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2009年江苏省进行了课改以来首次全省统考，全省各市在中考前进行了积极地准备，不少地区中考前的模拟试卷质量很高，出现了不少好题，其中南京的数学一模考试的第27题是一道“亮眼”的“课题学习”型试题．
题目 如图11的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．
（1）如图12，数学课本长为26cm，宽为18.5cm，厚为1cm．小明用一张1260cm2的矩形纸方法包好了这本书，展开后如图11所示，求折叠进去的宽度；
（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典．你能用一张41cm×26cm的矩形纸，按图11所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？请说明理由．
图11 图12
评析 本题的数学思考对象是一个与学生生活实际结合密切的“包书问题”．命题者的文字表述简短，减轻了学生的阅读负担，有效地保证了学生的数学思考时间与精力；所设置的数据贴合实际，同时很好地控制了解答的计算量．
本题的思考解答过程，要求学生经历“‘问题情境→建立模型→求解→解释与应用’的基本过程”，这是课标对初中学段的课题学习提出的具体目标之一．
本题借助实际生活情境提出的包书纸大小的几何图形问题，重点考查了学生建立代数模型的能力．而且对这一几何问题的两小问，需要建立两种不同的代数模型解决．其中问题1需要建立方程模型；问题2解法多样，须分“字典的长与矩形纸的宽方向一致”、“字典的长与矩形纸的长方向一致”两种情况思考包书材料长宽是否够大，方法1：计算符合包书要求的纸的长、宽，再与所给包书纸大小进行比较，方法2：建立不等式模型，分析所给包书纸包住字典折叠进去的宽度，与包书要求比较．不同的代数模型建立都要依赖于学生通过分析、总结、概括从问题背景中抽象出相应的数量关系，因而，数量关系的分析是解决问题的关键之所在．根据本题的数据设计，还可以用包书纸的面积计算、比较，得出矩形纸不能包好这本字典．当然，所给包书纸面积大小符合要求，只是能包好这本字典的必要条件，但不充分，如果面积大小达不到要求，一定包不住；如果面积大小符合要求，还必须做长与宽的分析，才能得出结论．
由本题提供的良好情境和解题思考，还可拓展联想到：报纸包裹一副卷起来的挂历（圆柱体）、报纸包裹一个小礼盒（长方体），报纸的长与宽与所包物体的长与宽不一致.这样会带来更多的思考与探究，又可以形成一个新的课题学习．
如何在中考总复习中认识、开展“课题学习”的复习教学，中考中如何考查、评价这一部分的教学情况？下面谈谈笔者的想法与思考．
1 对“课题学习”的认识
初中数学学习包括“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域．其中“课题学习”归属于“实践与综合应用”这一领域．“课题学习”在课标中有教学目标要求，在教材中有教学的内容与素材，在教参中有教学课时要求．
课标提出了如下教学要求：
在本学段中，学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解决问题的意识和能力；同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．
在前两个学段的基础上，教学时应引导学生结合生活经验提出课题、积极地思考所面临的课题、清楚地表达自己的观点并能够解决一些问题．
具体目标
(1)经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程．
(2)体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识．
(3)获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识．
(4)通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心．
可见，“课题学习”是一种具有现实性、问题性、实践性、综合性和探索性的学习活动．强调密切联系实际、综合应用知识、以探索为主线的解决问题的活动．
2 对“课题学习”的复习教学思考
2.1 “课题学习”的课题素材选择
课题学习的复习素材选择面广，下列素材（以使用苏科版教材为例）供大家参考．
素材选择1 教材中部分“阅读”、“数学活动”、“读一读”、“课题学习”的内容．
（1） “阅读、读一读”
“读一读、阅读”通常介绍与本节、本章内容有关的知识或思想方法．对渗透在“过程”中的基本思想方法，加以简要介绍，以引导学生学会“数学思考”．有利于实现“获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识”这一课标对课题学习提出的具体目标．
（2）部分“数学活动、课题学习”
“数学活动、课题学习”通常是引导学生应用本章知识和方法解决一些实际问题．为学生提供了做数学的机会，设计突出“动”与“用”两个字，引导学生在活动中思考，更好的感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识；感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验．教材中部分“数学活动、课题学习”密切联系实际，有利于实现使学生经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用” 这一课标对课题学习提出的具体目标．
