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摘 要：排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点，同时是高考的必考内容。其思想方法独特，求解思路新颖，但解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误。而提高学生解决排列组合问题的有效方法是题型与解法的归类、认识模式，熟练应用，以下介绍八类典型排列组合问题的解题策略。
关键词：数学教学；排列组合；解题策略
排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点，同时是高考的必考内容。其思想方法独特，求解思路新颖，但解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误。而提高学生解决排列组合问题的有效方法是题型与解法的归类、认识模式，熟练应用，以下介绍八类典型排列组合问题的解题策略。
一、相邻问题捆绑法
把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后在与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即为“捆绑法”。
例16名同学排成一排，其中有甲乙两人必须排在一起的不同排法有（）
A、220种B、360种C240种D、120种
分析：将甲乙两人捆成一捆，相当于5人全排列A55，然后再解开，甲、乙两人全排A22，故共有A55A22=240种，选C。
二、不相邻问题插空法
元素不相邻问题，先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间的空位和两端。
例2要安排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个节目不相邻，问有多少种不同排法？
分析：先将6个歌唱节目排成一排A66，排好后4个舞蹈节目插入两端共有7个“间隔”，A47，共有A66A47种排法。
三、多元问题分类法
元素多，取出情况也有多种，可用加法原理分成不相容的几类情况分别计算。但要注意，分类不重不漏，即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集，否则容易出现遗漏和重复的错误。
例3某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片、磁盘至少买2盒，不同的选购方式共有（ ）
分析：可按买磁盘盒数多少分三类：买4盒磁盘时，只有1种；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件2种；买2盒磁盘时，可买3片4、片、5片、6片软件，共4种，故共有1+2+4=7种不同的选购方式，选C。
四、重复排列住店法
重复排列问题要区分两类：一类元素可以重复，另一类元素不能重复，把不能重复的元素看成“客”，能重复的元素看作“店”。
例4 七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能性的种数是（）
A、75 B、57C、A75D、C75
分析：因同一名学生可同时夺得几项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，5项冠军看作5名“客”，每个“客”都可住进7家“店”中的任何一家。即每个“客”有7种住宿法，得75种，选A。
五、定位问题优先法
某个（或几个）元素要排在指定位置，可先排这个（几个）元素，然后，再排其它元素。
例5八个人排成两排，每排四个人，其中甲、乙要排在前排，丙排在后排，有多少种排法？
分析：甲、乙排在前排A42，丙排在后排A41，然后5人在其余位置上排列A55，则共有A42A41A55=5760种排法。
六、选择问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。
例6对某产品的6件不同正品和4件不同次品，一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？
分析：第5次必测出一件次品，其余3件在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有C41，前4次中应有1件正品，3件次品有C61C33，前4次测试中的顺序有C44，由乘法原理得C41（C61C33）=576种。
七、正难则反排除法
有些问题正面考虑情况很复杂，或者不易排出来，可考虑从反面入手，往往会取得较好的效果。
例7 四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有（）
A、150B、147C、144D、141
分析：10个顶点任取4个点取法有C104种，其中面ABC内的6个点中任意4个点都共面，从这6个点中任取4个点有C64。
同理在其余面内也有C64种，又每条棱与相对棱中点共面6种，各棱中点中4个点共面有3种，故10个点中取4点，不共面的取法有：
C104-4C64-3=141种，选D。
八、定序均分问题消序法
例8 五个人排成一排，如果甲必须站在乙的右边（甲乙可不相邻），那么不同的排法种数为（）
A、246种B、60种C、90种D、120种
分析：乙在甲的右边与乙在甲的左边的排法种数相同，故题设的排法只有5个元素全排列数的一半，即A55/2，选B。
例9 将6人分成三组下棋，有多少种分组法？
