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我国新一轮数学课程明确提出：要重视对学生应用意识的培养，强调学数学的目的就是用数学，能用数学知识解决日常生活中的问题。为实施新课程标准，在讲“一次函数与二元方程（组）”‘人教版’这一课时，我选择了与学生生活较贴近的电话收费问题，以教科书第45页的练习作为例子。我以为，这样学生不仅感受到数学就在自己身边，也存在于周围的世界，函数其实可以“随处可见”，也“摸得着”，而且对于“数学模型”也有进一步的理解。然而，课堂上却发生了让我意外的一幕……
例题：在一元一次方程一章中，我们曾考虑过下面两种移动电话计费方式：
用函数方法解答如何选择计费方式更省钱。问题一提出来，马上就有学生举手回答。
学生1：电话费与所用的时间有关。由于通话时间不知道，可以设成X分钟，这样，用全球通的费用为Y1＝50+0.40X，用神州行的费用为Y2＝0.60X，哪种更省钱的关键是看Y1和Y2的大小。
教师：怎样比较Y1和Y2的大小呢？
学生2：用作差法比较它们的大小
Y1－Y2＝(50＋0.40X）－0.60X＝50－0.20X
教师：(50－0.20X）是正数还是负数呢？
学生3：不一定。
教师：为什么？
学生3：还要看X的取值范围，具体地说，有以下三种情况：
令50－0.20X>0，即X<250时，Y1－Y2>0，选择神州行省钱。
令50－0.20X>0，即X>250时，Y1－Y2<0，选择全球通省钱。
令50－0.20X＝0，即X＝250时。Y1－Y2＝0，神州行和全球通收费相同。
教师：刚才，通过列式和作差法解决了怎样选择电话计费方式省钱的问题，还有没有其它方法？
学生4：前半部分和前面同学的解法一样，但后半部分我是用作图的方法解的。
我将学生的图象画在黑板上，如图：
同学们觉得不可思议：你怎样知道这两条射线交点的横坐标是250呢？
学生4：其实，250也是令Y1＝Y2求出的，因为两直线的交点，坐标直接看不出来，实质上是联立两个方程，将它们组成方程组求解，这样做的目的是从图形可以直观地看出结果，通话时间小于250分钟，神州行省钱；如果通话时间恰为250分钟，两种都一样：如果通话时间大于250分钟，则选全球通省钱。
大家都为学生4的解法鼓起了掌，以肯定学生4的回答。
教师：同学们对问题分析得很好，如果将两位同学的做法合在一起更好，体现了数学中非常重要的数形结合的思想，以前提到的“数学建模”中的“模”并不是指实物，实质是一个当X取非负实数时的一次函数……
我的话还未完，思维一向很严谨的学生5站了起来。
学生5：我觉得刚才解决问题的方法有问题。
他的话引起了大家的震惊一一怎么会呢？但我冷静下来，想听听他的想法。
教师：你能否给大家谈谈这么认为的原因？
学生5：因为电话费不足一分钱仍按一分钟收取，并不是打半分钟只收一半的钱。
我一下明白了学生5的意思，按实际列式，电话费应为一个分段函数而非一个连续函数，我们的处理把问题理想化了，并不是按实际来处理的。
教师：按电信局的收费标准，学生5的说话是正确的，函数的确有问题，但这里并没有说明是按电信局的收费标准来解决这个问题，所以，就解题并没有错，只是不符合实际而已。
学生5：但是，老师您经常说要用所学的知识来解决实际问题的。
其他同学也在小声讨论：是呀，不根据实际情况来解决问题，怎么称得上是解决实际问题呢？
我一时陷入了尴尬的境地，我们经常给学生讲的是要用所学的数学知识解决日常生活中的问题，而现在只是说一句“不符合实际而已”就回避学生提出的问题，不是自相矛盾吗？于是，还是选定先解决这个问题再说。教师：同学们对问题实事求是的态度值得表扬。下面，我们一起按实际收费的标准来解决这个问题，首先看神州行电话费与时间的关系式怎样表示。
