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摘 要：培养学生的数学推理能力是数学教育的中心任务，这是广大数学教育工作者的共识。猜想是发展学生合情推理的重要方式，而要发展“合情推理”，自然地对于“猜想”也应尽量地做到 “合理”。可以从“定向”与“定量”两个角度来进行逐步引导，恰当而巧妙地让学生的猜想行走在“定向”与“定量”的“合理规则”中，对发展与培养学生的合情推理能力起到积极的推动作用。
关键词：小学数学；合情推理；合理猜想；有效路径
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2016）02-0060-04
猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的知识和材料作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维形式。猜想作为一种创造性的思维活动，它既是科学发现的先导，也是实现问题解决的一种重要手段。2002年8月，在北京召开的第24届国际数学家大会上，数学教育圆桌会议达成“培养学生的数学推理能力应当作为数学教育的中心任务”[1]的基本共识。《数学课程标准》（2011年版）在第二学段（4～6年级）学段目标中也明确提出：要在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力[2]，可见，猜想是发展学生合情推理的重要方式。猜想作为一种重要的数学思维形式，绝不是毫无根据的胡思乱想，应做到“猜想的合理”。
一、“合理猜想”教学现状扫描
随着数学课程改革进入“深水区”，特别是《数学课程标准》（2011版）颁布实施后，“推理能力”作为十大核心词被写入课程标准。“合情推理”能力受到越来越多的关注，作为“合情推理”能力的重要组成部分，“合理猜想”能力也越来越为广大一线教师所关注。可是，反观实际教学，发现仍然有许多不尽如人意的地方。
（一） 合理猜想教学意识不强
在小学数学教学内容的四大领域，“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”中都为学生发展合理猜想能力提供了丰富的素材，可以说许多内容能够发展学生的“合理猜想”能力。但是受教师个人教学理念和对教材整体把握水平的限制，许多能够很好发展学生“合理猜想”意识和能力的素材却被忽视。
案例1：“加法交换律”教学
教师出示三组算式，学生计算出得数。
13 24=37 24 13=37
28 223=251 223 28=251
104 2345 =2449 2345 104=2449
师：观察每组的两个算式，说说有什么发现？
生：两个加数都是一样的，只是交换了加数的位置，最后的得数也一样。
师：这就是我们加法中一个重要的定律——加法交换律。
上述案例中，教师从具体的算式入手，通过引导学生计算发现规律后就草草收场，进入练习环节。其实，对于本部分的内容教师完全可以引导学生进一步猜想：是否交换两个加数的位置和一定不变呢？进而引导学生进行举例验证，从而培养学生的“合情推理”能力和“思辨意识”。可是由于教师缺乏引导学生进行“猜想”的意识，从而忽略了一次培养学生“合情推理”能力的重要机会。
（二）合理猜想教学组织无序
猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的知识和材料作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维形式。所以，在教学中我们既要基于“已有的知识和材料”、“事实”，也要结合自己的经验来进行推测，但实际教学中，许多教师常常忽视引导学生关注已有的“知识材料”、“事实”，对“合理地猜想”缺乏必要的指导，经常是放任学生“胡乱猜想”。
案例2：“圆的周长”教学
师出示给圆形桌面做一条围箍的情境
