摘 要：反证法是间接证明的一种重要方法,被誉为“数学家最精良的一种武器”。为了提高运用反证法的自觉性，本文联系高等数学课程，归纳了几种可以利用反证法进行证明的命题类型。
　　关键词：反证法；数学证明
　　中图分类号：O13-4 文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2012）-01-00-01
　　
　　一、反证法的重要性
　　在接受高等数学的学习中，要用反证法证明的命题屡见不鲜。反证法其独特的证题方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力（特别是逆向思维能力）和创造性思维能力有着重大的意义，是锻炼学生思维的多样性、敏捷性、灵活性的极好素材。然而许多学生又不善于运用这种方法，本文联系高等数学课程，归纳了几种可以利用反证法进行证明的命题类型，以提高学生运用反证法的自觉性，对高等数学教师讲授反证法也有一定的参考价值。
　　二、什么是反证法
　　我们先举一个简单的例子。
　　例1：证明lg3是无理数。
　　证明：用反证法。假设lg3是有理数，且lg3=(，是整数)，则10=3，两边次乘方，得10=3。由于10的个位是0，而3的个位不是0，矛盾。故lg3是无理数。证毕。
　　如同该例，通过否定原命题的的结论的反面，从而肯定原命题结论的方法为反证法。反证法证题模式可以简要地概括为“否定结论→导出矛盾→肯定结论”。
　　三、怎样的命题宜用反证法
　　学好反证法的前提是首先学会对命题的结论作反面叙述，其次是做到多模仿、勤联系。在练习的过程中，不难发现反证法经常被用来证明唯一性、否定性等一些不易直接下手的命题：
　　（一）唯一性命题
　　例2：若（）在[，]上二次可微，且对[，]上每个均有：（）与″（）同号或同时为零。又（）在[，]的任何子区间不恒为零，试证：（）=0在（，）内若有根则必惟一。
　　证明：用反证法。设（）=0在（，）内有两个相异实根，。由题设（）在[，]上的最大、最小值不能同时为零，设其最大值点为，则′（）=0，且（）≠0。
　　由（）=（）=0知（）>0，由題设知″（）>0。根据连续函数保号性知存在的一个邻域使（）>0，且存在一点1，使（1）<（）。再取1关于的对称点2，2亦在上面邻域中。于是[（1）+（2）]<（）=（）。但此邻域内″（）>0，即（）下凸，与上述结论相矛盾。从而假设不成立。故（）=0在（，）内若有根则必惟一。证毕。
　　（二）否定性命题。
　　例3：证明数列{sin }不存在极限。
　　证明：用反证法。假设 sin=，则 [sin(+2)sin]=
　　 2sin1cos(+1)=0
　　即 cos(+1)= cos=0。于是 sin2=2sincos=0，即 sin==0，由此得（sin2+cos2）=0，此与恒等式（sin2+cos2）=1矛盾。故数列{sin }不存在极限。证毕。
　　（三）命题结论以“至多……”，“至少……”，“仅有……”的形式出现时，比较适宜用反证法。
　　例4：若函数（）在闭区间[，]上连续，在（，）内可导且（）=（），（）不恒等于常数。试证在（，）中必有一点，使′（）>0。
　　证明：用反证法。假若对每个∈（，）均有′（）≤0，则在（，）中至少有一点∈（，），使（）（）=′（）（）≤0，即（）≤（）对每个∈（，）成立。
　　又在（，）中（）不恒等于常数，因此在（，）中一定有一点，使（）≤（）。在（，）中，至少有一点d，使（）（）=′（）（）≤0。于是（）≤（）<（），此与题设（）=（）矛盾。故在（，）中必有一点，使′（）>0。证毕。
　　（四）涉及到无限的命题，或结论以“都”，“真”等形式出现时，比较适宜用反证法。
　　例5：对区间上任意两个数列{}与{}，当（）=0，有[（）（）]=0。试证（）在区间上一致连续。
　　证明：用反证法。假设（）在区间上不一致连续，即
　　
　　取，此与条件当（）=0时，[（）（）]=0矛盾。故（）在区间上一致连续。证毕。
　　
　　参考文献：
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　　[2]吴振奎.高等数学(微积分)复习及试题选讲[M].北京:北京工业大学出版社,2005.
　　[3]段堰工.数学分析中的反证法[J].南都学坛(自然科学版),1990.
　　[4]徐秀娟.反证法在高等数学证明题中的应用[J].河北理工大学学报(自然科学版),2005.