象概括出特征
要归纳3的倍数的特征，我们先要把3的一些倍数找出来，然后再观察研究。学生在百数图上圈出3的倍数。教师启发学生有序思考：“要找3的倍数，我们先从3的几倍开始？”（1倍）“依次找下去，想一想，100以内3的倍数有多少个？”这两个问题是让学生感觉到倍数问题其实也是除法问题，从而渗透联系和互逆的思想，为以后综合解决倍数和整除问题孕伏思想方法。找出一些倍数后，需要拟出研究的思路和具体方法，在研究2和5的倍数的特征中，大家就如同研究探索一般从简单的开始，逐步研究复杂的，最后归纳出一般性的规律。因此教师提出问题：那么我们可以先研究几位数，再研究几位数？（一位数，两位数等）
1.研究一位数中3的倍数的特征
师：请同学们在百数图第一行中圈出3的倍数，观察其特征。（发现一位数中，3、6、9是3的倍数，其余的都不是）
2.研究两位数中3的倍数的特征
启发学生运用分类思想方法把研究内容按要求进行分类，确保研究内容能有序且不重复不遗漏。提出问题：依据“在一位数中，3、6、9就是3的倍数”这个特征，我们可以根据数位上有没有3、6、9把两位数分成三种情况研究：（1）十位上和个位上都是3、6、9的数;（2）十位上或个位上有一位上是3、6、9的数;（3）十位上和个位上都不是3、6、9的数。
师生谈话并提出研究方法：请同学们从是否是3的倍数、举例说明、为什么是3的倍数三个方面，研究上面三种情况。研究结果如下：
（1）十位上和个位上数都是3、6、9的数。师生讨论交流：是3的倍数，33、36、39……99，每一位上的数除以3都没有余数。
（2）十位上或个位上有一位上数是3、6、9的数。不是3的倍数，13、16、19……，31、61、91，有一位上的数不是3的倍数，这个数除以3有余数。
（3）十位上和个位上数都不是3、6、9的数。情况一：是3的倍数，12、15、18……，两位上的数合起来是3的倍数;情况二：不是3的倍数，11、13、14……，两位数除以3有余数。
3.运用猜想验证的思想方法来探究结论
（1）初步形成数学猜想
对研究情况进行比较筛选，发现只剩下符合两种情况的数是3的倍数，即十位上和个位上数字都是3、6、9的数与十位上和个位上数字都不是3、6、9的数但两位上的数合起来是3的倍数的数。再进一步分析，发现剩下的这两种情况还可以合并成一种情况，即两位上的数合起来是3的倍数的数，因为十位上和个位上数字都是3、6、9的数也符合这种情况。
要对猜想（两位上的数合起来是3的倍数的数）进行数学化表述。首先，让学生初步发现两位上的数合起来是3的倍数的数，可以简化成两个数位上的数字之和是3的倍数，通过举例来理解两位上的数合起来。如12=9 3，3=1 2;15=9 6，6=1 5。其次，让学生进一步发现两个数位上的数字之和是3的倍数。例子1：颠倒12十位上和个位上的数字得到21（也是3倍数），让学生思考为什么，因为21=18 3， 2 1 =3，数字之和3是3的倍数。例子2：根据12是3的倍数，要求个位2不变，变十位上的数，使之仍然是3的倍数，列举出42、72。先理解42为什么是3的倍数：42=30 12，42=36 6，6=4 2，数字之和6是3的倍數。再次，完善数字之和是3的倍数的认识。追问学生：若符合上面情况，数字之和还可能是几，让这个数是3的倍数？举出18、81、84、87等得出猜想：数字之和是3的倍数，这个数是3的倍数。
（2）验证数学猜想，形成数学结论
通过四个层次来验证猜想。第一层次，回到课前的拨数游戏，用计数器上珠子的个数来验证。第二层次，用十位上和个位上数都是3、6、9的数来验证。第三层次，否定式验证：如果一个数不是3的倍数，这个数各位上数的和会是3的倍数吗？找几个这样的数算一算。第四层次，知识迁移，归纳概括。思考3的倍数是三位数乃至多位数的数的特征，并用举出的数来验证猜想。最后归纳概括出结论：各位上数的和是3的倍数的数是3的倍数。
四、在特征的应用拓展中培养学生的联系和发展思想
基本练习是利用特征判断一个数是否是3的倍数，例如：29、45、67、86、96中，哪些数是3的倍数？学生可以依据3的倍数的特征，看各位上数的和是否是3的倍数来判断。在此基础上，联系除法并通过分析除法算式判断被除数是否是3的倍数，让学生很快说出哪几个数的得数有余数，即可判断被除数是否是3的倍数。联系的思想是分析解决问题的重要思想。学生掌握了3的倍数的特征后，还要进行相关的发展性的思维训练。如让学生判断在3、6、12、15、18中，哪些数是6的倍数，接着思考问题：是6的倍数的数也是3的倍数吗？为什么？让学生阐述一个结论：因为6是3的倍数，所以6的倍数也是3的倍数。这时需要进行互逆思维训练，让学生思考“反之能否成立”。教师追问：3的倍数也是6的倍数吗？最后还可以让学生拓展思考2和4的倍数等，通过辨析理清存在倍数关系的两个数之间的关系。
