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中考中经常会出现一些有一定难度的几何问题,很多同学对此常常感到束手无策.此时若能设计出一些常见解题模型,往往能出奇制胜.现举例说明.
策略一、通过设计直角三角形优化解决问题
例1 如图1,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC等于( ).
A. [26] B. [2626] C. [2613] D. [1313]
[C][B][A][ ] [C][B][A][ ] [D]
图1 图2
解析:如图2,过点B作BD⊥AC于D,∴∠ADB = 90°.
设网格中每个小正方形边长为1,则可得AB =[13],由面积法可得BD = [22],根据勾股定理可得sin∠BAC = [BDAB] = [2213] = [2626].
故选B.
点评:设计含∠BAC的直角三角形是解决本题的关键.
策略二、通过设计圆优化解决问题
例2 如图3,在边长为2[3]的菱形ABCD中,∠C=60°,点E,F分别是AB,AD上的动点,且AE=DF,DE与BF交于点P. 当点E从点A运动到点B时,点P的运动路径长为 .
[B][E][A][P][F][D][C][E] [A] [B][O][P][F][D][C]
图3 图4
解析:如图4,连接BD,易得△ABD为等边三角形. ∴DB = AD = [23],∠A = ∠BDF=60°,又∵AE = DF,∴△ADE ≌△DBF,∴∠ADE = ∠DBF,∴∠BPD = ∠BFD + ∠ADE = ∠BFD + ∠DBF=120°,∴∠C + ∠BPD = 180°,∴C,B,P,D四點共圆,∴点P的运动路径即为☉O上劣弧BD的长. 易得弧BD所对圆心角∠BOD=120°以及圆的半径为2,则可求出劣弧BD的长为[4π3].
故填[4π3].
点评:设计定圆⊙O是解决本题的关键.
策略三、通过设计相似三角形优化解决问题
例3 如图5,在矩形ABCD中,AB = 4,AD = 3,以点C为圆心作⊙C与直线BD相切,P是⊙C上一个动点,连接AP交BD于点T,求[APAT]的最大值.
[P][D][E][T][A][B][C][E'][P'] [P][D][T][A][B][C][F] 图5 图6
解析:∵[APAT=PT+ATAT=PTAT+1],∴要求[APAT]的最大值,可以先求[PTAT]的最大值. 如图6,作PE⊥BD于E,AF⊥BD于F,易得△PET ∽△AFT,[∴PTAT=PEAF]. ∵AF=[3×45=125],∴当PE取最大值时,[PTAT]取最大值.
由⊙C与直线BD相切于点E',可想到连接CE',延长E'C交⊙C于点P',则P'E'即为PE的最大值,为[245],∴[PTAT]的最大值 = [P'E'AF] = 2,∴[APAT]的最大值 = 3.
点评:设计“X”型相似三角形,把求[APAT]的最大值转化为求线段PE的最大值是解决本题的突破口.
设计几何模型,可以优化问题解决. 希望同学们在日常学习中及时归纳、总结,不断提高自己解决问题的能力.
(作者单位:江苏省兴化市楚水初级中学)
策略一、通过设计直角三角形优化解决问题
例1 如图1,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC等于( ).
A. [26] B. [2626] C. [2613] D. [1313]
[C][B][A][ ] [C][B][A][ ] [D]
图1 图2
解析:如图2,过点B作BD⊥AC于D,∴∠ADB = 90°.
设网格中每个小正方形边长为1,则可得AB =[13],由面积法可得BD = [22],根据勾股定理可得sin∠BAC = [BDAB] = [2213] = [2626].
故选B.
点评:设计含∠BAC的直角三角形是解决本题的关键.
策略二、通过设计圆优化解决问题
例2 如图3,在边长为2[3]的菱形ABCD中,∠C=60°,点E,F分别是AB,AD上的动点,且AE=DF,DE与BF交于点P. 当点E从点A运动到点B时,点P的运动路径长为 .
[B][E][A][P][F][D][C][E] [A] [B][O][P][F][D][C]
图3 图4
解析:如图4,连接BD,易得△ABD为等边三角形. ∴DB = AD = [23],∠A = ∠BDF=60°,又∵AE = DF,∴△ADE ≌△DBF,∴∠ADE = ∠DBF,∴∠BPD = ∠BFD + ∠ADE = ∠BFD + ∠DBF=120°,∴∠C + ∠BPD = 180°,∴C,B,P,D四點共圆,∴点P的运动路径即为☉O上劣弧BD的长. 易得弧BD所对圆心角∠BOD=120°以及圆的半径为2,则可求出劣弧BD的长为[4π3].
故填[4π3].
点评:设计定圆⊙O是解决本题的关键.
策略三、通过设计相似三角形优化解决问题
例3 如图5,在矩形ABCD中,AB = 4,AD = 3,以点C为圆心作⊙C与直线BD相切,P是⊙C上一个动点,连接AP交BD于点T,求[APAT]的最大值.
[P][D][E][T][A][B][C][E'][P'] [P][D][T][A][B][C][F] 图5 图6
解析:∵[APAT=PT+ATAT=PTAT+1],∴要求[APAT]的最大值,可以先求[PTAT]的最大值. 如图6,作PE⊥BD于E,AF⊥BD于F,易得△PET ∽△AFT,[∴PTAT=PEAF]. ∵AF=[3×45=125],∴当PE取最大值时,[PTAT]取最大值.
由⊙C与直线BD相切于点E',可想到连接CE',延长E'C交⊙C于点P',则P'E'即为PE的最大值,为[245],∴[PTAT]的最大值 = [P'E'AF] = 2,∴[APAT]的最大值 = 3.
点评:设计“X”型相似三角形,把求[APAT]的最大值转化为求线段PE的最大值是解决本题的突破口.
设计几何模型,可以优化问题解决. 希望同学们在日常学习中及时归纳、总结,不断提高自己解决问题的能力.
(作者单位:江苏省兴化市楚水初级中学)