（3） 另一部分“数学活动” 突出数学知识，有利于实现“使学生体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识” 这一课标对课题学习提出的具体目标．
素材选择2 《数学综合实践活动（苏科版）》中有不少好的课题
《数学综合与实践活动》教材是依据《标准》和《教科书》编写的，是用于指导学生动手操作实践的活动性材料．旨在落实《课标》中“综合与实践”这一领域的课程目标，力求与苏科版初中数学教材融为一个有机的整体，进一步强化教材“做”数学的特点，为学生提供“做”数学的材料，充分体现以“生活•数学”、“活动•思考”为主线的编写理念．在编写内容上，既有生动有趣的数学探究活动，又有丰富内涵的研究性课题学习．
2.2 教学建议
（1）分类回顾，领悟教材编写的整体性、计划性、系统性．
（2）挖掘实质，每个课题学习素材背后都有相应的数学内涵，对数学内涵、实质的挖掘过程是个提炼的过程，也是能力提升的过程．
（3）适度探索，每个课题学习素材之后都留有很大的继续思考、探索的空间，教师适当地设置一些问题，可拓展学生的思维．
（4）关注这些素材中一些能体现探究、可做进一步拓展思考的好的问题素材或思考解决问题的方式，做进一步的研究、开发，如：拼图 公式；关注一些新颖、灵活的问题呈现方式或载体，如：分式游戏．
（5）课前布置准备，课上做好交流，教师引导提炼，以期提高效率．
（6）确保学生充足的独立思考时间，因为教师、其他学生的思维不能取代学生个人的思维，即使听教师分析、与同学交流讨论也要建立在有学生自己的独立思考的基础上，这样才能收获更实、实现真正意义上的能力提升．
3 中考中对“课题学习”的评价
在“中考”中较为注重通过对“重要数学活动经验”和“数学基本思想方法”的考查来了解“课题学习”的教学情况．“归纳与概括”与“抽象与建模”的能力是两个隐形的能力要求，而“实验与操作”的能力和“综合与延伸”的能力则是两个较为显性的要求．结合课标的目标要求，可将中考对“课题学习”的考查归类为“数学建模型”、“数学探究型”两种类型．
3.1 数学建模型
让考生经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程．
常见模型有：代数模型（包括方程、不等式、函数模型），几何模型；数学建模型问题还包括测量型问题与决策性问题．
图2
例1 （南京中考试题）如图2，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．
评析 本题问题背景简洁、新颖、具有生活性．解决问题不需要用过多的知识点和复杂的思维、计算过程，从学生的直接回答就能判断其思维状况，设置成填充题是适当的．解决问题的关键是能否建立适当而熟悉的几何模型来分析解决问题．
模型1：平角模型
过A点画圆的切线，由平角180°，可知在A点安装3台监控角度是65°的监视器即可监控圆所在切线一侧的区域，当然也能监控整个圆形展厅．
模型2：扇形模型
找到圆心，画出圆周角∠A所对应的圆心角，根据圆心角与圆周角的关系可知，1台监视器可监视圆心角为130°的扇形区域，那么整个圆形展厅可分为3个圆心角为120°的扇形区域，每个区域只需1台监视器，故为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器3台．
模型3：圆内接四边形模型
设∠A两边与圆周交点分别为点B、C，在BC上任取一点D，根据圆内接四边形性质定理，∠BDC=180°-65°=115°，则65°<∠BDC<2×65°，所以在D处置少安装2台这样的监视器．故为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器3台．
3.2 数学探究型
让考生体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识．
例2 （盐城中考试题）阅读理解：对于任意正实数a、b，因为(a-b)2≥0，所以a-2ab+b≥0，所以a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．
结论 在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2p，只有当a=b时，a+b有最小值2p．
根据上述内容，回答下列问题：
若m>0，只有当m=时，m+1m有最小值．
思考验证 如图3，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点（与点A、B不重合），过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．试根据图形验证a+b≥2ab，并指出等号成立时的条件．
探索应用 如图4，已知A(-3，0)，B(0，-4)，P为双曲线y=12x（x>0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
图3图4
评析 本题考查的知识覆盖面大，综合了代数中的数与式的计算、不等式、函数，以及几何中的面积计算、三角形、相似、圆等知识．试题结构是：代数推理的阅读理解→代数结论几何验证的思考→在联系反比例函数的坐标系情境下，应用结论探索四边形面积的最小值，考查了学生理解能力、知识迁移能力．基于“数形结合”思想层面下的横向知识综合，即代数与几何两个知识领域间知识的综合，较好的体现了课题学习之目标：体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识．
参考文献
［1］ 中华人民共和国教育部制订．全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）［S］．北京：北京师范大学出版社，2001年7月．
