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【摘要】21世纪需要大量的创新人才，而创新人才要有创造性思维.在数学学习中，不仅可以培养学生的逻辑思维，同样可以培养学生的创造性思维.本文从利用一题多解、逆向思维训练以及转换思想在数学解题中的应用，阐明了数学学习在创新思维能力培养中的重要作用.
【关键词】创造性思维；一题多解；逆向思维；转换思想；一题多变
21世纪需要大量的创新人才，而创新人才要有创造性思维.求异思维是创造性思维的主要成分，并且在创造性活动中起重要的作用.因此培养求异思维能力具有积极的意义.
当前各级学校比较重视求同思维能力的训练而忽视求异思维能力的培养.如有的教师按照固定的模式讲课、提问，按照统一的答案给分，而学生也按照固定的一个答案回答问题.这样无形之中使学生形成了固定的思维模式，严重影响了学生的观察力、好奇心及创新能力的培养.
事实上，客观事物是普遍联系的，解决问题绝不能割裂事物间的相互联系，去寻求一个孤立、不变的固定的答案.通过思维创造性活动，不仅揭露事物的本质及其内在联系，而且在这个基础上产生新颖的、超出一般规律的思维成果.求异思维重在开阔学生思路，启发学生联想，从各方面、各角度、各层次思考问题，并在各种结构的比较中，选择富有创造性的异乎寻常的新构思.那么如何在数学教学中进行创造性思维能力的培养呢？
数学学习曾被比喻为思维的体操，而著名的数学家波利亚也曾说过：“掌握数学就意味着解题.”解题教学在数学学习中占有十分重要的地位.因此，解题教学是培养创造性思维的极好机会和手段.
一、利用一题多解打破思维定式
学生在解题时，思维定式影响着解决问题的倾向.思维定式，即先前思维活动所形成的解决问题的方法成为当前解决问题的一种准备状态.思维定式有积极的作用，但在解决某些相似的问题时也会发生消极的作用，会使解决问题的人陷于习惯性思维之中，而不能针对变化的新情境采用相应的措施寻求变异，找到解决问题的新方法.
一题多解，需要学生有扎实的基础知识，能从多方面、多角度去思考问题、解决问题，打破思维定式，不拘泥于一举之得，使学生在多维思维中得到灵活处理问题的思想方法，从而培养学生的求异思维能力.
例1 已知数列｛an｝满足an=nn+2，试比较an与an+1的大小.
方法一 做差：an+1-an=n+1n+3-nn+2=2(n+3)(n+2)>0，∴an+1>an.
方法二 做商：anan+1=n+1n+3nn+2=n2+3nn2+3n+2<1，∴an+1>an.
方法三 单调性：an=nn+2=n+2-2n+2=1-2n+2，an关于n单调递增，∴an+1>an.
方法四 浓度法：把an=nn+2看成是一种溶液（糖）的浓度，随着n的增大（相当于往溶液里加糖）浓度增大，所以得an+1>an.
由此题可以看出，在解决问题时，我们不应仅局限于找到问题的答案，而应该拓宽思路.通过多种途径找到解决问题的方法，从而达到拓展思维、进而培养创造性思维的目的.
二、利用公式进行逆向思维训练
在解题中，有些问题按照正向思考不易解决或虽能解决，但过于繁琐时，可试着逆向思维.逆向思维是根据概念、原理、方法及研究对象的特点，从它们的相反或否定方面去进行思考，以产生新的方法.
数学中有大量的公式，这些公式不仅可以按照我们的思维习惯——正向思维即从左向右使用它们，还可以从右向左即逆向使用它们.因此，可利用公式进行逆向思维的训练，从而间接地培养了求异思维的能力.
例2 已知tanα=2，求13sin2α+2cos2α的值.
按照正向思维，学生会从已知tanα=2，推知α在第一或第三象限，分两种情况求出sinα和cosα的值，最后得出的结论是相同的.这个过程显然也是比较复杂的.为了培养学生的求异思维，教师可引导学生思考：能否把所求的式子化为只含有tanα，再进一步启发：利用公式sin2α+cos2α=1，这时习惯于正向思维的学生把13sin2α+2cos2α化为12+sin2α再往下想就发生困难，而善于逆向使用公式的同学则想到的是1=sin2α+cos2α，从而把13sin2α+2cos2α化为sin2α+cos2α3sin2α+2cos2α，再分子、分母同时除以cos2α，得1+tan2α3tan2α+2，式中只含有tanα，把已知代入，即得到结果.
从此例可以看出在公式的教学中，要注意从“正”“反”两方面进行讲解，引导学生从“正”“反”两方面使用公式，不仅有助于逆向思维，更有助于创新思维能力的培养.
三、重视转换思想在数学解题中的运用
数学上的转换可分为问题的转换和方法的转换.
1.数学问题的转换.就是要通过各种方式，把原来比较困难的数学问题转换为与之有关的另一个问题来求解.
例3 若方程cos2x+2sinx-a=0有实数解，求a的取值范围.
解 原方程等价于2sin2x-2sinx+a-1=0.
