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摘 要：概率统计课程的引入问题确实是一个需要重视的大问题，关于这方面的探讨并不多，笔者在本文中举出了很多例子，这些例子的切入角度往往是出人意料的，希望能起到抛砖引玉的效果，进而引起广大教学同行们的共鸣。
关键词：概率统计；教学；引入；细节
概率统计是高等院校一门重要的公共数学必修课，对于培养学生抽象思维、逻辑推理以及建立数学模型解决实际问题的能力具有重要意义。然而这门课的引入在教学细节上不易处理，存在着学生理解困难的现状，笔者通过一些实例分析，分享一些教学经验，希望能起到抛砖引玉的效果，引起广大同行们的共鸣。
我们都知道，好的开始就是成功的一半，那么这门课该如何引入呢？
常见的教材都是从两类现象的分析来引入这门课的，即确定性现象和随机性现象，所谓确定性现象就是在一定条件下必然发生或必然不发生的现象，呈现出来的特点是多因一果，而随机现象就是在确定的条件下会有多个可能的结果发生的现象，呈现出来的特点是多因多果，而这门课正是以随机现象为研究对象，随后是随机试验概念的引入，准确说来，这门课研究的是可以用随机试验描述的随机现象。这样的引入方式很不错，注重从实际需要出发，换句话说，是人们实践生产的需要促成了这门课的诞生，所以，作为任课教师，一定要在这一部分举出足够多的精彩的实例来吸引学生，其实也不需要刻意地吸引学生，好的例子本身就会唱歌，这方面有很多精彩的实例。
以“蝴蝶效应”为例，这个例子想表达的意思是当一个系统经过了足够长的时间经历，那么最初一个小小的条件变动或干扰，最后它所产生的结果可能被放大一个巨大的倍数，这一点甚至可以结合一个催眠学里面的一个案例：一个患有“恐婚症”的公司白领兰兰每天活在焦虑不安失眠中，经过催眠师催眠后，回忆起了四岁时的一个经历，母亲那天把她一个人留在家里出去买菜，买菜回来后进门急着做饭没有拥抱她，就这样一个在外人或常人觉得不值得一提的小事在她心中埋下了难以磨灭的创伤，竟然在二十多年后因为安全感的缺失引发“恐婚症”！正如弗洛伊德学派所相信的，一个人的童年的经历会对这个人的一生起到决定性的影响，童年的创伤甚至会对一个人的人格产生分裂性的影响，这一点正和“蝴蝶效应”不谋而合。
以生男生女为例，在自然状况下，一对夫妇生男生女的概率都是二分之一，如果一对夫妇生了两个孩子，则至少有一个是男孩的概率是四分之三，同样的算法很容易算出，如果一对夫妇生了三个孩子，则至少一个是男孩的概率是八分之七，这样一来数据上就会给人一种感觉，生的越多得到男孩的概率就越大，这个时候一定要重点强调，这种感觉只不过是一种错觉而已，因为概率统计这门课得到的所有的结果只有统计学的意义，对于某个个体而言并没有什么意义，从统计学的数据角度来看，生三个孩子至少一个是男孩的概率的确是八分之七，但是对于某一对特定的夫妇而言，这个答案八分之七毫无意义，因为他们永远见不到八分之七，如果他们一胎是女儿，再生第二胎时是男孩的概率还是二分之一，这件事貌似是这门课的一个悖论，这充分说明这门课的计算结果具有的意义主要是统计学上的宏观意义。
类似的例子比如降水概率，天气预报说明天的降水概率是百分之六十，这个数据是什么意思？明天空中的云彩里难道有百分之六十的雨要下？显然不能这样理解，降水概率是百分之六十的意思是如果这样预报一百次，那么大概有六十次左右会下雨，这样一来有助于人们从宏观上安排生产活动，同样的，比如医疗系统的数据显示某种疾病患病率为千分之五，这个数据怎么理解？随机地挑选一个人，难道我们可以说这个人身上有千分之五的这种疾病？显然不能这样理解，对于一个特定个体而言，他或者没有这种疾病，或者有这种疾病，绝不是身上有千分之五的这种病。患病率为千分之五这句话正确的理解方式是在一千个人当中，患这种疾病的人数大概是五个人，所以，这些例子再次说明，这门课的数据显示的结果仅仅具有统计学的价值，对于个体而言并没有什么参考意义。
