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摘要：在文科数学中，数列的求和问题不仅仅是高考中数学试题的一个重点，还是一个难点。很多学生都在这里遭遇挫折。但是，如果教师教授的解题方法得当，让学生加以练习，要想掌握也不太困难。笔者下面通过几个具体的实例来介绍文科数学中几种常用的数列求和的方法，希望能够帮助学生提高得分率。
关键词：取数代入 公式 倒序 错位 分组 分段 合并
在文科数学中，数列的求和问题不仅仅是高考中数学试题的一个重点，还是一个难点。很多学生都在这里遭遇挫折。但是，如果教师教授的解题方法得当，让学生加以练习，要想掌握也不太困难。下面通过几个具体的实例来介绍文科数学中几种常用的数列求和的方法，希望能够帮助学生提高得分率。
一、取数代入法求和
在选择题中，若数列已知，要求和，可取n=1或n=2代入，即可得出答案。
例1.已知an=n2，则前n项和Sn等于（ ）
A.■ B.■
C.■ D.■
分析：本题可直接取n=1代入可得，A=1，B=2，C=1，D=1，排除B，再取n=2代入可得，A=3，C=4，D=5，排除A，C，所以正确答案为D。
注：在解决此类选择题时，此法通用，但是要注意s■=a■，s■=a■+a■，千万不要直接用s■=a■来解题。
二、利用常用公式法求和
利用等差数列或等比数列的求和公式求和是数列求和的最基本也是最重要的方法，而且也是学习其他求和方法的前提。
1.等差数列求和公式：
S■=■=na■+■d
2.等比数列求和公式：
S■=na■ （q=1）■=■ （q≠1）
例2.求S■=a+a2+a3+...+an-1+an
分析：这个数列，与参数a有关，但是题目中没有具体说明参数a的取值范围，因此，在计算的时候，我们要具体考虑参数a。当a=0时，S■=0，当a=1时，S■=n，当a≠0，a≠1时，S■=■
注：在用等差数列的求和公式时，要注意项数，不一定每个数列的项数都是n项。在用等比数列的求和公式时，以例1为例，要注意参数a的取值范围，它会直接影响到计算的结果。
三、倒序相加法求和
这是课本中推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），把它与原数列相加，再利用等差数列的性质即可。
例3.求数列1+2+3+4+5+…+（n-1）+n的前n项和S■。
分析：S■=1+2+3+4+5+…+（n-1）+n，倒序，可得S■=n+（n-1）+（n-2） +…+3+2+1， 利用等差数列的性质，m+n=p+q？圯a■+a■=a■+a■，所以1+n=2+（n-1）=3+（n-2）= …=（n-1）+2=n+1，因此，
2S■=（1+n）*n，所以S■=■。
注：倒序相加的方法，其本质就是利用了等差数列的性质。
四、错位相减法求和
用错位相减法来求数列的前n项和，在高考试题中占有相当重要的位置，因此需要学生认真掌握。此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a■·b■的前n项和，其中a■■、b■分别是等差数列和等比数列。求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列b■的公比q，然后再将得到的新的和式和原来的和式相减，转化为同倍数的等比数列来求和。
例4.已知c■=n·3■，求数列c■■的前n项和S■。
分析：通过观察，c■=n·3■，由两个部分组成，其中a■=n，b■=3■，a■、b■，分别为等差数列和等比数列。因此，
S■=1·3■+2·3■+3·3■+...+（n-1）·3■+n·3■①
其中等比数列b■公比是3，将式①两边都乘上3，得到
3S■=1·3■+2·3■+3·3■+...+（n-1）·3■+n·3■②
①-②得：
-2S■=1·3■+1·3■+1·3■+...+1·3■+1·3■-n·3■
其中1·3■+1·3■+1·3■+...+1·3■+1·3■（可用等比数列的求和公式），等于■=-■+■（3■），所以-2S■=-■+■（3■）-n·3■，S■=■-■（3n+1）+■·（3■）。
注：在用错位相减法求和的过程中，式①，式②易得，但在用式①-②的过程中，最后一项“-n·3■”经常被漏掉，因此学生在解题书写的过程中，一定要注意。
五、分组法求和
有这么一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但若将这个数列适当拆开，可分为等差或等比数列，此时，若要求它的前n项和，就可以采用分组法。
例5.求数列1■，2■，3■，4■，...，n■的前n项和S■。