显然根据此二次方程在［-1，1］内有实数解，求a的取值范围，比较困难，且在此问题中，x为主变量，a为参数.下面通过改变主变量转化问题，把a看作x的函数，则得a=2sin2x-2sinx-1.则问题转化为求函数a的值域.
显然a=2sin2x-2sinx-1=2(sin2x-sinx)-1=2sinx-122-32，即-32≤a≤3.
此问题的解决是通过将参数升为主变量，突破思维定式，把原问题转换为另一个易于解决的问题，实现了数学问题的转换.
2.数学方法的转换.是指用某一方法不能解决问题时，采用另一种方法.如在数学命题中用直接证明法或顺证很难、甚至不能证明出来时，用间接证明法中的同一法或反证法，就可以解决问题，如“两个平行平面的判定定理”就是用反证法证明出来的.再看下面的例题.
例4 解方程(x-1)(x-2)+(x-3)(x-4)=2.
分析 此题按照我们的常规思路将方程两边（或移项后）平方，转化为有理方程.但是必须进行两次平方，显然，这样的解方程过程如果所给方程比较复杂时，求解方程的过程也将很繁琐.下面介绍另一种解法（即构造一个等式）.
解 (x-1)(x-2)+(x-3)(x-4)=2.(1)
［(x-1)(x-2)］2-［(x-3)(x-4)］2=4x-10.(2)
(2)÷(1)，得
(x-1)(x-2)-(x-3)(x-4)=4x-102.(3)
(1)+(3)，得2(x-1)(x-2)=2+4x-102.
化简，得x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3.
经检验，x1=2，x2=3均是原方程的解.
此种解法打破了常规的解法思路，根据题目的结构构造了一个辅助等式（方程），然后联立这两个等式，从而达到了简化解题的目的，拓宽了思维方式.
四、注意一题多变，做到求同存异
在数学题的海洋中，题与题貌似各异，而本质相同解法一致的习题也大量存在，若搞题海战术必然浪费大量的时间和精力，得不偿失.为此，要加强对学生进行“举一反三”的训练，从某个问题出发，派生、强化变形出一类问题，通过对比与比较，使学生在沟通知识间联系的同时，又能触类旁通.通过求同存异锻炼学生的求异思维.
总之，在数学教学过程中，不仅可以加强对学生逻辑思维能力的培养，也要经常坚持注重对学生求异思维能力的培养，提高学生思维的灵活性和敏捷性.当然在培养学生求异思维过程中，仍有许多问题值得思考.比如，如何体现思维的“异”，对学生的错误的“异类”做法，如何正确引导，如何激发学生探索问题的积极性和主动性等.相信在学生的求异思维能力有所提高的同时，我们教师的教学方式也将由简单的传授式到引导学生主动探索式产生一次重大变革.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】创造性思维；一题多解；逆向思维；转换思想；一题多变
21世纪需要大量的创新人才，而创新人才要有创造性思维.求异思维是创造性思维的主要成分，并且在创造性活动中起重要的作用.因此培养求异思维能力具有积极的意义.
当前各级学校比较重视求同思维能力的训练而忽视求异思维能力的培养.如有的教师按照固定的模式讲课、提问，按照统一的答案给分，而学生也按照固定的一个答案回答问题.这样无形之中使学生形成了固定的思维模式，严重影响了学生的观察力、好奇心及创新能力的培养.
事实上，客观事物是普遍联系的，解决问题绝不能割裂事物间的相互联系，去寻求一个孤立、不变的固定的答案.通过思维创造性活动，不仅揭露事物的本质及其内在联系，而且在这个基础上产生新颖的、超出一般规律的思维成果.求异思维重在开阔学生思路，启发学生联想，从各方面、各角度、各层次思考问题，并在各种结构的比较中，选择富有创造性的异乎寻常的新构思.那么如何在数学教学中进行创造性思维能力的培养呢？
数学学习曾被比喻为思维的体操，而著名的数学家波利亚也曾说过：“掌握数学就意味着解题.”解题教学在数学学习中占有十分重要的地位.因此，解题教学是培养创造性思维的极好机会和手段.
一、利用一题多解打破思维定式
学生在解题时，思维定式影响着解决问题的倾向.思维定式，即先前思维活动所形成的解决问题的方法成为当前解决问题的一种准备状态.思维定式有积极的作用，但在解决某些相似的问题时也会发生消极的作用，会使解决问题的人陷于习惯性思维之中，而不能针对变化的新情境采用相应的措施寻求变异，找到解决问题的新方法.
一题多解，需要学生有扎实的基础知识，能从多方面、多角度去思考问题、解决问题，打破思维定式，不拘泥于一举之得，使学生在多维思维中得到灵活处理问题的思想方法，从而培养学生的求异思维能力.
例1 已知数列｛an｝满足an=nn+2，试比较an与an+1的大小.
方法一 做差：an+1-an=n+1n+3-nn+2=2(n+3)(n+2)>0，∴an+1>an.
方法二 做商：anan+1=n+1n+3nn+2=n2+3nn2+3n+2<1，∴an+1>an.
方法三 单调性：an=nn+2=n+2-2n+2=1-2n+2，an关于n单调递增，∴an+1>an.