［2］ 张远增．2008年全国中考数学考试评价报告［R］．华东师范大学出版社，2008.2．
题目 如图11的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．
（1）如图12，数学课本长为26cm，宽为18.5cm，厚为1cm．小明用一张1260cm2的矩形纸方法包好了这本书，展开后如图11所示，求折叠进去的宽度；
（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典．你能用一张41cm×26cm的矩形纸，按图11所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？请说明理由．
图11 图12
评析 本题的数学思考对象是一个与学生生活实际结合密切的“包书问题”．命题者的文字表述简短，减轻了学生的阅读负担，有效地保证了学生的数学思考时间与精力；所设置的数据贴合实际，同时很好地控制了解答的计算量．
本题的思考解答过程，要求学生经历“‘问题情境→建立模型→求解→解释与应用’的基本过程”，这是课标对初中学段的课题学习提出的具体目标之一．
本题借助实际生活情境提出的包书纸大小的几何图形问题，重点考查了学生建立代数模型的能力．而且对这一几何问题的两小问，需要建立两种不同的代数模型解决．其中问题1需要建立方程模型；问题2解法多样，须分“字典的长与矩形纸的宽方向一致”、“字典的长与矩形纸的长方向一致”两种情况思考包书材料长宽是否够大，方法1：计算符合包书要求的纸的长、宽，再与所给包书纸大小进行比较，方法2：建立不等式模型，分析所给包书纸包住字典折叠进去的宽度，与包书要求比较．不同的代数模型建立都要依赖于学生通过分析、总结、概括从问题背景中抽象出相应的数量关系，因而，数量关系的分析是解决问题的关键之所在．根据本题的数据设计，还可以用包书纸的面积计算、比较，得出矩形纸不能包好这本字典．当然，所给包书纸面积大小符合要求，只是能包好这本字典的必要条件，但不充分，如果面积大小达不到要求，一定包不住；如果面积大小符合要求，还必须做长与宽的分析，才能得出结论．
由本题提供的良好情境和解题思考，还可拓展联想到：报纸包裹一副卷起来的挂历（圆柱体）、报纸包裹一个小礼盒（长方体），报纸的长与宽与所包物体的长与宽不一致.这样会带来更多的思考与探究，又可以形成一个新的课题学习．
如何在中考总复习中认识、开展“课题学习”的复习教学，中考中如何考查、评价这一部分的教学情况？下面谈谈笔者的想法与思考．
1 对“课题学习”的认识
初中数学学习包括“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域．其中“课题学习”归属于“实践与综合应用”这一领域．“课题学习”在课标中有教学目标要求，在教材中有教学的内容与素材，在教参中有教学课时要求．
课标提出了如下教学要求：
在本学段中，学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解决问题的意识和能力；同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．
在前两个学段的基础上，教学时应引导学生结合生活经验提出课题、积极地思考所面临的课题、清楚地表达自己的观点并能够解决一些问题．
具体目标
(1)经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程．
(2)体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识．
(3)获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识．
(4)通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心．
可见，“课题学习”是一种具有现实性、问题性、实践性、综合性和探索性的学习活动．强调密切联系实际、综合应用知识、以探索为主线的解决问题的活动．
2 对“课题学习”的复习教学思考
2.1 “课题学习”的课题素材选择
课题学习的复习素材选择面广，下列素材（以使用苏科版教材为例）供大家参考．
素材选择1 教材中部分“阅读”、“数学活动”、“读一读”、“课题学习”的内容．
（1） “阅读、读一读”
“读一读、阅读”通常介绍与本节、本章内容有关的知识或思想方法．对渗透在“过程”中的基本思想方法，加以简要介绍，以引导学生学会“数学思考”．有利于实现“获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识”这一课标对课题学习提出的具体目标．
（2）部分“数学活动、课题学习”
“数学活动、课题学习”通常是引导学生应用本章知识和方法解决一些实际问题．为学生提供了做数学的机会，设计突出“动”与“用”两个字，引导学生在活动中思考，更好的感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识；感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验．教材中部分“数学活动、课题学习”密切联系实际，有利于实现使学生经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用” 这一课标对课题学习提出的具体目标．
（3） 另一部分“数学活动” 突出数学知识，有利于实现“使学生体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识” 这一课标对课题学习提出的具体目标．