分析：数列的通项公式为c■=n+■，其中a■=n，b■=■，数列a■，b■分别为等差数列，等比数列，所以
S■=（1+■）+（2+■）+（3+■）+...+（n+■）
=（1+2+3+...+n）+（■+■+■+...+■）
（分组）
分别利用等差数列和等比数列的求和公式，可得S■=■+■=■-■+1
注：本解法的关键在于，通过观察，将原数列分组，然后分别利用已知的数列求和公式。
六、分段法求和
分段法求和，顾名思义，就是要分段，当一个数列中，出现了两段具有不同特点的项时，就采用此法。
例6.已知数列a■=9-n，求数列的前n项和T■。
分析：通过观察，易得数列a■，是首项为8，公差为-1的等差数列，设其前n项和为S■，而数列a■其前n项和設为T■，T■=8+7+...+1+0+-1+-2+...+8-n+9-n。我们知道，正数和0的绝对值是它本身，但负数的绝对值是正数。因此当项数n≤9时，前n项和T■=S■。但是当项数大于9时，前n项和T■就要分成两段，前面9项其和为S■，后面n-9项，每一项加了绝对值以后，都变成了正数，其和为S■-S■=S■-S■。综上，当n≤9时，T■=S■；当n>9时，T■=2S■-S■。
注：以此例题为例，易错的地方就是当项数n>9时，数列的和应该如何来求，怎么与原数列的联系起来，如何利用S■，来求T■。
七、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求前n项和时，可将具有共同特性的这些项放在一起先求和，然后再求总的和。
例7.已知Sn=2-4+6-8+10-12+...+（-1）■2n，则S■+S■-S■=
分析：通过观察，
a■+a■=a■+a■=...=-2
∴S■=2-4+6-8+10-12+...+26-28+30
=（2-4）+（6-8）+（10-12）+...+（26-28）+30
=（-2）×7+30
=16 同理
S■=2-4+6-8+10-12+...+38-40
=（2-4）+（6-8）+（10-12）+...+（38-40）
=-20
S■=（-2）×25=-50
∴S■+S■-S■=16+（-20）+（-50）=-54
注：在例7中，易错的地方，如S■，它的前14项，都可以凑成对，但是多了一个a■，没有项与之合并。
数列求和的方法，多种多样，本文是结合文科数学试题中，常见的数列求和题的类型，归纳出以上几种常用的方法。具体方法的选择使用，还需要教师多给学生布置相关的练习，让学生在不断的练习摸索中，熟练掌握这几种解法。（责编 高伟）
关键词：取数代入 公式 倒序 错位 分组 分段 合并
在文科数学中，数列的求和问题不仅仅是高考中数学试题的一个重点，还是一个难点。很多学生都在这里遭遇挫折。但是，如果教师教授的解题方法得当，让学生加以练习，要想掌握也不太困难。下面通过几个具体的实例来介绍文科数学中几种常用的数列求和的方法，希望能够帮助学生提高得分率。
一、取数代入法求和
在选择题中，若数列已知，要求和，可取n=1或n=2代入，即可得出答案。
例1.已知an=n2，则前n项和Sn等于（ ）
A.■ B.■
C.■ D.■
分析：本题可直接取n=1代入可得，A=1，B=2，C=1，D=1，排除B，再取n=2代入可得，A=3，C=4，D=5，排除A，C，所以正确答案为D。
注：在解决此类选择题时，此法通用，但是要注意s■=a■，s■=a■+a■，千万不要直接用s■=a■来解题。
二、利用常用公式法求和
利用等差数列或等比数列的求和公式求和是数列求和的最基本也是最重要的方法，而且也是学习其他求和方法的前提。
1.等差数列求和公式：
S■=■=na■+■d
2.等比数列求和公式：
S■=na■ （q=1）■=■ （q≠1）
例2.求S■=a+a2+a3+...+an-1+an
分析：这个数列，与参数a有关，但是题目中没有具体说明参数a的取值范围，因此，在计算的时候，我们要具体考虑参数a。当a=0时，S■=0，当a=1时，S■=n，当a≠0，a≠1时，S■=■
注：在用等差数列的求和公式时，要注意项数，不一定每个数列的项数都是n项。在用等比数列的求和公式时，以例1为例，要注意参数a的取值范围，它会直接影响到计算的结果。
三、倒序相加法求和
这是课本中推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），把它与原数列相加，再利用等差数列的性质即可。
例3.求数列1+2+3+4+5+…+（n-1）+n的前n项和S■。
分析：S■=1+2+3+4+5+…+（n-1）+n，倒序，可得S■=n+（n-1）+（n-2） +…+3+2+1， 利用等差数列的性质，m+n=p+q？圯a■+a■=a■+a■，所以1+n=2+（n-1）=3+（n-2）= …=（n-1）+2=n+1，因此，