我们总是希望一门课可以跟前沿结合起来，那么这门课有诸如此类的相关的例子吗？答案是肯定的，谈到随机现象，一些物理学中的例子必须给学生举出来，比如分子运动论里面的“布朗运动”，把花粉撒入水中，观察花粉分子的运动状况，结果让人惊诧，在同一时刻，各个花粉分子的运动方向五花八门，而且运动速度也互不相同，呈现出了随机现象，这就是一个很好的例子。关于物理学中的随机现象，还可以以“电子云”为例，从原子的模型结构讲起，最开始人们以为原子是实心的，后来进步为原子的“行星系模型”，及内层原子核由质子和中子构成，它们占据了原子的几乎百分之百的质量，外层是电子，那么电子是如何运转的呢？开始人们认为电子是绕着原子做高速旋转，但是这种想法很快被人们否定了，如果电子绕着原子核做高速旋转，那么一定会产生变化的电场，变化的电场又会产生磁场，这样一来原子就会向外释放电磁波从而产生原子坍缩或者不稳定，但事实上原子很稳定，近代的量子力学显示，电子只是随机地出现在外层某些區域，人们把电子经常出现的区域叫做“电子云”。
当然还有其他的物理学前沿例子，比如“宇宙大爆炸”理论，虽然超出了随机现象的范畴（因为无法用随机试验来描述），但是可以作为一种延伸的随机现象，从而让学生明白随机现象无处不在，甚至宇宙的产生就是一个随机事件，这个例子无疑会引起学生的深思。
从两类现象出发，还可以走向形而上学的哲学，世界到底是可知的还是不可知的？人生到底是宿命的还是偶然如浮萍的？大自然究竟是可以预知呢还是混沌一片？这样的问题显然可以拔高这门课的理论高度。不要害怕很多问题没有答案，思考的过程本身就是对思维的一种锻炼。
总之，这门课的引入问题确实是一个需要重视的大问题，关于这方面的探讨并不多，笔者希望通过本文引起广大同行们的重视，从而促使大家在第一节课的时候就能用最精彩的例子把学生吸引进来，相信有了一个好的开端，同学们学习这门课就不会再有心理的障碍，从而使这门课的教学质量更上一层楼。
作者简介：
刘宏超，齐祥来，河南省郑州市，郑州大学数学与统计学院。
关键词：概率统计；教学；引入；细节
概率统计是高等院校一门重要的公共数学必修课，对于培养学生抽象思维、逻辑推理以及建立数学模型解决实际问题的能力具有重要意义。然而这门课的引入在教学细节上不易处理，存在着学生理解困难的现状，笔者通过一些实例分析，分享一些教学经验，希望能起到抛砖引玉的效果，引起广大同行们的共鸣。
我们都知道，好的开始就是成功的一半，那么这门课该如何引入呢？
常见的教材都是从两类现象的分析来引入这门课的，即确定性现象和随机性现象，所谓确定性现象就是在一定条件下必然发生或必然不发生的现象，呈现出来的特点是多因一果，而随机现象就是在确定的条件下会有多个可能的结果发生的现象，呈现出来的特点是多因多果，而这门课正是以随机现象为研究对象，随后是随机试验概念的引入，准确说来，这门课研究的是可以用随机试验描述的随机现象。这样的引入方式很不错，注重从实际需要出发，换句话说，是人们实践生产的需要促成了这门课的诞生，所以，作为任课教师，一定要在这一部分举出足够多的精彩的实例来吸引学生，其实也不需要刻意地吸引学生，好的例子本身就会唱歌，这方面有很多精彩的实例。
以“蝴蝶效应”为例，这个例子想表达的意思是当一个系统经过了足够长的时间经历，那么最初一个小小的条件变动或干扰，最后它所产生的结果可能被放大一个巨大的倍数，这一点甚至可以结合一个催眠学里面的一个案例：一个患有“恐婚症”的公司白领兰兰每天活在焦虑不安失眠中，经过催眠师催眠后，回忆起了四岁时的一个经历，母亲那天把她一个人留在家里出去买菜，买菜回来后进门急着做饭没有拥抱她，就这样一个在外人或常人觉得不值得一提的小事在她心中埋下了难以磨灭的创伤，竟然在二十多年后因为安全感的缺失引发“恐婚症”！正如弗洛伊德学派所相信的，一个人的童年的经历会对这个人的一生起到决定性的影响，童年的创伤甚至会对一个人的人格产生分裂性的影响，这一点正和“蝴蝶效应”不谋而合。