分析：先从6人中选2人作为一组有C62，从余下的4人中任取2人作为一组有C42，剩下2人作为一组有C22，即分成有顺序的三组的方法有C62C42C22，但题目中要求分成等额且无序的三组，并不编号定组，故应清除因有序分组造成的重复，则有序C62C42C22/A33=15种。
关键词：数学教学；排列组合；解题策略
排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点，同时是高考的必考内容。其思想方法独特，求解思路新颖，但解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误。而提高学生解决排列组合问题的有效方法是题型与解法的归类、认识模式，熟练应用，以下介绍八类典型排列组合问题的解题策略。
一、相邻问题捆绑法
把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后在与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即为“捆绑法”。
例16名同学排成一排，其中有甲乙两人必须排在一起的不同排法有（）
A、220种B、360种C240种D、120种
分析：将甲乙两人捆成一捆，相当于5人全排列A55，然后再解开，甲、乙两人全排A22，故共有A55A22=240种，选C。
二、不相邻问题插空法
元素不相邻问题，先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间的空位和两端。
例2要安排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个节目不相邻，问有多少种不同排法？
分析：先将6个歌唱节目排成一排A66，排好后4个舞蹈节目插入两端共有7个“间隔”，A47，共有A66A47种排法。
三、多元问题分类法
元素多，取出情况也有多种，可用加法原理分成不相容的几类情况分别计算。但要注意，分类不重不漏，即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集，否则容易出现遗漏和重复的错误。
例3某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片、磁盘至少买2盒，不同的选购方式共有（ ）
分析：可按买磁盘盒数多少分三类：买4盒磁盘时，只有1种；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件2种；买2盒磁盘时，可买3片4、片、5片、6片软件，共4种，故共有1+2+4=7种不同的选购方式，选C。
四、重复排列住店法
重复排列问题要区分两类：一类元素可以重复，另一类元素不能重复，把不能重复的元素看成“客”，能重复的元素看作“店”。
例4 七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能性的种数是（）
A、75 B、57C、A75D、C75
分析：因同一名学生可同时夺得几项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，5项冠军看作5名“客”，每个“客”都可住进7家“店”中的任何一家。即每个“客”有7种住宿法，得75种，选A。
五、定位问题优先法
某个（或几个）元素要排在指定位置，可先排这个（几个）元素，然后，再排其它元素。
例5八个人排成两排，每排四个人，其中甲、乙要排在前排，丙排在后排，有多少种排法？
分析：甲、乙排在前排A42，丙排在后排A41，然后5人在其余位置上排列A55，则共有A42A41A55=5760种排法。
六、选择问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。
例6对某产品的6件不同正品和4件不同次品，一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？
分析：第5次必测出一件次品，其余3件在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有C41，前4次中应有1件正品，3件次品有C61C33，前4次测试中的顺序有C44，由乘法原理得C41（C61C33）=576种。
七、正难则反排除法
有些问题正面考虑情况很复杂，或者不易排出来，可考虑从反面入手，往往会取得较好的效果。
例7 四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有（）
A、150B、147C、144D、141
分析：10个顶点任取4个点取法有C104种，其中面ABC内的6个点中任意4个点都共面，从这6个点中任取4个点有C64。
同理在其余面内也有C64种，又每条棱与相对棱中点共面6种，各棱中点中4个点共面有3种，故10个点中取4点，不共面的取法有：
C104-4C64-3=141种，选D。
八、定序均分问题消序法
例8 五个人排成一排，如果甲必须站在乙的右边（甲乙可不相邻），那么不同的排法种数为（）
A、246种B、60种C、90种D、120种
分析：乙在甲的右边与乙在甲的左边的排法种数相同，故题设的排法只有5个元素全排列数的一半，即A55/2，选B。
例9 将6人分成三组下棋，有多少种分组法？
分析：先从6人中选2人作为一组有C62，从余下的4人中任取2人作为一组有C42，剩下2人作为一组有C22，即分成有顺序的三组的方法有C62C42C22，但题目中要求分成等额且无序的三组，并不编号定组，故应清除因有序分组造成的重复，则有序C62C42C22/A33=15种。