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摘 要：“三个理解”和内隐性课程资源中均蕴含了数学、学生和教学等方面的内容. 将两者结合，相互印证，并结合教学案例具体阐述如何在新授课教学中从理解数学、理解学生、理解教学的角度创设适切的问题情境，挖掘和整合内隐性课程资源，促进学生深度学习.
关键词：理解数学;理解学生;理解教学;内隐性课程资源
新一轮高中课程改革以促进学生的终身发展为本，以提升学生的学科核心素养为目标，而挖掘与整合数学内隐性课程资源，促进学生深度学习，是落实数学学科核心素养的有效途径之一. 内隐性数学课程资源主要包括内隐素材性资源（即数学知识的背景、过程、环境及文化元素等）和内隐条件性资源（即教师的教学知识，学生原有的认知情况，合适的教学手段，方法和环境等）. 结合章建跃博士提出的“三个理解”——理解数学、理解学生、理解教学，不难发现内隐性课程资源中也蕴含了对数学、学生和教学等方面的要求. 因此，笔者认为，基于“三个理解”，可探索、挖掘与整合内隐性课程资源，以优化教学，提升学生的数学学科核心素养. 本文着眼于新授课教学，辅以案例，借助适切的问题情境具体阐述，与大家交流.
一、基于理解数学，构建知识生长点，挖掘知识形成过程中的资源
数学概念是不断抽象的结果. 例如，函数作为中学数学的核心概念，历经初中和高中两个阶段，从“变量说”过渡到“对应说”;又如，在教学“平面和平面垂直”时，为了引入面面垂直的判定定理，需要先学习二面角的知识. 但是对于学生而言，二面角是个全新的概念. 在教学中教师要帮助学生实现从具体到抽象、从感性到理性的过渡，从而完成概念的构建.
案例1：平面和平面垂直（1）.
導入语：大家会折纸么？一张薄薄的纸，经一双巧手，翻、折、叠、拉等，可以呈现很多精美的造型. 今天，我们利用折纸，一起来发现生活中有趣的数学问题. 取一张正方形纸，进行一次对折. 经过对折，可以得到如图1所示的两个立体图形. 它们都有两个平面和一条公共棱. 你能从生活中找到类似的模型吗？
打开的笔记本电脑、翻开的书、教学楼的屋顶……，教师指明这样的立体模型有很多，是今天要学习的二面角.
问题1：如何定义二面角？
师生活动：学生独立思考，教师引导学生类比平面中的角来定义二面角.
追问1：平面中角的定义是什么？
从平面内一点引发两条射线所组成的图形叫做角.
追问2：大家仔细观察折纸模型，将维度升级，给二面角下个定义.
从一条直线引发的两个半平面所组成的图形叫二面角.
追问3：仿照平面几何中角的记法[∠AOB，] 二面角怎么表示？
问题2：在折纸的过程中，可以发现二面角张开的程度不同，如何刻画？
师生活动：学生思考后，讨论、回答：可以通过平面角刻画二面角的大小. 教师鼓励学生在模型上画出符合条件的平面角，并分组讨论操作的可行性，体验二面角平面角的存在性和唯一性. 二面角大小的度量是本节课的重点，也是难点，教师参与讨论，给予指导，并让学生展示讨论结果.
【评析】教师利用折纸这个简单易行的活动，有意识地引领学生进行实践操作，直观感知立体图形，借助类比和转化，得出二面角的定义、表示、度量，既能锻炼学生的动手能力、团队协作能力，还能使学生体会到数学活动的科学性和严谨性.
理解数学指教师清楚数学知识的产生背景、形成过程和方法，把握数学知识的逻辑体系、结构和与相关知识的联系. 本案例将生活与数学相结合，利用折纸活动吸引学生参与到实践操作中来，通过折一折、画一画、想一想，直观感知二面角，这是从生活中建构数学知识的生长点，让学生亲历数学知识的形成过程. 可见，基于理解数学，可以挖掘知识形成过程中的资源，通过学生体验性活动，让学生形成伴随学习活动过程的体验性知识（包括对知识产生、发展、结果、应用的体验）等，从而激发学生进一步理解数学知识，形成良性循环，促进学生深度学习.