师：同学们，猜猜看圆桌的围箍长度会与什么有关？
生1：与圆桌的大小有关。
生2：与圆桌的直径有关。
生3：与圆桌的半径有关。
生4：与圆桌的周长有关。
生5：与圆桌的厚度有关。
……
从上述案例中可以看出，教师对于学生的合理猜想根本就未加以有效的引导，完全是放任学生“胡乱猜想”。在浪费了宝贵的教学时间的同时，却将学生的思维引入了“歧途”。其实，在“猜想”圆的周长与什么有关的组织教学中，教师首先要让学生明确“周长”的概念，再结合已有的正方形、长方形周长的经验和已有的画圆经验，学生完全可以作出较为“合理的猜想”，从而节省教学时间，提高教学效益。
二、“合理猜想”教学组织策略
针对如上的教学现状，究竟该如何改变？如何来培养学生的合理猜想的能力，笔者认为可以从“定向”与“定量”两个维度来组织相关的教学。
（一）“定向”——将猜想引入正确的渠道
“定向猜想”是指引导学生根据所提供的学习素材，通过想象、直觉等方式，运用类比、归纳等方法，对新情况、新问题作出有一定方向的、有理有据的猜想。“定向”能有效地将学生的“猜想”引入到合理的方向上，规避了学生的不切实际的猜想。使学生逐步明确探究的方向，也为进一步探索相关知识、催生新知提供生长点。
案例3：“圆的周长”教学
师：我们已经了解了正方形周长，那么什么是正方形的周长？你能比划一下么？
生（边比划边说）：正方形的周长就是它一周边线的长度，也就是四条边的长度的和。
师：那什么是圆的周长呢？
生：就是围成圆一周边线的长度，就是曲线的长度。
师：请大家仔细观察，想想圆的周长在哪里？（动画展示圆规画圆的过程）
生：圆的周长就是圆规外面的那只脚转过的长度。
师：那么这个圆的周长与什么有关呢？ 生1：我觉得与圆的半径有关。因为我们画圆时，只要把圆规的两脚分开大一些，也就是半径大一些，就能画出更大一点的圆。
生2：也可以说与直径有关啊，因为在同一个圆中，直径长度是半径的2倍。
……
在本案例中，首先，从复习正方形的周长定义入手，让学生运用类比的方法类推出圆周长的含义；接着，又利用“圆规画圆”的动态视频，在直观中让学生感受圆规带有笔芯的一端旋转一周经过的长度就是圆的周长，进而引导学生根据实际的画圆经验，猜想出圆的周长与直径（或半径）有关。充分考虑并利用学生的知识经验，在回顾已有经验的基础上引导学生做出了具有明确方向的猜想。
（二）“定量”——将猜想规于合理的范围
“定量猜想”是建立在学生根据已有数学经验做出了“有理有据”的“定向猜想”基础上，进一步依据“数学事实”或“生活事实”，进行分析、类比、联想，从而对新知作出“定量”的合理猜测与判断。引导学生在一定的“合理范围内”对数量之间的关系进行“定量猜想”，能将学生思维不断引向纵深，有效突破了教学的重难点，发展了学生的合情推理能力。
案例4：“圆的直径与圆周长之间的关系”教学
（学生在猜测了圆的周长可能与直径长度有关后）
师：我们大家都认为圆的周长可能和它的直径有关，那到底有怎样的关系呢？
生1：我猜是直径的2倍多。
生2：我猜是直径的4倍。
……
师：大家刚刚都根据自己的直觉进行了猜测。但究竟是直径的多少倍？我们来缩小猜想范围。
出示动画（在圆内，由一条半径旋转成为一个等边三角形，再由等边三角形旋转组成正六边形）
师：中间六边形的周长和半径有什么关系？和直径呢？请大家画一画，想一想，说一说。
生1：六边形的周长是半径的6倍。
生2：六边形的周长是直径的3倍。
师：请你再结合六边形外的圆形，想想它们的周长、半径、直径之间又有怎样的关系？
生3：圆的周长比六边形大。
生4：圆的周长比半径的6倍还多。
生5：也可以说，圆的周长比它直径的3倍多一些。
师接着出示图2（圆的外接正方形）：
师：大家观察，正方形的周长和圆的直径之间有着怎样的关系？与圆的周长呢？小组内画一画，说一说。
生6：正方形周长是圆直径长的4倍。
生7：正方形的周长比圆的周长要长。
师：这句话反过来怎么说？
生7：圆的周长比它外面的正方形周长要小。