在小学进行数学思想方法教学体现了数学的本质要求，教师需要高度重视，认真实施。在小学进行数学思想方法教学的理论与实践研究，意义深远，不仅关系到课程目标的实现与否，还影响学生数学能力的提升和可持续发展能力的培养。实施数学思想方法和数学知识统一的教学，可以实现数学课程标准中的课程基本理念：课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。在小学阶段开展思想方法教学，既有利于促进学生掌握正确的思维方法，提高数学能力，又有利于学生为初高中数学学习打下基础。
【关键词】思想方法 数学知识 统一教学
小学数学中蕴含着丰富的数学思想方法，在小学数学教学中加强数学思想方法教学不但具有重要意义，而且切实可行。从课程目标上看，在小学除了进行数学知识和方法的教学，也要进行数学思想方法的教学。其实数学思想方法是数学的特殊内容，因此从数学的本质上来看，数学的教学是思想方法与数学知识统一的教学。而日常的教学中长期存在重知识轻思想的问题，这种功利性的片面教学，需要彻底改变，所以小学数学教学需要旗帜鲜明地提出思想方法的教学。下面以教学“3的倍数的特征”为例，探讨数学思想方法与数学知识相统一的教学。
“3的倍数的特征”的教学目标是使学生经历探索3的倍数的特征的过程，知道3的倍数的特征，能根据特征判断一个数是不是3的倍数;使学生在探索3的倍数的特征的过程中，积累数学活动经验，进一步培养观察、比较、分析和归纳能力，初步学习一些数学思想方法;使学生在参与学习活动的过程中，培养主动与他人合作交流的意识，体验数学学习活动的乐趣，增强对数学学习的自信心。
要达成上述目标，我们基于数学思想方法与数学知识相统一的教学理念，进行了下面的理论思考与教学实践。
一、通过数学操作理解一个数各个数位上的数的和，并体会数的构成的实质
师引导学生在计数器上拨数，要求用1个珠子在计数器上拨数，最多拨出三位数，看用1个珠子最多能拨出多少个数。追问：拨出3个数，用的珠子怎么样？（只有1个）分别用2、3、6个珠子呢？（体会各个数“数位上的数之和”）
二、回顾探索倍数特征的基本思想方法，反思特征背后的数学本质
师：我们刚刚研究过2和5的倍数的特征，谁来说2和5的倍数的特征分别是什么？
师：（追问）为什么只看个位上的数字就可以判断？其他位上的数字难道真的就不用看？（需要看的，但是整十、整百、整千……都是2和5的倍数）
这样做能让学生认识到要从整体上观察一个数的倍数。
师：今天这节课，我们用已经学会的方法并寻找新的方法来学习3的倍数的特征，大家可以先思考一下，想想3的倍数的特征是什么？
（学生自由表达自己的想法。）
师：（小结）有的学生说看个位上数字是否是3的倍数，有的学生认为要看所有数位上的数字，这些想法都需要我们去推理验证，那请大家思考一下我们今天该怎样去探索3的倍数的特征？
带着问题师生逐步明确探究方法，先找出一些3的倍数，再通过观察比较来验证此前的猜想，并归纳出3的倍数的特征。
三、运用化归和分类的思想整理数学知识，通过观察分析、比较归纳等数学方法抽象概括出特征
要归纳3的倍数的特征，我们先要把3的一些倍数找出来，然后再观察研究。学生在百数图上圈出3的倍数。教师启发学生有序思考：“要找3的倍数，我们先从3的几倍开始？”（1倍）“依次找下去，想一想，100以内3的倍数有多少个？”这两个问题是让学生感觉到倍数问题其实也是除法问题，从而渗透联系和互逆的思想，为以后综合解决倍数和整除问题孕伏思想方法。找出一些倍数后，需要拟出研究的思路和具体方法，在研究2和5的倍数的特征中，大家就如同研究探索一般从简单的开始，逐步研究复杂的，最后归纳出一般性的规律。因此教师提出问题：那么我们可以先研究几位数，再研究几位数？（一位数，两位数等）
1.研究一位数中3的倍数的特征
师：请同学们在百数图第一行中圈出3的倍数，观察其特征。（发现一位数中，3、6、9是3的倍数，其余的都不是）
2.研究两位数中3的倍数的特征