二、基于理解学生，立足学生薄弱点，挖掘符合学生认知的资源
数学教学的对象是学生，教学的起始点应基于学情. 因此，理解学生、掌握学情是进行教学设计和实施教学的重要基础. 为了帮助学生提高思维品质，需要教师在教学设计时采用符合学生认知结构的方式，从学生的角度出发，立足学生的薄弱点，引发思考，探究数学知识.
案例2：共面向量定理.
导入语：一个数学概念的推广会带来更好的性质与应用，学生能够从中体验数学在结构上的和谐性，感悟由此产生的影响. 为了解决平面上有关点、直线的位置关系和度量问题，我们引进了平面向量及其运算. 上节课我们进一步扩大视野，将向量由平面向空间推广，建立相应的运算，今天我们继续研究空间向量的有关性质.
观察如图2所示的长方体，回答下列问题.
（1）你能找出一个与[AC]共线的向量吗？
（2）你能用[AB， AD]表示出[AC]吗？
（3）[AB， AD， A1C1]具有怎样的关系？
师生活动：学生思考后回答，教师引导学生直观感知共面向量，并提出问题.
问题1：类比共线向量的定义，你能给出共面向量的定义吗？
追问：空间中任意两个向量是共面向量吗？任意三个向量共面吗？
问题2：平面向量中，向量[b]与非零向量[a]共线的充要条件是[b=λa，] 类比到空间向量，若[p]与两个不共线向量[a，b]共面，那么它们之间存在怎样的关系？
师生活动：学生思考，教师引导学生回顾平面向量基本定理，得出存在有序实数组[x，y，] 使得[p=][xa+yb.]
追问：对于空间中的三个向量[p，a，b]（[a]与[b]不共线），若存在有序实数组[x，y]使[p=xa+yb，] 那么向量[p，a，b]共面吗？ 【评析】此案例源于笔者参加的一次区评优课，借班上课的学生数学基础比较薄弱，因此教师基于学情，利用长方体这一基本模型，设置针对性较强的问题，引入概念. 第（1）小题复习共线向量定理;第（2）小题复习平面向量基本定理;第（3）小题引出共面向量的概念. 问题设置均在学生思维的最近发展区，起点低但有梯度，拾级而上，符合学生的认知特点;教师适时追问，引导学生深度思考任意三个向量是否共面，何时共面，自然引入本节课的主题——探究共面向量定理. 在共面向量定理探究环节，必要性通过回顾平面向量基本定理就可解决，充分性则类比共面向量的作图进行验证，教学先易后难、循序渐进.
理解学生，即认识学生数学学习的思维特征和认知规律，了解学生的知识储备、能力基础和学习数学难点知识的思维障碍等. 挖掘内隐性课程资源，也需要考虑学生的思维水平，建构紧扣教学目标的、有的放矢的问题情境. 作为课堂的主体，学生的积极性和求知欲直接影响教学效率，案例充分考虑学生学情，挖掘符合学生认知的资源，从共线向量、平面基本向量入手，设置有阶梯且目标明确的问题驱动课堂，帮助学生理清知识的逻辑关系，实现知识的迁移. 当然，从理解学生的角度挖掘内隐性课程资源，还可以关注学生的兴趣点、困惑点、顿悟点，挖掘课堂生成的意外点等资源，促进学生多维思考，发展数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养.
三、基于理解教学，把握教材重、难点，挖掘优化教学方法的资源
希伯特将教学描述为“在课堂中围绕内容，并促进学习目标达成的师生、生生活动”. 教学的任务是创造一个学生参与的环境来引发学生的思考，而不是直接将知识或方法灌输给学生. 在一次公开课教学中，笔者听了一节青年教师的新授课，教学流程如下.