生8：（迫不及待地）也可以说圆的周长比它直径的4倍小一些。
师：通过观察和讨论，你对圆的周长和它直径之间的关系，有了怎样的新的认识？
生：圆的周长应该比它直径的3倍多一些，比4倍少一些。
（师板书：比直径的3倍多，4倍少）
师：是否和大家想的一样呢？下面我们来动手实验，进行验证。
……
案例5：“圆锥体积公式”的推导
教师出示一张长4厘米，宽3厘米的长方形纸
提问：同学们，现在老师准备以长方形的长为轴把它旋转一周（如图），大家猜猜可能会变成什么样的图形？
（屏幕显示，旋转后形成圆柱体）
追问：你会求这个圆柱的体积么？
教师借助多媒体演示，现在老师把这张长方形去掉一半（如图），现在仍然以4厘米的边为轴旋转一周，想想将得到什么样的图形？
提问：同学们，你们会计算这个圆锥的体积么？
引导：在计算之前，我们先来猜一猜，这个圆锥的体积会不会和圆柱的体积有关系呢？会有怎样的关系呢？
生猜测
教师引导：要想知道圆锥的体积是否是大家猜想的那样？我们能否设计一个实验来加以验证呢？
……
案例4中，教者首先放手让学生对圆的周长与直径之间的关系进行猜测，此时学生的猜测可能还多是处于无意识的朦胧状态，紧接着教师通过示出圆内接正六边形和圆外接正方形，在小组合作、讨论交流、思维碰撞中，逐步引导学生在一定的“合理范围内”对圆的周长与直径之间存在的关系进行“定量猜想”。案例5中，教师则巧妙通过多媒体的展示，将圆锥的体积与圆柱体积之间的关系进行了清晰的揭示，在此基础上让学生进行猜想，明确了学生对等底等高圆柱圆锥体积之间的关系间的“定量”的猜想。
“合理猜想”不是胡思乱想，应该是在对研究对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳的基础上，依据已有的材料知识作出符合一定的经验与事实的推测与想象。在实际的教学中，教师恰当而巧妙地组织学习素材，引导学生的猜想行走在“定向”与“定量”的“合理规则”中，一定会对发展与培养学生的合情推理能力起到更加积极的推动作用。
参考文献：
[1]宁连华.数学推理的本质和功能及其能力培养[J].数学教育学报，2003，（03）.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
关键词：小学数学；合情推理；合理猜想；有效路径
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2016）02-0060-04
猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的知识和材料作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维形式。猜想作为一种创造性的思维活动，它既是科学发现的先导，也是实现问题解决的一种重要手段。2002年8月，在北京召开的第24届国际数学家大会上，数学教育圆桌会议达成“培养学生的数学推理能力应当作为数学教育的中心任务”[1]的基本共识。《数学课程标准》（2011年版）在第二学段（4～6年级）学段目标中也明确提出：要在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力[2]，可见，猜想是发展学生合情推理的重要方式。猜想作为一种重要的数学思维形式，绝不是毫无根据的胡思乱想，应做到“猜想的合理”。
一、“合理猜想”教学现状扫描
随着数学课程改革进入“深水区”，特别是《数学课程标准》（2011版）颁布实施后，“推理能力”作为十大核心词被写入课程标准。“合情推理”能力受到越来越多的关注，作为“合情推理”能力的重要组成部分，“合理猜想”能力也越来越为广大一线教师所关注。可是，反观实际教学，发现仍然有许多不尽如人意的地方。
（一） 合理猜想教学意识不强