方法四 浓度法：把an=nn+2看成是一种溶液（糖）的浓度，随着n的增大（相当于往溶液里加糖）浓度增大，所以得an+1>an.
由此题可以看出，在解决问题时，我们不应仅局限于找到问题的答案，而应该拓宽思路.通过多种途径找到解决问题的方法，从而达到拓展思维、进而培养创造性思维的目的.
二、利用公式进行逆向思维训练
在解题中，有些问题按照正向思考不易解决或虽能解决，但过于繁琐时，可试着逆向思维.逆向思维是根据概念、原理、方法及研究对象的特点，从它们的相反或否定方面去进行思考，以产生新的方法.
数学中有大量的公式，这些公式不仅可以按照我们的思维习惯——正向思维即从左向右使用它们，还可以从右向左即逆向使用它们.因此，可利用公式进行逆向思维的训练，从而间接地培养了求异思维的能力.
例2 已知tanα=2，求13sin2α+2cos2α的值.
按照正向思维，学生会从已知tanα=2，推知α在第一或第三象限，分两种情况求出sinα和cosα的值，最后得出的结论是相同的.这个过程显然也是比较复杂的.为了培养学生的求异思维，教师可引导学生思考：能否把所求的式子化为只含有tanα，再进一步启发：利用公式sin2α+cos2α=1，这时习惯于正向思维的学生把13sin2α+2cos2α化为12+sin2α再往下想就发生困难，而善于逆向使用公式的同学则想到的是1=sin2α+cos2α，从而把13sin2α+2cos2α化为sin2α+cos2α3sin2α+2cos2α，再分子、分母同时除以cos2α，得1+tan2α3tan2α+2，式中只含有tanα，把已知代入，即得到结果.
从此例可以看出在公式的教学中，要注意从“正”“反”两方面进行讲解，引导学生从“正”“反”两方面使用公式，不仅有助于逆向思维，更有助于创新思维能力的培养.
三、重视转换思想在数学解题中的运用
数学上的转换可分为问题的转换和方法的转换.
1.数学问题的转换.就是要通过各种方式，把原来比较困难的数学问题转换为与之有关的另一个问题来求解.
例3 若方程cos2x+2sinx-a=0有实数解，求a的取值范围.
解 原方程等价于2sin2x-2sinx+a-1=0.
显然根据此二次方程在［-1，1］内有实数解，求a的取值范围，比较困难，且在此问题中，x为主变量，a为参数.下面通过改变主变量转化问题，把a看作x的函数，则得a=2sin2x-2sinx-1.则问题转化为求函数a的值域.
显然a=2sin2x-2sinx-1=2(sin2x-sinx)-1=2sinx-122-32，即-32≤a≤3.
此问题的解决是通过将参数升为主变量，突破思维定式，把原问题转换为另一个易于解决的问题，实现了数学问题的转换.
2.数学方法的转换.是指用某一方法不能解决问题时，采用另一种方法.如在数学命题中用直接证明法或顺证很难、甚至不能证明出来时，用间接证明法中的同一法或反证法，就可以解决问题，如“两个平行平面的判定定理”就是用反证法证明出来的.再看下面的例题.
例4 解方程(x-1)(x-2)+(x-3)(x-4)=2.
分析 此题按照我们的常规思路将方程两边（或移项后）平方，转化为有理方程.但是必须进行两次平方，显然，这样的解方程过程如果所给方程比较复杂时，求解方程的过程也将很繁琐.下面介绍另一种解法（即构造一个等式）.
解 (x-1)(x-2)+(x-3)(x-4)=2.(1)
［(x-1)(x-2)］2-［(x-3)(x-4)］2=4x-10.(2)
(2)÷(1)，得
(x-1)(x-2)-(x-3)(x-4)=4x-102.(3)
(1)+(3)，得2(x-1)(x-2)=2+4x-102.
化简，得x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3.
经检验，x1=2，x2=3均是原方程的解.
此种解法打破了常规的解法思路，根据题目的结构构造了一个辅助等式（方程），然后联立这两个等式，从而达到了简化解题的目的，拓宽了思维方式.
四、注意一题多变，做到求同存异
在数学题的海洋中，题与题貌似各异，而本质相同解法一致的习题也大量存在，若搞题海战术必然浪费大量的时间和精力，得不偿失.为此，要加强对学生进行“举一反三”的训练，从某个问题出发，派生、强化变形出一类问题，通过对比与比较，使学生在沟通知识间联系的同时，又能触类旁通.通过求同存异锻炼学生的求异思维.
总之，在数学教学过程中，不仅可以加强对学生逻辑思维能力的培养，也要经常坚持注重对学生求异思维能力的培养，提高学生思维的灵活性和敏捷性.当然在培养学生求异思维过程中，仍有许多问题值得思考.比如，如何体现思维的“异”，对学生的错误的“异类”做法，如何正确引导，如何激发学生探索问题的积极性和主动性等.相信在学生的求异思维能力有所提高的同时，我们教师的教学方式也将由简单的传授式到引导学生主动探索式产生一次重大变革.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文