同学们开始发表目己的见解。
学生6：打电话的时间不超过一分钟算成一分钟，如时间取0.1、0.5分和0.9分以至在不超过一分钟话费都是Y＝O.60×1（元），时间在大于一分钟而不超过二分钟算成二分钟，此时话费Y＝O.60×2（元），以此类推，表达式应该是Y＝O.60n（元）
学生7：不对，因为求的是Y与X的关系，而不是Y与n的关系
学生8：当X是非负整数时Y＝O.60X,但X不是整数时，就不知该怎样表示
教师：同学们能领会其中的意思，只是还不知怎么用式子将其表示出来。我们可以这样来考虑：当时间恰好是非负整数时，可以表示为Y＝O.60X，而当X不是非负整数时，如X＝1.8时，不是直接用1.8进行计算，而是用2进行计算，即可以看成先将X的小数部分舍去，再加上所得的数。这时我们引进一个记号——[x],[x]表示的整数部分，如1.8的整数部分是1，故[1.8] ＝1，所以，当X不是整数时，费用Y＝O.60（[X]＋1）综上所述，费用Y关于时间的函数可以表示成：
Y2＝0.60X（当X是非负整数时）：Y2＝O.60（[X]＋1）（当X＞0，且是非整数时）。
大家觉得比较奇怪：怎么不是一个式子而分开了呢？
教师：这种形式的函数叫分段函数，即自变量X的取值范围不同时，函数的表达式也不一样，下面我们来研究一下它的图形怎么作。
由于有刚才的分析，所以和同学们一起很快将其图象作了出来（图象略）
教师：同理，请同学们自己写出全球通的函数并画出它的图象：
Y1＝0.40X＋50(当X是非负整数时)；Y1＝0.40（[X]＋1）＋50（当X＞0，且是非整数时）。
教师：综上所述，只要将原来的结果稍作改变是可以得到正确答案的，即在考虑实际收费的情况下．也可用原来的方法。只要改变自变量的取值范围即可，大家课后思考一下这样做的道理。
我们平时让学生解决的“实际问题”，有多少是真正的实际问题呢？在学生心里，我们的数学究竟是什么？又能用来做什么？我带着复杂的心情走出了教室
（作者单位：408200重庆市丰都县第二中学）
例题：在一元一次方程一章中，我们曾考虑过下面两种移动电话计费方式：
用函数方法解答如何选择计费方式更省钱。问题一提出来，马上就有学生举手回答。
学生1：电话费与所用的时间有关。由于通话时间不知道，可以设成X分钟，这样，用全球通的费用为Y1＝50+0.40X，用神州行的费用为Y2＝0.60X，哪种更省钱的关键是看Y1和Y2的大小。
教师：怎样比较Y1和Y2的大小呢？
学生2：用作差法比较它们的大小
Y1－Y2＝(50＋0.40X）－0.60X＝50－0.20X
教师：(50－0.20X）是正数还是负数呢？
学生3：不一定。
教师：为什么？
学生3：还要看X的取值范围，具体地说，有以下三种情况：
令50－0.20X>0，即X<250时，Y1－Y2>0，选择神州行省钱。
令50－0.20X>0，即X>250时，Y1－Y2<0，选择全球通省钱。
令50－0.20X＝0，即X＝250时。Y1－Y2＝0，神州行和全球通收费相同。
教师：刚才，通过列式和作差法解决了怎样选择电话计费方式省钱的问题，还有没有其它方法？
学生4：前半部分和前面同学的解法一样，但后半部分我是用作图的方法解的。
我将学生的图象画在黑板上，如图：
同学们觉得不可思议：你怎样知道这两条射线交点的横坐标是250呢？
学生4：其实，250也是令Y1＝Y2求出的，因为两直线的交点，坐标直接看不出来，实质上是联立两个方程，将它们组成方程组求解，这样做的目的是从图形可以直观地看出结果，通话时间小于250分钟，神州行省钱；如果通话时间恰为250分钟，两种都一样：如果通话时间大于250分钟，则选全球通省钱。