案例3：抛物线的性质.
师：上节课中，我们学习了抛物线的标准方程，本节课我们来研究抛物线的几何性质.
下面我们来学以致用，完成例题.
……
在不到5分钟的性质归纳之后，就是满满的课堂例题讲解.
诚然，在这位教师看来，填写表格对学生而言没有什么难度，所以教学的侧重点是例题的讲解，即抛物线性质的应用. 其实不然，弗赖登塔尔认为，学习数学唯一正确的方法是实现再创造，也就是通过学生自己的做数学活动，把本来需要教师传授的知识、需要浸润的观念变为学生在活动中自主生成、缄默感受的东西，这是一种自然、有效的学习方法. 因此，本课时教师的任务并不是将现成的结论灌输给学生，而是引导和帮助学生进行再创造的活动，即让学生参照椭圆或双曲线的几何性质的学习经验对抛物线的性质进行独立探索.
笔者在与执教教师交流沟通后，创设问题情境如下.
导入语：生活中处处有抛物线的身影，喷泉、拱桥、彩虹……就连大家喜欢的小游戏“愤怒的小鸟”中也存在抛物线的身影，想知道小鸟能否击中小猪，就需要研究抛物线的有关性质.
问题1：前面我们学习了椭圆和双曲线的几何性质，如何探究抛物线的性质？
师生活动：学生思考后回答“通过类比椭圆的性质探究了双曲线的性质，可以尝试类比椭圆的性质探究抛物线的性质”. 教师给予鼓励，并指明类比不仅是形式上的类比，也可以是探究方法和思维方式的类比.
问题2：以焦点在[x]轴上的椭圆为例，回忆椭圆性质的探究过程.
师生活动：学生回答并相互补充，完成对椭圆性质的复习，包括范围、顶点、对称性等. 教师适时追问.
追问1：如何得到[x]和[y]的取值范围？
通过观察几何图形和从代数角度计算可得.
追问2：如何得到顶点和对称性？
问題3：以[y2=2px p>0]为例，从几何和代数两个角度探究抛物线的性质.
【评析】通过充满趣味的小游戏创设问题情境，激发学生的学习兴趣. 在教学中着重渗透类比思想，抓住本节课学习的重点，即类比椭圆的性质研究抛物线的性质，锻炼学生的归纳和推理能力. 特别地，在研究变量范围、顶点、对称性的时候，要多问学生几个“为什么”，让学生不仅能从几何图形直观感知抛物线的性质，还要理解圆锥曲线几何性质的研究过程——几何性质代数化，形成用解析法研究几何问题的经验系统，促进学生深度理解[x，y]的代数特征和几何意义，进行有效的思维固着.
理解教学，是指教师清楚教学的本质与功能，掌握一定的教学方法和教学艺术，清楚学生的认知规律和教学的基本原则，能够把教与学作为有机的、统一的、相互促进的整体来处理.
例如，案例3中教学不应该满堂灌例题，而应该引导学生先对抛物线的性质进行本质探究，从而进一步掌握用解析法来研究解析几何，提升学生自主解决一般问题的能力. 基于理解教学，教师需要精心研究教材与教法，熟悉教学的重、难点，优化教学方法，可以根据对内隐性课程资源中素材性课程资源的理解，结合外显条件性资源，构建适合学生共同参与学习的课堂环境，通过不断追问、质疑、反思等途径，帮助学生归纳学习方法，促进学生深层次思考，积累基本活动经验.
理解数学、理解学生、理解教学是实施有效教学的根本保证. 基于“三个理解”，可以化隐性资源为显性资源，并为挖掘内隐性课程资源提供思路和一般方法，构建促进学生深度学习的优质环境，促进学生理解力、思考力、应用力和创新力持续发展.
参考文献：
[1]章建跃. 中学数学课改的十个论题[J]. 中学数学教学参考（中旬），2010（3）：2-5，11.
[2]喻平. 论内隐性数学课程资源[J]. 中国教育学刊，2013（7）：59-63.