素材选择2 《数学综合实践活动（苏科版）》中有不少好的课题
《数学综合与实践活动》教材是依据《标准》和《教科书》编写的，是用于指导学生动手操作实践的活动性材料．旨在落实《课标》中“综合与实践”这一领域的课程目标，力求与苏科版初中数学教材融为一个有机的整体，进一步强化教材“做”数学的特点，为学生提供“做”数学的材料，充分体现以“生活•数学”、“活动•思考”为主线的编写理念．在编写内容上，既有生动有趣的数学探究活动，又有丰富内涵的研究性课题学习．
2.2 教学建议
（1）分类回顾，领悟教材编写的整体性、计划性、系统性．
（2）挖掘实质，每个课题学习素材背后都有相应的数学内涵，对数学内涵、实质的挖掘过程是个提炼的过程，也是能力提升的过程．
（3）适度探索，每个课题学习素材之后都留有很大的继续思考、探索的空间，教师适当地设置一些问题，可拓展学生的思维．
（4）关注这些素材中一些能体现探究、可做进一步拓展思考的好的问题素材或思考解决问题的方式，做进一步的研究、开发，如：拼图 公式；关注一些新颖、灵活的问题呈现方式或载体，如：分式游戏．
（5）课前布置准备，课上做好交流，教师引导提炼，以期提高效率．
（6）确保学生充足的独立思考时间，因为教师、其他学生的思维不能取代学生个人的思维，即使听教师分析、与同学交流讨论也要建立在有学生自己的独立思考的基础上，这样才能收获更实、实现真正意义上的能力提升．
3 中考中对“课题学习”的评价
在“中考”中较为注重通过对“重要数学活动经验”和“数学基本思想方法”的考查来了解“课题学习”的教学情况．“归纳与概括”与“抽象与建模”的能力是两个隐形的能力要求，而“实验与操作”的能力和“综合与延伸”的能力则是两个较为显性的要求．结合课标的目标要求，可将中考对“课题学习”的考查归类为“数学建模型”、“数学探究型”两种类型．
3.1 数学建模型
让考生经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程．
常见模型有：代数模型（包括方程、不等式、函数模型），几何模型；数学建模型问题还包括测量型问题与决策性问题．
图2
例1 （南京中考试题）如图2，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．
评析 本题问题背景简洁、新颖、具有生活性．解决问题不需要用过多的知识点和复杂的思维、计算过程，从学生的直接回答就能判断其思维状况，设置成填充题是适当的．解决问题的关键是能否建立适当而熟悉的几何模型来分析解决问题．
模型1：平角模型
过A点画圆的切线，由平角180°，可知在A点安装3台监控角度是65°的监视器即可监控圆所在切线一侧的区域，当然也能监控整个圆形展厅．
模型2：扇形模型
找到圆心，画出圆周角∠A所对应的圆心角，根据圆心角与圆周角的关系可知，1台监视器可监视圆心角为130°的扇形区域，那么整个圆形展厅可分为3个圆心角为120°的扇形区域，每个区域只需1台监视器，故为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器3台．
模型3：圆内接四边形模型
设∠A两边与圆周交点分别为点B、C，在BC上任取一点D，根据圆内接四边形性质定理，∠BDC=180°-65°=115°，则65°<∠BDC<2×65°，所以在D处置少安装2台这样的监视器．故为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器3台．
3.2 数学探究型
让考生体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识．
例2 （盐城中考试题）阅读理解：对于任意正实数a、b，因为(a-b)2≥0，所以a-2ab+b≥0，所以a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．
结论 在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2p，只有当a=b时，a+b有最小值2p．
根据上述内容，回答下列问题：
若m>0，只有当m=时，m+1m有最小值．
思考验证 如图3，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点（与点A、B不重合），过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．试根据图形验证a+b≥2ab，并指出等号成立时的条件．
探索应用 如图4，已知A(-3，0)，B(0，-4)，P为双曲线y=12x（x>0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
图3图4
评析 本题考查的知识覆盖面大，综合了代数中的数与式的计算、不等式、函数，以及几何中的面积计算、三角形、相似、圆等知识．试题结构是：代数推理的阅读理解→代数结论几何验证的思考→在联系反比例函数的坐标系情境下，应用结论探索四边形面积的最小值，考查了学生理解能力、知识迁移能力．基于“数形结合”思想层面下的横向知识综合，即代数与几何两个知识领域间知识的综合，较好的体现了课题学习之目标：体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识．
参考文献
［1］ 中华人民共和国教育部制订．全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）［S］．北京：北京师范大学出版社，2001年7月．
［2］ 张远增．2008年全国中考数学考试评价报告［R］．华东师范大学出版社，2008.2．