大家都为学生4的解法鼓起了掌，以肯定学生4的回答。
教师：同学们对问题分析得很好，如果将两位同学的做法合在一起更好，体现了数学中非常重要的数形结合的思想，以前提到的“数学建模”中的“模”并不是指实物，实质是一个当X取非负实数时的一次函数……
我的话还未完，思维一向很严谨的学生5站了起来。
学生5：我觉得刚才解决问题的方法有问题。
他的话引起了大家的震惊一一怎么会呢？但我冷静下来，想听听他的想法。
教师：你能否给大家谈谈这么认为的原因？
学生5：因为电话费不足一分钱仍按一分钟收取，并不是打半分钟只收一半的钱。
我一下明白了学生5的意思，按实际列式，电话费应为一个分段函数而非一个连续函数，我们的处理把问题理想化了，并不是按实际来处理的。
教师：按电信局的收费标准，学生5的说话是正确的，函数的确有问题，但这里并没有说明是按电信局的收费标准来解决这个问题，所以，就解题并没有错，只是不符合实际而已。
学生5：但是，老师您经常说要用所学的知识来解决实际问题的。
其他同学也在小声讨论：是呀，不根据实际情况来解决问题，怎么称得上是解决实际问题呢？
我一时陷入了尴尬的境地，我们经常给学生讲的是要用所学的数学知识解决日常生活中的问题，而现在只是说一句“不符合实际而已”就回避学生提出的问题，不是自相矛盾吗？于是，还是选定先解决这个问题再说。教师：同学们对问题实事求是的态度值得表扬。下面，我们一起按实际收费的标准来解决这个问题，首先看神州行电话费与时间的关系式怎样表示。
同学们开始发表目己的见解。
学生6：打电话的时间不超过一分钟算成一分钟，如时间取0.1、0.5分和0.9分以至在不超过一分钟话费都是Y＝O.60×1（元），时间在大于一分钟而不超过二分钟算成二分钟，此时话费Y＝O.60×2（元），以此类推，表达式应该是Y＝O.60n（元）
学生7：不对，因为求的是Y与X的关系，而不是Y与n的关系
学生8：当X是非负整数时Y＝O.60X,但X不是整数时，就不知该怎样表示
教师：同学们能领会其中的意思，只是还不知怎么用式子将其表示出来。我们可以这样来考虑：当时间恰好是非负整数时，可以表示为Y＝O.60X，而当X不是非负整数时，如X＝1.8时，不是直接用1.8进行计算，而是用2进行计算，即可以看成先将X的小数部分舍去，再加上所得的数。这时我们引进一个记号——[x],[x]表示的整数部分，如1.8的整数部分是1，故[1.8] ＝1，所以，当X不是整数时，费用Y＝O.60（[X]＋1）综上所述，费用Y关于时间的函数可以表示成：
Y2＝0.60X（当X是非负整数时）：Y2＝O.60（[X]＋1）（当X＞0，且是非整数时）。
大家觉得比较奇怪：怎么不是一个式子而分开了呢？
教师：这种形式的函数叫分段函数，即自变量X的取值范围不同时，函数的表达式也不一样，下面我们来研究一下它的图形怎么作。
由于有刚才的分析，所以和同学们一起很快将其图象作了出来（图象略）
教师：同理，请同学们自己写出全球通的函数并画出它的图象：
Y1＝0.40X＋50(当X是非负整数时)；Y1＝0.40（[X]＋1）＋50（当X＞0，且是非整数时）。
教师：综上所述，只要将原来的结果稍作改变是可以得到正确答案的，即在考虑实际收费的情况下．也可用原来的方法。只要改变自变量的取值范围即可，大家课后思考一下这样做的道理。
我们平时让学生解决的“实际问题”，有多少是真正的实际问题呢？在学生心里，我们的数学究竟是什么？又能用来做什么？我带着复杂的心情走出了教室
（作者单位：408200重庆市丰都县第二中学）