在小学数学教学内容的四大领域，“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”中都为学生发展合理猜想能力提供了丰富的素材，可以说许多内容能够发展学生的“合理猜想”能力。但是受教师个人教学理念和对教材整体把握水平的限制，许多能够很好发展学生“合理猜想”意识和能力的素材却被忽视。
案例1：“加法交换律”教学
教师出示三组算式，学生计算出得数。
13 24=37 24 13=37
28 223=251 223 28=251
104 2345 =2449 2345 104=2449
师：观察每组的两个算式，说说有什么发现？
生：两个加数都是一样的，只是交换了加数的位置，最后的得数也一样。
师：这就是我们加法中一个重要的定律——加法交换律。
上述案例中，教师从具体的算式入手，通过引导学生计算发现规律后就草草收场，进入练习环节。其实，对于本部分的内容教师完全可以引导学生进一步猜想：是否交换两个加数的位置和一定不变呢？进而引导学生进行举例验证，从而培养学生的“合情推理”能力和“思辨意识”。可是由于教师缺乏引导学生进行“猜想”的意识，从而忽略了一次培养学生“合情推理”能力的重要机会。
（二）合理猜想教学组织无序
猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的知识和材料作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维形式。所以，在教学中我们既要基于“已有的知识和材料”、“事实”，也要结合自己的经验来进行推测，但实际教学中，许多教师常常忽视引导学生关注已有的“知识材料”、“事实”，对“合理地猜想”缺乏必要的指导，经常是放任学生“胡乱猜想”。
案例2：“圆的周长”教学
师出示给圆形桌面做一条围箍的情境
师：同学们，猜猜看圆桌的围箍长度会与什么有关？
生1：与圆桌的大小有关。
生2：与圆桌的直径有关。
生3：与圆桌的半径有关。
生4：与圆桌的周长有关。
生5：与圆桌的厚度有关。
……
从上述案例中可以看出，教师对于学生的合理猜想根本就未加以有效的引导，完全是放任学生“胡乱猜想”。在浪费了宝贵的教学时间的同时，却将学生的思维引入了“歧途”。其实，在“猜想”圆的周长与什么有关的组织教学中，教师首先要让学生明确“周长”的概念，再结合已有的正方形、长方形周长的经验和已有的画圆经验，学生完全可以作出较为“合理的猜想”，从而节省教学时间，提高教学效益。
二、“合理猜想”教学组织策略
针对如上的教学现状，究竟该如何改变？如何来培养学生的合理猜想的能力，笔者认为可以从“定向”与“定量”两个维度来组织相关的教学。
（一）“定向”——将猜想引入正确的渠道
“定向猜想”是指引导学生根据所提供的学习素材，通过想象、直觉等方式，运用类比、归纳等方法，对新情况、新问题作出有一定方向的、有理有据的猜想。“定向”能有效地将学生的“猜想”引入到合理的方向上，规避了学生的不切实际的猜想。使学生逐步明确探究的方向，也为进一步探索相关知识、催生新知提供生长点。
案例3：“圆的周长”教学
师：我们已经了解了正方形周长，那么什么是正方形的周长？你能比划一下么？
生（边比划边说）：正方形的周长就是它一周边线的长度，也就是四条边的长度的和。
师：那什么是圆的周长呢？
生：就是围成圆一周边线的长度，就是曲线的长度。
师：请大家仔细观察，想想圆的周长在哪里？（动画展示圆规画圆的过程）
生：圆的周长就是圆规外面的那只脚转过的长度。
师：那么这个圆的周长与什么有关呢？ 生1：我觉得与圆的半径有关。因为我们画圆时，只要把圆规的两脚分开大一些，也就是半径大一些，就能画出更大一点的圆。
生2：也可以说与直径有关啊，因为在同一个圆中，直径长度是半径的2倍。
……
在本案例中，首先，从复习正方形的周长定义入手，让学生运用类比的方法类推出圆周长的含义；接着，又利用“圆规画圆”的动态视频，在直观中让学生感受圆规带有笔芯的一端旋转一周经过的长度就是圆的周长，进而引导学生根据实际的画圆经验，猜想出圆的周长与直径（或半径）有关。充分考虑并利用学生的知识经验，在回顾已有经验的基础上引导学生做出了具有明确方向的猜想。