2S■=（1+n）*n，所以S■=■。
注：倒序相加的方法，其本质就是利用了等差数列的性质。
四、错位相减法求和
用错位相减法来求数列的前n项和，在高考试题中占有相当重要的位置，因此需要学生认真掌握。此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a■·b■的前n项和，其中a■■、b■分别是等差数列和等比数列。求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列b■的公比q，然后再将得到的新的和式和原来的和式相减，转化为同倍数的等比数列来求和。
例4.已知c■=n·3■，求数列c■■的前n项和S■。
分析：通过观察，c■=n·3■，由两个部分组成，其中a■=n，b■=3■，a■、b■，分别为等差数列和等比数列。因此，
S■=1·3■+2·3■+3·3■+...+（n-1）·3■+n·3■①
其中等比数列b■公比是3，将式①两边都乘上3，得到
3S■=1·3■+2·3■+3·3■+...+（n-1）·3■+n·3■②
①-②得：
-2S■=1·3■+1·3■+1·3■+...+1·3■+1·3■-n·3■
其中1·3■+1·3■+1·3■+...+1·3■+1·3■（可用等比数列的求和公式），等于■=-■+■（3■），所以-2S■=-■+■（3■）-n·3■，S■=■-■（3n+1）+■·（3■）。
注：在用错位相减法求和的过程中，式①，式②易得，但在用式①-②的过程中，最后一项“-n·3■”经常被漏掉，因此学生在解题书写的过程中，一定要注意。
五、分组法求和
有这么一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但若将这个数列适当拆开，可分为等差或等比数列，此时，若要求它的前n项和，就可以采用分组法。
例5.求数列1■，2■，3■，4■，...，n■的前n项和S■。
分析：数列的通项公式为c■=n+■，其中a■=n，b■=■，数列a■，b■分别为等差数列，等比数列，所以
S■=（1+■）+（2+■）+（3+■）+...+（n+■）
=（1+2+3+...+n）+（■+■+■+...+■）
（分组）
分别利用等差数列和等比数列的求和公式，可得S■=■+■=■-■+1
注：本解法的关键在于，通过观察，将原数列分组，然后分别利用已知的数列求和公式。
六、分段法求和
分段法求和，顾名思义，就是要分段，当一个数列中，出现了两段具有不同特点的项时，就采用此法。
例6.已知数列a■=9-n，求数列的前n项和T■。
分析：通过观察，易得数列a■，是首项为8，公差为-1的等差数列，设其前n项和为S■，而数列a■其前n项和設为T■，T■=8+7+...+1+0+-1+-2+...+8-n+9-n。我们知道，正数和0的绝对值是它本身，但负数的绝对值是正数。因此当项数n≤9时，前n项和T■=S■。但是当项数大于9时，前n项和T■就要分成两段，前面9项其和为S■，后面n-9项，每一项加了绝对值以后，都变成了正数，其和为S■-S■=S■-S■。综上，当n≤9时，T■=S■；当n>9时，T■=2S■-S■。
注：以此例题为例，易错的地方就是当项数n>9时，数列的和应该如何来求，怎么与原数列的联系起来，如何利用S■，来求T■。
七、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求前n项和时，可将具有共同特性的这些项放在一起先求和，然后再求总的和。
例7.已知Sn=2-4+6-8+10-12+...+（-1）■2n，则S■+S■-S■=
分析：通过观察，
a■+a■=a■+a■=...=-2
∴S■=2-4+6-8+10-12+...+26-28+30
=（2-4）+（6-8）+（10-12）+...+（26-28）+30
=（-2）×7+30
=16 同理
S■=2-4+6-8+10-12+...+38-40
=（2-4）+（6-8）+（10-12）+...+（38-40）
=-20
S■=（-2）×25=-50
∴S■+S■-S■=16+（-20）+（-50）=-54
注：在例7中，易错的地方，如S■，它的前14项，都可以凑成对，但是多了一个a■，没有项与之合并。
数列求和的方法，多种多样，本文是结合文科数学试题中，常见的数列求和题的类型，归纳出以上几种常用的方法。具体方法的选择使用，还需要教师多给学生布置相关的练习，让学生在不断的练习摸索中，熟练掌握这几种解法。（责编 高伟）