摘 要：本文分别探讨了抛物线、椭圆、双曲线中的位似关系，最终获得结论：离心率相等的圆锥曲线是位似图形.
　　关键词：位似;抛物线;椭圆;双曲线;圆锥曲线
　　中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0007-02
　　收稿日期：2020-09-05
　　作者简介：陈峰（1982.9-），男，江苏省苏州人，硕士，中学高级教师，从事高中数学教学研究.
　　
　　在苏教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1》课本P74-P75中提出了一个很有意思的问题：尝试证明离心率相同的圆锥曲线“形状都相同”.如果上述结论成立，这意味着圆锥曲线中也存在着相似关系，为了弄清这个问题，首先必须引入位似的概念.
　　 一、位似
　　两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形（homothetic figures），这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
　　两个图形位似，它们的相对位置关系有三种：位似中心在图形的一侧（如图1）、两个图形分居位似中心的两侧（如图2）、位似中心在两个图形的内部（如图3）.
　　根据位似的定义不难得出：两个图形位似则它们一定相似，而两个图形相似则它们不一定位似.同时，当两个图形位似时，除了满足相似的一切性质外，还满足一些特有性质，如“对应顶点的连线相交于一点”、“对应边互相平行或在同一直线上”等.
　　 二、圆锥曲线的位似关系
　　1.抛物线
　　结论1 抛物线y=ax2（a>0）与y=Ax2（A>0，A≠a）是位似图形，原点是位似中心.
　　证明 设直线l的方程为y=mx（m>0），则这条直线与抛物线y=ax2（a>0）和y=Ax2（A>0，A≠a）分别相交于M（ma，m2a）和N（mA，m2A），则OM=ma1+m2和ON=mA1+m2，所以OMON=Aa=1a1A（常数）.则抛物线y=ax2（a>0）与y=Ax2（A>0）形状相同，它们是位似图形，原点是位似中心.
　　结论2 抛物线y=a1x2（a1>0），y=a2x2（a2>0），…，y=anx2（an>0）是位似图形，原点是位似中心.
　　证明 设直线l的方程为y=mx（m>0），则这条直线与抛物线y=a1x2（a1>0），y=a2x2（a2>0），…，y=anx2（an>0）分别相交于P1（ma1，m2a1），P2（ma2，m2a2），…，Pn（man，m2an），则OP1=ma11+m2，OP2=ma21+m2，…，OPn=man1+m2，所以OP1∶OP2∶…∶OPn=1a1∶1a2∶…∶1an.则抛物线y=a1x2（a1>0），y=a2x2（a2>0），…，y=anx2（an>0）形状相同，它们是位似图形，原点是位似中心.
　　以上结论说明所有的抛物线形状都是相同的，换而言之，所有抛物线的开口大小都是相同的.而两条抛物线的图象的开口明显有大小之分，这又该如何解释呢？以抛物线y=x2和y=14x2为例，首先在图4中作出了抛物线y=x2和y=14x2的图象，然后将图4中y=14x2的图象放大2倍，得图5中y=14x2的图象，不难发现，它与图4中y=x2的图象是可以重合的.因此，这两条抛物线形状相同，它们的开口大小必然也是相同的.
　　结论3 抛物线y=a1x2-14a1（a1>0），y=a2x2-14a2（a2>0），…，y=anx2-14an（an>0）是位似图形，它们的焦点是位似中心.（证明略）
　　由结论3可知，抛物线的位似中心并不是唯一的，其顶点和焦点均可作为位似中心.
　　2.椭圆与双曲线
　　结论4 若椭圆C1∶x2a21+y2b21=1（a1>b1>0）与椭圆C2∶x2a22+y2b22=1（a2>b2>0）离心率相同，则它们是位似图形，原点是位似中心;反之亦然.
　　证明 设直线l的方程为y=mx（m>0），则这条直线与椭圆x2a21+y2b21=1（a1>b1>0）与x2a22+y2b22=1（a2>b2>0）分别相交于P1（a1b1b21+a21m2，a1b1mb21+a21m2）、P2（-a1b1b21+a21m2，-a1b1mb21+a21m2）、P3（a2b2b22+a22m2，a2b2mb22+a22m2）、P4（-a2b2b22+a22m2，-a2b2mb22+a22m2）.令c21=a21-b21，c22=a22-b22.
　　若椭圆C1与椭圆C2离心率相同，所以e=c1a1=c2a2，易得b1a1=b2a2（*）.令a1a2=b1b2=δ（常数），OP1OP3=1+m2·a1b1b21+a21m21+m2·a2b2b22+a22m2=a1b1a2b2·b22+a22m2b21+a21m2=δ2a2b22a22+m2a1b21a21+m2=δb22a22+m2b21a21+m2，由（*）式可得OP1OP3=δ.同理，OP2OP4=δ.所以橢圆C1与椭圆C2是位似图形，原点是位似中心，δ为位似比.
　　若椭圆C1∶x2a21+y2b21=1（a1>b1>0）与C2∶x2a22+y2b22=1（a2>b2>0）是位似图形，原点是位似中心.则满足a1b1b21+a21m2a2b2b22+a22m2=a1a2=b1b2=δ，其中δ为位似比.则a1b1b21+a21m2a2b2b22+a22m2=δ2a2b22a22+m2a1b21a21+m2=δb22a22+m2b21a21+m2=δ，所以b21a21+m2=b22a22+m2，即b21a21=b22a22，故c1a1=c2a2，因此椭圆C1与椭圆C2离心率相同.
　　结论5 若双曲线C1∶x2a21-y2b21=1（a1>0，b1>0）与双曲线C2∶x2a22-y2b22=1（a2>0，b2>0）离心率相同，则它们是位似图形，原点是位似中心;反之亦然.（证明略）
　　利用证明结论4的方法可以类似地证明结论5，在此不再赘述.同时，如果将结论5中双曲线C1和双曲线C2关系式分别改为y2a21-x2b21=1（a1>0，b1>0）和y2a22-x2b22=1（a2>0，b2>0）则结论亦成立.
　　3.圆锥曲线的统一形式
　　在极坐标系中，运用圆锥曲线的统一定义，可得圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=ep1-ecosθ（*）.
　　当0<e<1时，方程（*）表示椭圆;当e=1时，方程（*）表示抛物线;当e>1时，方程（*）表示双曲线.
　　结论6 离心率相等的圆锥曲线C1，C2是位似图形，反之，若圆锥曲线C1，C2是位似图形，则它们的离心率相等.（证明略）
　　  参考文献：
　　[1]林群.数学九年级下册[M].北京：人民教育出版社，2014：36.
　　[责任编辑：李 璟]