[3]华志远. 发掘内隐性课程资源 促进学生深度学习[J]. 中学数学杂志，2019（5）：8-10.
关键词：理解数学;理解学生;理解教学;内隐性课程资源
新一轮高中课程改革以促进学生的终身发展为本，以提升学生的学科核心素养为目标，而挖掘与整合数学内隐性课程资源，促进学生深度学习，是落实数学学科核心素养的有效途径之一. 内隐性数学课程资源主要包括内隐素材性资源（即数学知识的背景、过程、环境及文化元素等）和内隐条件性资源（即教师的教学知识，学生原有的认知情况，合适的教学手段，方法和环境等）. 结合章建跃博士提出的“三个理解”——理解数学、理解学生、理解教学，不难发现内隐性课程资源中也蕴含了对数学、学生和教学等方面的要求. 因此，笔者认为，基于“三个理解”，可探索、挖掘与整合内隐性课程资源，以优化教学，提升学生的数学学科核心素养. 本文着眼于新授课教学，辅以案例，借助适切的问题情境具体阐述，与大家交流.
一、基于理解数学，构建知识生长点，挖掘知识形成过程中的资源
数学概念是不断抽象的结果. 例如，函数作为中学数学的核心概念，历经初中和高中两个阶段，从“变量说”过渡到“对应说”;又如，在教学“平面和平面垂直”时，为了引入面面垂直的判定定理，需要先学习二面角的知识. 但是对于学生而言，二面角是个全新的概念. 在教学中教师要帮助学生实现从具体到抽象、从感性到理性的过渡，从而完成概念的构建.
案例1：平面和平面垂直（1）.
導入语：大家会折纸么？一张薄薄的纸，经一双巧手，翻、折、叠、拉等，可以呈现很多精美的造型. 今天，我们利用折纸，一起来发现生活中有趣的数学问题. 取一张正方形纸，进行一次对折. 经过对折，可以得到如图1所示的两个立体图形. 它们都有两个平面和一条公共棱. 你能从生活中找到类似的模型吗？
打开的笔记本电脑、翻开的书、教学楼的屋顶……，教师指明这样的立体模型有很多，是今天要学习的二面角.
问题1：如何定义二面角？
师生活动：学生独立思考，教师引导学生类比平面中的角来定义二面角.
追问1：平面中角的定义是什么？
从平面内一点引发两条射线所组成的图形叫做角.
追问2：大家仔细观察折纸模型，将维度升级，给二面角下个定义.
从一条直线引发的两个半平面所组成的图形叫二面角.
追问3：仿照平面几何中角的记法[∠AOB，] 二面角怎么表示？
问题2：在折纸的过程中，可以发现二面角张开的程度不同，如何刻画？
师生活动：学生思考后，讨论、回答：可以通过平面角刻画二面角的大小. 教师鼓励学生在模型上画出符合条件的平面角，并分组讨论操作的可行性，体验二面角平面角的存在性和唯一性. 二面角大小的度量是本节课的重点，也是难点，教师参与讨论，给予指导，并让学生展示讨论结果.
【评析】教师利用折纸这个简单易行的活动，有意识地引领学生进行实践操作，直观感知立体图形，借助类比和转化，得出二面角的定义、表示、度量，既能锻炼学生的动手能力、团队协作能力，还能使学生体会到数学活动的科学性和严谨性.
理解数学指教师清楚数学知识的产生背景、形成过程和方法，把握数学知识的逻辑体系、结构和与相关知识的联系. 本案例将生活与数学相结合，利用折纸活动吸引学生参与到实践操作中来，通过折一折、画一画、想一想，直观感知二面角，这是从生活中建构数学知识的生长点，让学生亲历数学知识的形成过程. 可见，基于理解数学，可以挖掘知识形成过程中的资源，通过学生体验性活动，让学生形成伴随学习活动过程的体验性知识（包括对知识产生、发展、结果、应用的体验）等，从而激发学生进一步理解数学知识，形成良性循环，促进学生深度学习.
