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摘 要：小学数学中，许多内容和问题既有联系、又有区别，往往一字、一句之差，意义和解法就不同。教学中，充分运用比较的方法，有助于学生感受新知的优越性，防止知识混淆并完善知识结构，提升对知识的理解，实现对方法的优化。
关键词：比较法 数学教学 优越性 知识结构 方法优化
著名教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”小学数学中，许多内容和问题既有联系、又有区别，往往一字、一句之差，意义和解法就不同。教学中，充分運用比较的方法，有助于学生碰撞出智慧的火花，体验到学习的乐趣，有利于学生接受新的知识，辨别相关知识，建立认知结构，优化解题方法，从而帮助学生扎实地掌握数学知识，充分地发展数学思维。下面就比较法在小学数学教学中的运用，谈一点笔者的思考与实践。
一、通过比较，感受新知的优越性
学习新知时，很多学生往往体会不到学习的必要性，只能“为了学习而学习”。而通过新知和旧知的比较，往往能让学生感受新知的优越性（如简便、统一等），从而激发学生学习的积极性。
【案例1】 苏教版小学数学二年级上册《认识乘法》的教学
师 （出示电脑图，一共4组，每组2台）一共有多少台电脑？你是怎么知道的？
生 2+2+2+2=8。
生 2×4=8或4×2=8。
师 （出示电脑图，一共8组，每组2台）一共有多少台？你是怎样算的？
生 2+2+2+2+2+2+2+2=16。
生 2×8=16或8×2=16。
师 （将电脑图增加到100组，每组2台）现在有多少台？请大家先列出加法算式。
生 （异口同声）2加2加2加2加2加2加2加2加2加2……
（渐渐地，学生有的叫起来，不说了；有的憋住气继续说，脸蛋涨得通红，终于也停了下来。）
师 为什么停下来了啊？（与学生相视一笑）100个2这样加起来算感觉怎么样？
生 用加法算要写很长时间；要写很长的算式，黑板不够写。
生 用加法太麻烦了！
生 可以用我们刚学的乘法，写成100×2或2×100，快多了！
学生初次认识乘法时，很难体验到乘法计算的简便性。这里，教师创设对比情境，从“4个2”到“8个2”，再到“100个2”，让学生实际列式，在强烈的反差中感知求几个几的和用乘法写比较简便，初步感受到学习乘法的必要性。“大音希声，大象无形。”在这强烈的对比中，在这静静的等待中，知识的获得、技能的习得、能力的提升以及情感的体验都悄悄达成。
此外，教学“用字母表示数”时，也可用比较的方法让学生理解用含有字母的式子表示数量关系的简便性。
二、通过比较，防止知识混淆，完善知识结构
学习新知时，很多学生容易将其与相关、相似的知识发生混淆，或无法认清它们之间的结构关系。而从定义、表述与典型实例等入手，引导学生进行比较、辨析，理清知识之间的联系与差异，往往能防止知识混淆，完善知识结构，从而帮助学生牢固掌握知识。
【案例2】 苏教版小学数学五年级上册《认识公顷》的教学
师 同学们回忆一下：我们已经学过了哪些面积单位？
生 平方厘米、平方分米、平方米。
师 （出示如图1所示的练习）你能选择合适的面积单位填在括号里吗？
1.一张身份证的面积约是46（ ）。
2.一间教室的地面面积约为50（ ）。
3.古方小学的占地面积约为2（ ）。
（前两题学生轻松解决，第三题学生遇到困难。）
师 看来，这里需要一个更大的面积单位。
生 （脱口而出）平方千米。
师 不少同学根据经验推想出了“平方千米”这个面积单位，真了不起！那你能继续推想一下1平方千米是边长为多少的正方形的面积吗？
生 1千米。
（教师出示学校平面图，引导学生观察，发现学校四周每边的长度在100米左右，比1千米短多了。）
师 那你认为学校的面积有1平方千米吗？
生 差远了。
师 看来我们要填的这个面积单位应该在平方米和平方千米之间。它是什么呢？它就是公顷。你们认为公顷这个面积单位是边长为多少的正方形的面积？
生 是100米吧。
学习公顷这一面积单位时，学生不是一张白纸，而有很多经验，他们学过了长度单位毫米、厘米、分米、米、千米，认识了面积单位平方厘米、平方分米、平方米。面对“填一个更大的面积单位”的需求，学生自然地会想到将长度单位的学习经验类推到面积单位。这是学生从自身的经验背景出发推出的合乎逻辑的假设，是在知识主动建构的过程中产生的“经验直觉”。面对这种直觉，不少教师都选择在尴尬中回避（或轻描淡写地否定），然后自顾自地展开后续的教学。殊不知，这种直觉正是学生防止知识混淆、完善知识结构的生长点。这里，教师便巧妙地利用了学生的“经验直觉”，引导学生进行概念的类比，让学生在“推想—否定—再推想”的探索过程中，找到了知识产生的根，了解了知识生长的序，逐步辨别了与公顷相关的知识，建立了与公顷相关的认知结构。
三、通过比较，提升对知识的理解