以生男生女为例，在自然状况下，一对夫妇生男生女的概率都是二分之一，如果一对夫妇生了两个孩子，则至少有一个是男孩的概率是四分之三，同样的算法很容易算出，如果一对夫妇生了三个孩子，则至少一个是男孩的概率是八分之七，这样一来数据上就会给人一种感觉，生的越多得到男孩的概率就越大，这个时候一定要重点强调，这种感觉只不过是一种错觉而已，因为概率统计这门课得到的所有的结果只有统计学的意义，对于某个个体而言并没有什么意义，从统计学的数据角度来看，生三个孩子至少一个是男孩的概率的确是八分之七，但是对于某一对特定的夫妇而言，这个答案八分之七毫无意义，因为他们永远见不到八分之七，如果他们一胎是女儿，再生第二胎时是男孩的概率还是二分之一，这件事貌似是这门课的一个悖论，这充分说明这门课的计算结果具有的意义主要是统计学上的宏观意义。
类似的例子比如降水概率，天气预报说明天的降水概率是百分之六十，这个数据是什么意思？明天空中的云彩里难道有百分之六十的雨要下？显然不能这样理解，降水概率是百分之六十的意思是如果这样预报一百次，那么大概有六十次左右会下雨，这样一来有助于人们从宏观上安排生产活动，同样的，比如医疗系统的数据显示某种疾病患病率为千分之五，这个数据怎么理解？随机地挑选一个人，难道我们可以说这个人身上有千分之五的这种疾病？显然不能这样理解，对于一个特定个体而言，他或者没有这种疾病，或者有这种疾病，绝不是身上有千分之五的这种病。患病率为千分之五这句话正确的理解方式是在一千个人当中，患这种疾病的人数大概是五个人，所以，这些例子再次说明，这门课的数据显示的结果仅仅具有统计学的价值，对于个体而言并没有什么参考意义。
我们总是希望一门课可以跟前沿结合起来，那么这门课有诸如此类的相关的例子吗？答案是肯定的，谈到随机现象，一些物理学中的例子必须给学生举出来，比如分子运动论里面的“布朗运动”，把花粉撒入水中，观察花粉分子的运动状况，结果让人惊诧，在同一时刻，各个花粉分子的运动方向五花八门，而且运动速度也互不相同，呈现出了随机现象，这就是一个很好的例子。关于物理学中的随机现象，还可以以“电子云”为例，从原子的模型结构讲起，最开始人们以为原子是实心的，后来进步为原子的“行星系模型”，及内层原子核由质子和中子构成，它们占据了原子的几乎百分之百的质量，外层是电子，那么电子是如何运转的呢？开始人们认为电子是绕着原子做高速旋转，但是这种想法很快被人们否定了，如果电子绕着原子核做高速旋转，那么一定会产生变化的电场，变化的电场又会产生磁场，这样一来原子就会向外释放电磁波从而产生原子坍缩或者不稳定，但事实上原子很稳定，近代的量子力学显示，电子只是随机地出现在外层某些區域，人们把电子经常出现的区域叫做“电子云”。
当然还有其他的物理学前沿例子，比如“宇宙大爆炸”理论，虽然超出了随机现象的范畴（因为无法用随机试验来描述），但是可以作为一种延伸的随机现象，从而让学生明白随机现象无处不在，甚至宇宙的产生就是一个随机事件，这个例子无疑会引起学生的深思。
从两类现象出发，还可以走向形而上学的哲学，世界到底是可知的还是不可知的？人生到底是宿命的还是偶然如浮萍的？大自然究竟是可以预知呢还是混沌一片？这样的问题显然可以拔高这门课的理论高度。不要害怕很多问题没有答案，思考的过程本身就是对思维的一种锻炼。
总之，这门课的引入问题确实是一个需要重视的大问题，关于这方面的探讨并不多，笔者希望通过本文引起广大同行们的重视，从而促使大家在第一节课的时候就能用最精彩的例子把学生吸引进来，相信有了一个好的开端，同学们学习这门课就不会再有心理的障碍，从而使这门课的教学质量更上一层楼。
作者简介：
刘宏超，齐祥来，河南省郑州市，郑州大学数学与统计学院。