二、基于理解学生，立足学生薄弱点，挖掘符合学生认知的资源
数学教学的对象是学生，教学的起始点应基于学情. 因此，理解学生、掌握学情是进行教学设计和实施教学的重要基础. 为了帮助学生提高思维品质，需要教师在教学设计时采用符合学生认知结构的方式，从学生的角度出发，立足学生的薄弱点，引发思考，探究数学知识.
案例2：共面向量定理.
导入语：一个数学概念的推广会带来更好的性质与应用，学生能够从中体验数学在结构上的和谐性，感悟由此产生的影响. 为了解决平面上有关点、直线的位置关系和度量问题，我们引进了平面向量及其运算. 上节课我们进一步扩大视野，将向量由平面向空间推广，建立相应的运算，今天我们继续研究空间向量的有关性质.
观察如图2所示的长方体，回答下列问题.
（1）你能找出一个与[AC]共线的向量吗？
（2）你能用[AB， AD]表示出[AC]吗？
（3）[AB， AD， A1C1]具有怎样的关系？
师生活动：学生思考后回答，教师引导学生直观感知共面向量，并提出问题.
问题1：类比共线向量的定义，你能给出共面向量的定义吗？
追问：空间中任意两个向量是共面向量吗？任意三个向量共面吗？
问题2：平面向量中，向量[b]与非零向量[a]共线的充要条件是[b=λa，] 类比到空间向量，若[p]与两个不共线向量[a，b]共面，那么它们之间存在怎样的关系？
师生活动：学生思考，教师引导学生回顾平面向量基本定理，得出存在有序实数组[x，y，] 使得[p=][xa+yb.]
追问：对于空间中的三个向量[p，a，b]（[a]与[b]不共线），若存在有序实数组[x，y]使[p=xa+yb，] 那么向量[p，a，b]共面吗？ 【评析】此案例源于笔者参加的一次区评优课，借班上课的学生数学基础比较薄弱，因此教师基于学情，利用长方体这一基本模型，设置针对性较强的问题，引入概念. 第（1）小题复习共线向量定理;第（2）小题复习平面向量基本定理;第（3）小题引出共面向量的概念. 问题设置均在学生思维的最近发展区，起点低但有梯度，拾级而上，符合学生的认知特点;教师适时追问，引导学生深度思考任意三个向量是否共面，何时共面，自然引入本节课的主题——探究共面向量定理. 在共面向量定理探究环节，必要性通过回顾平面向量基本定理就可解决，充分性则类比共面向量的作图进行验证，教学先易后难、循序渐进.
理解学生，即认识学生数学学习的思维特征和认知规律，了解学生的知识储备、能力基础和学习数学难点知识的思维障碍等. 挖掘内隐性课程资源，也需要考虑学生的思维水平，建构紧扣教学目标的、有的放矢的问题情境. 作为课堂的主体，学生的积极性和求知欲直接影响教学效率，案例充分考虑学生学情，挖掘符合学生认知的资源，从共线向量、平面基本向量入手，设置有阶梯且目标明确的问题驱动课堂，帮助学生理清知识的逻辑关系，实现知识的迁移. 当然，从理解学生的角度挖掘内隐性课程资源，还可以关注学生的兴趣点、困惑点、顿悟点，挖掘课堂生成的意外点等资源，促进学生多维思考，发展数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养.
三、基于理解教学，把握教材重、难点，挖掘优化教学方法的资源
希伯特将教学描述为“在课堂中围绕内容，并促进学习目标达成的师生、生生活动”. 教学的任务是创造一个学生参与的环境来引发学生的思考，而不是直接将知识或方法灌输给学生. 在一次公开课教学中，笔者听了一节青年教师的新授课，教学流程如下.
案例3：抛物线的性质.
师：上节课中，我们学习了抛物线的标准方程，本节课我们来研究抛物线的几何性质.
下面我们来学以致用，完成例题.
