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摘 要：介绍了计算由一个方程所确定的一元隐函数的二阶导数的四种方法，旨在对隐函数的导数问题有更深的理解和掌握。
关键词：隐函数；导数；偏导数；链式法则
隐函数的导数问题是高等数学微分学的重要内容。隐函数存在定理1提供了由一个方程所确定的一元隐函数的导数的计算公式，而其二阶导数的计算是一个难点。本文介绍由一个方程所确定的隐函数的二阶导数和二阶偏导数的计算方法，给出相应的求解思路，供初学者参考学习。
假设二元函数[Fx，y]具有二阶连续偏导数，由隐函数存在定理1，方程[Fx，y=0]唯一确定一个具有连续导数的一元函数[y=fx]，且有[dydx=-FxFy]。为方便起见，记[z=gx，y=-FxFy]，[m=Fxx，fx]，[n=Fyx，fx]，则[z]为[x]和[y]的二元函數，[m]和[n]均为[x]的一元函数。
方法一：多元复合函数求导的链式法则
由二阶导数定义，[d2ydx2]等于全导数[dzdx]，其中[z=gx，fx]，如图1所示，利用链式法则，
方法二：導数的运算规律和链式法则
由二阶导数定义和导数运算规律，
[d2ydx2=ddx-mn=-dmdxn-dndxmn2]，
其中[dmdx]和[dndx]为全导数，如图2所示。由链式法则，
[dmdx=Fxx+Fxydydx=Fxx-FxFxyFy]，[dndx=Fyx+Fyydydx=Fyx-FxFyyFy]。
代入化简可得，[d2ydx2=-F2yFxx-2FxFyFxy+F2xFyyFy3]。
方法三：方程两边同时对自变量求导两次
恒等式[Fx，yx=0]两边对[x]求导得，[m+ndydx=0]，其两边对[x]再求导得，[dmdx+dndxdydx+nd2ydx2=0]，其中[dmdx]和[dndx]为全导数，如图2所示。将[dydx]，[dmdx]和[dndx]代入求解可得，
[d2ydx2=-dmdx+dndxdydxn=-Fxx+2Fxy-FxFy+Fyy-FxFy2Fy=-F2yFxx-2FxFyFxy+F2xFyyFy3]。
方法四：微分法
等式[Fx，y=0]两边取微分得，[Fxdx+Fydy=0]，其两边再取微分得，[dFxdx+Fxddx+dFydy+Fyddy=0]，
即有[Fxxdx+Fxydydx+Fxd2x+Fyxdx+Fyydydy+Fyd2y=0]，变形可得[d2ydx2=-Fxx+Fxydydx+Fxd2ydx2+Fyx+FyydydxdydxFy]，将[dydx]代入求解可得，[d2ydx2=d2ydx2=-F2yFxx-2FxFyFxy+F2xFyyFy3]。
参考文献：
[1]同济大学数学系编.高等数学7版（下册）[M].北京：高等教育出版社，2014：86-87.
作者简介：
张辉（1982.07—），男，籍贯：河南获嘉；学历：硕士；职称：讲师；研究方向：大学数学教学和差分方程概周期性。
基金项目：陕西省高等教育教学改革研究项目重点课题（编号：15BZ74）、陕西省教育厅专项科研计划项目（编号：16JK1696）资助。
关键词：隐函数；导数；偏导数；链式法则
隐函数的导数问题是高等数学微分学的重要内容。隐函数存在定理1提供了由一个方程所确定的一元隐函数的导数的计算公式，而其二阶导数的计算是一个难点。本文介绍由一个方程所确定的隐函数的二阶导数和二阶偏导数的计算方法，给出相应的求解思路，供初学者参考学习。
假设二元函数[Fx，y]具有二阶连续偏导数，由隐函数存在定理1，方程[Fx，y=0]唯一确定一个具有连续导数的一元函数[y=fx]，且有[dydx=-FxFy]。为方便起见，记[z=gx，y=-FxFy]，[m=Fxx，fx]，[n=Fyx，fx]，则[z]为[x]和[y]的二元函數，[m]和[n]均为[x]的一元函数。
方法一：多元复合函数求导的链式法则
由二阶导数定义，[d2ydx2]等于全导数[dzdx]，其中[z=gx，fx]，如图1所示，利用链式法则，
方法二：導数的运算规律和链式法则
由二阶导数定义和导数运算规律，
[d2ydx2=ddx-mn=-dmdxn-dndxmn2]，
其中[dmdx]和[dndx]为全导数，如图2所示。由链式法则，
[dmdx=Fxx+Fxydydx=Fxx-FxFxyFy]，[dndx=Fyx+Fyydydx=Fyx-FxFyyFy]。
代入化简可得，[d2ydx2=-F2yFxx-2FxFyFxy+F2xFyyFy3]。
方法三：方程两边同时对自变量求导两次
恒等式[Fx，yx=0]两边对[x]求导得，[m+ndydx=0]，其两边对[x]再求导得，[dmdx+dndxdydx+nd2ydx2=0]，其中[dmdx]和[dndx]为全导数，如图2所示。将[dydx]，[dmdx]和[dndx]代入求解可得，
[d2ydx2=-dmdx+dndxdydxn=-Fxx+2Fxy-FxFy+Fyy-FxFy2Fy=-F2yFxx-2FxFyFxy+F2xFyyFy3]。
方法四：微分法
等式[Fx，y=0]两边取微分得，[Fxdx+Fydy=0]，其两边再取微分得，[dFxdx+Fxddx+dFydy+Fyddy=0]，
即有[Fxxdx+Fxydydx+Fxd2x+Fyxdx+Fyydydy+Fyd2y=0]，变形可得[d2ydx2=-Fxx+Fxydydx+Fxd2ydx2+Fyx+FyydydxdydxFy]，将[dydx]代入求解可得，[d2ydx2=d2ydx2=-F2yFxx-2FxFyFxy+F2xFyyFy3]。
参考文献：
[1]同济大学数学系编.高等数学7版（下册）[M].北京：高等教育出版社，2014：86-87.
作者简介：
张辉（1982.07—），男，籍贯：河南获嘉；学历：硕士；职称：讲师；研究方向：大学数学教学和差分方程概周期性。
基金项目：陕西省高等教育教学改革研究项目重点课题（编号：15BZ74）、陕西省教育厅专项科研计划项目（编号：16JK1696）资助。