启发学生运用分类思想方法把研究内容按要求进行分类，确保研究内容能有序且不重复不遗漏。提出问题：依据“在一位数中，3、6、9就是3的倍数”这个特征，我们可以根据数位上有没有3、6、9把两位数分成三种情况研究：（1）十位上和个位上都是3、6、9的数;（2）十位上或个位上有一位上是3、6、9的数;（3）十位上和个位上都不是3、6、9的数。
师生谈话并提出研究方法：请同学们从是否是3的倍数、举例说明、为什么是3的倍数三个方面，研究上面三种情况。研究结果如下：
（1）十位上和个位上数都是3、6、9的数。师生讨论交流：是3的倍数，33、36、39……99，每一位上的数除以3都没有余数。
（2）十位上或个位上有一位上数是3、6、9的数。不是3的倍数，13、16、19……，31、61、91，有一位上的数不是3的倍数，这个数除以3有余数。
（3）十位上和个位上数都不是3、6、9的数。情况一：是3的倍数，12、15、18……，两位上的数合起来是3的倍数;情况二：不是3的倍数，11、13、14……，两位数除以3有余数。
3.运用猜想验证的思想方法来探究结论
（1）初步形成数学猜想
对研究情况进行比较筛选，发现只剩下符合两种情况的数是3的倍数，即十位上和个位上数字都是3、6、9的数与十位上和个位上数字都不是3、6、9的数但两位上的数合起来是3的倍数的数。再进一步分析，发现剩下的这两种情况还可以合并成一种情况，即两位上的数合起来是3的倍数的数，因为十位上和个位上数字都是3、6、9的数也符合这种情况。
要对猜想（两位上的数合起来是3的倍数的数）进行数学化表述。首先，让学生初步发现两位上的数合起来是3的倍数的数，可以简化成两个数位上的数字之和是3的倍数，通过举例来理解两位上的数合起来。如12=9 3，3=1 2;15=9 6，6=1 5。其次，让学生进一步发现两个数位上的数字之和是3的倍数。例子1：颠倒12十位上和个位上的数字得到21（也是3倍数），让学生思考为什么，因为21=18 3， 2 1 =3，数字之和3是3的倍数。例子2：根据12是3的倍数，要求个位2不变，变十位上的数，使之仍然是3的倍数，列举出42、72。先理解42为什么是3的倍数：42=30 12，42=36 6，6=4 2，数字之和6是3的倍數。再次，完善数字之和是3的倍数的认识。追问学生：若符合上面情况，数字之和还可能是几，让这个数是3的倍数？举出18、81、84、87等得出猜想：数字之和是3的倍数，这个数是3的倍数。
（2）验证数学猜想，形成数学结论
通过四个层次来验证猜想。第一层次，回到课前的拨数游戏，用计数器上珠子的个数来验证。第二层次，用十位上和个位上数都是3、6、9的数来验证。第三层次，否定式验证：如果一个数不是3的倍数，这个数各位上数的和会是3的倍数吗？找几个这样的数算一算。第四层次，知识迁移，归纳概括。思考3的倍数是三位数乃至多位数的数的特征，并用举出的数来验证猜想。最后归纳概括出结论：各位上数的和是3的倍数的数是3的倍数。
四、在特征的应用拓展中培养学生的联系和发展思想
基本练习是利用特征判断一个数是否是3的倍数，例如：29、45、67、86、96中，哪些数是3的倍数？学生可以依据3的倍数的特征，看各位上数的和是否是3的倍数来判断。在此基础上，联系除法并通过分析除法算式判断被除数是否是3的倍数，让学生很快说出哪几个数的得数有余数，即可判断被除数是否是3的倍数。联系的思想是分析解决问题的重要思想。学生掌握了3的倍数的特征后，还要进行相关的发展性的思维训练。如让学生判断在3、6、12、15、18中，哪些数是6的倍数，接着思考问题：是6的倍数的数也是3的倍数吗？为什么？让学生阐述一个结论：因为6是3的倍数，所以6的倍数也是3的倍数。这时需要进行互逆思维训练，让学生思考“反之能否成立”。教师追问：3的倍数也是6的倍数吗？最后还可以让学生拓展思考2和4的倍数等，通过辨析理清存在倍数关系的两个数之间的关系。
在小学进行数学思想方法教学体现了数学的本质要求，教师需要高度重视，认真实施。在小学进行数学思想方法教学的理论与实践研究，意义深远，不仅关系到课程目标的实现与否，还影响学生数学能力的提升和可持续发展能力的培养。实施数学思想方法和数学知识统一的教学，可以实现数学课程标准中的课程基本理念：课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。在小学阶段开展思想方法教学，既有利于促进学生掌握正确的思维方法，提高数学能力，又有利于学生为初高中数学学习打下基础。