……
在不到5分钟的性质归纳之后，就是满满的课堂例题讲解.
诚然，在这位教师看来，填写表格对学生而言没有什么难度，所以教学的侧重点是例题的讲解，即抛物线性质的应用. 其实不然，弗赖登塔尔认为，学习数学唯一正确的方法是实现再创造，也就是通过学生自己的做数学活动，把本来需要教师传授的知识、需要浸润的观念变为学生在活动中自主生成、缄默感受的东西，这是一种自然、有效的学习方法. 因此，本课时教师的任务并不是将现成的结论灌输给学生，而是引导和帮助学生进行再创造的活动，即让学生参照椭圆或双曲线的几何性质的学习经验对抛物线的性质进行独立探索.
笔者在与执教教师交流沟通后，创设问题情境如下.
导入语：生活中处处有抛物线的身影，喷泉、拱桥、彩虹……就连大家喜欢的小游戏“愤怒的小鸟”中也存在抛物线的身影，想知道小鸟能否击中小猪，就需要研究抛物线的有关性质.
问题1：前面我们学习了椭圆和双曲线的几何性质，如何探究抛物线的性质？
师生活动：学生思考后回答“通过类比椭圆的性质探究了双曲线的性质，可以尝试类比椭圆的性质探究抛物线的性质”. 教师给予鼓励，并指明类比不仅是形式上的类比，也可以是探究方法和思维方式的类比.
问题2：以焦点在[x]轴上的椭圆为例，回忆椭圆性质的探究过程.
师生活动：学生回答并相互补充，完成对椭圆性质的复习，包括范围、顶点、对称性等. 教师适时追问.
追问1：如何得到[x]和[y]的取值范围？
通过观察几何图形和从代数角度计算可得.
追问2：如何得到顶点和对称性？
问題3：以[y2=2px p>0]为例，从几何和代数两个角度探究抛物线的性质.
【评析】通过充满趣味的小游戏创设问题情境，激发学生的学习兴趣. 在教学中着重渗透类比思想，抓住本节课学习的重点，即类比椭圆的性质研究抛物线的性质，锻炼学生的归纳和推理能力. 特别地，在研究变量范围、顶点、对称性的时候，要多问学生几个“为什么”，让学生不仅能从几何图形直观感知抛物线的性质，还要理解圆锥曲线几何性质的研究过程——几何性质代数化，形成用解析法研究几何问题的经验系统，促进学生深度理解[x，y]的代数特征和几何意义，进行有效的思维固着.
理解教学，是指教师清楚教学的本质与功能，掌握一定的教学方法和教学艺术，清楚学生的认知规律和教学的基本原则，能够把教与学作为有机的、统一的、相互促进的整体来处理.
例如，案例3中教学不应该满堂灌例题，而应该引导学生先对抛物线的性质进行本质探究，从而进一步掌握用解析法来研究解析几何，提升学生自主解决一般问题的能力. 基于理解教学，教师需要精心研究教材与教法，熟悉教学的重、难点，优化教学方法，可以根据对内隐性课程资源中素材性课程资源的理解，结合外显条件性资源，构建适合学生共同参与学习的课堂环境，通过不断追问、质疑、反思等途径，帮助学生归纳学习方法，促进学生深层次思考，积累基本活动经验.
理解数学、理解学生、理解教学是实施有效教学的根本保证. 基于“三个理解”，可以化隐性资源为显性资源，并为挖掘内隐性课程资源提供思路和一般方法，构建促进学生深度学习的优质环境，促进学生理解力、思考力、应用力和创新力持续发展.
参考文献：
[1]章建跃. 中学数学课改的十个论题[J]. 中学数学教学参考（中旬），2010（3）：2-5，11.
[2]喻平. 论内隐性数学课程资源[J]. 中国教育学刊，2013（7）：59-63.
[3]华志远. 发掘内隐性课程资源 促进学生深度学习[J]. 中学数学杂志，2019（5）：8-10.