（二）“定量”——将猜想规于合理的范围
“定量猜想”是建立在学生根据已有数学经验做出了“有理有据”的“定向猜想”基础上，进一步依据“数学事实”或“生活事实”，进行分析、类比、联想，从而对新知作出“定量”的合理猜测与判断。引导学生在一定的“合理范围内”对数量之间的关系进行“定量猜想”，能将学生思维不断引向纵深，有效突破了教学的重难点，发展了学生的合情推理能力。
案例4：“圆的直径与圆周长之间的关系”教学
（学生在猜测了圆的周长可能与直径长度有关后）
师：我们大家都认为圆的周长可能和它的直径有关，那到底有怎样的关系呢？
生1：我猜是直径的2倍多。
生2：我猜是直径的4倍。
……
师：大家刚刚都根据自己的直觉进行了猜测。但究竟是直径的多少倍？我们来缩小猜想范围。
出示动画（在圆内，由一条半径旋转成为一个等边三角形，再由等边三角形旋转组成正六边形）
师：中间六边形的周长和半径有什么关系？和直径呢？请大家画一画，想一想，说一说。
生1：六边形的周长是半径的6倍。
生2：六边形的周长是直径的3倍。
师：请你再结合六边形外的圆形，想想它们的周长、半径、直径之间又有怎样的关系？
生3：圆的周长比六边形大。
生4：圆的周长比半径的6倍还多。
生5：也可以说，圆的周长比它直径的3倍多一些。
师接着出示图2（圆的外接正方形）：
师：大家观察，正方形的周长和圆的直径之间有着怎样的关系？与圆的周长呢？小组内画一画，说一说。
生6：正方形周长是圆直径长的4倍。
生7：正方形的周长比圆的周长要长。
师：这句话反过来怎么说？
生7：圆的周长比它外面的正方形周长要小。
生8：（迫不及待地）也可以说圆的周长比它直径的4倍小一些。
师：通过观察和讨论，你对圆的周长和它直径之间的关系，有了怎样的新的认识？
生：圆的周长应该比它直径的3倍多一些，比4倍少一些。
（师板书：比直径的3倍多，4倍少）
师：是否和大家想的一样呢？下面我们来动手实验，进行验证。
……
案例5：“圆锥体积公式”的推导
教师出示一张长4厘米，宽3厘米的长方形纸
提问：同学们，现在老师准备以长方形的长为轴把它旋转一周（如图），大家猜猜可能会变成什么样的图形？
（屏幕显示，旋转后形成圆柱体）
追问：你会求这个圆柱的体积么？
教师借助多媒体演示，现在老师把这张长方形去掉一半（如图），现在仍然以4厘米的边为轴旋转一周，想想将得到什么样的图形？
提问：同学们，你们会计算这个圆锥的体积么？
引导：在计算之前，我们先来猜一猜，这个圆锥的体积会不会和圆柱的体积有关系呢？会有怎样的关系呢？
生猜测
教师引导：要想知道圆锥的体积是否是大家猜想的那样？我们能否设计一个实验来加以验证呢？
……
案例4中，教者首先放手让学生对圆的周长与直径之间的关系进行猜测，此时学生的猜测可能还多是处于无意识的朦胧状态，紧接着教师通过示出圆内接正六边形和圆外接正方形，在小组合作、讨论交流、思维碰撞中，逐步引导学生在一定的“合理范围内”对圆的周长与直径之间存在的关系进行“定量猜想”。案例5中，教师则巧妙通过多媒体的展示，将圆锥的体积与圆柱体积之间的关系进行了清晰的揭示，在此基础上让学生进行猜想，明确了学生对等底等高圆柱圆锥体积之间的关系间的“定量”的猜想。
“合理猜想”不是胡思乱想，应该是在对研究对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳的基础上，依据已有的材料知识作出符合一定的经验与事实的推测与想象。在实际的教学中，教师恰当而巧妙地组织学习素材，引导学生的猜想行走在“定向”与“定量”的“合理规则”中，一定会对发展与培养学生的合情推理能力起到更加积极的推动作用。
参考文献：
[1]宁连华.数学推理的本质和功能及其能力培养[J].数学教育学报，2003，（03）.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.