数学的概念、规律等在教材中总是不断深入、交替出现的。在教学过程中，教师要引导学生运用比较的方法促进思维的深化，提升对知识的理解，突破学习的难点。
【案例3】 苏教版小学数学三年级下册《认识面积》的教学
师 通过刚才的观察和触摸，我们比较出了许多物体和图形的面积的大小。我们把这种方法叫作“观察法”。（出示黄、绿两张大小差不多的长方形纸片）下面请你们观察一下老师手中的这两张长方形纸片，说说哪一张纸的面积大，哪一张纸的面积小。 生 黄颜色的长方形面积大。
生 绿颜色的长方形面积大。
生 两个一样大。
师 看来直接观察看不出来，那么用什么办法才能比较出它们的大小呢？
生 将两张纸重叠在一起比较。
（教师让这名学生上来演示。）
师 你真聪明！把它们叠在一块儿比，就比出来了。我们把这种方法叫作“重叠法”。（出示两张面积差不多的长方形和正方形纸片）现在我们再来比较一下这两张纸片的大小。
生 長方形面积大。
生 正方形面积大。
生 两个一样大。
师 观察不出来，试试重叠法。
（指名学生演示。）
师 重叠也比较不出来，那该怎么办呢？你有什么好办法比较出它们的大小吗？下面我们分小组进行。老师为每个小组都准备了一个信封，里面装有这样的两张纸和一些工具。请你们利用老师提供的工具，想办法比较出它们的大小——不用工具能比出来，也可以。
（学生分小组操作。）
师 哪一小组先来汇报你们的方法？
生 （第一组）我们将小圆片摆在两个图形上，正方形用了9个小圆片，长方形用了10个小圆片，所以我们认为长方形的面积大。
师 很好！哪些组的方法和他们是一样的？
生 （第二组）我们也是用摆小圆片的方法，但是跟他们不一样，我们先把两张纸重叠，然后在多余部分摆小圆片，正方形多余部分摆了3个，长方形多余部分摆了4个，所以我们也认为长方形的面积大。
师 真能干！摆圆片也摆出了不同的方法。下面我们再来听听其他组的意见。
生 （第三组）我们组是先将这两张纸重叠，再将多余的部分剪下来，然后把剪下来的部分重叠，再剪下来比，最后也是比较出长方形的面积大。
师 真棒！我们把这种方法叫作“剪拼法”。
教学“比较两个图形的面积大小”这一环节时，教师结合学生的认知规律，不断地创设认知冲突，促使学生积极地进行数学思考，在比较中层层递进地掌握观察比较、重叠比较、数圆片比较、剪拼比较等方法。同时，以小组为单位进行合作探索，让学生在探索的过程中，体验数学问题的挑战性和趣味性，体验比较策略的多样性，从而不仅深化了对面积概念的理解，而且发展了空间观念，为灵活地选择方法创造了良好的条件。
四、通过比较，实现对方法的优化
数学解题方法往往具有多样性，每一种解题方法都是学生思维的一种体现。运用比较的方法引导学生优化解题的方法，能使学生从多方面、多角度思考问题，并从中找出解决问题的最佳途径，提升学生思维的灵活性和创造性。
【案例4】 北师大版小学数学第四册《加与减（二）》的教学
师 （出示表1、表2）我们学校一、二年级的小朋友都积极参加了捐书活动，他们捐书的情况分别如表1、表2所示。大家仔细看一看，哪个年级捐的书多？
（学生独立思考。）
师 你是怎么比较的？与同桌小声交流一下。
（学生同桌互相交流。）
生 我是先拿1班来比，一年级比二年级的少9本，而2班是一年级比二年级的少2本，3班是一年级比二年级的多3本，所以二年级捐的书多。
师 噢，他是用一一对应的方法来比较的。
生 我是用估算的方法比较的：109大约是110，102大约是100，98大约是100，合起来大约是310；118大约是120，104大约是100，95大约是100，合起来大约是320。
师 估算的方法很方便，不过有时候也容易产生偏差。比如，假设这里二年级2班捐的书是95本呢？
（学生发现估算的偏差。）
生 我是用精确计算的方法比较的：列竖式……
师 （课件出示表格“合计”一栏）精确计算就不会产生偏差了。同学们也动手算一算、比一比吧。
（学生独立计算，教师巡视。）
师 你是怎么算出三个班一共捐多少本的？
生 我先把102和 98加起来，因为这两个数正好可以凑成整百数200，再和109相加就容易算了。
师 他学会了观察每个数的特点，选择了用凑整的方法来计算。（稍停）这么多种方法中，你最欣赏哪种算法？
生 我欣赏一一对应比较的方法，这样可以算得又准又快。
生 我欣赏先把102和98加起来的方法，因为凑整可以使计算更快。
生 我也喜欢这种凑整的方法。
计算教学尤其要体现出算法的多样化。这里，在解决“哪个年级捐的书多”这个问题时，学生就在教师的引导下得出了多种算法。于是，教师让学生说出最欣赏的算法，从而引导学生对众多算法进行比较。这样就使算法优化的过程成为学生自己体验的过程。从学生的回答中可以看出，一一对应比较的方法和凑整的方法是思维水平较高的方法。可见，学生在比较评价的过程中得到启发，在相互交流后又有进一步的感悟，从而不仅仅掌握了一道计算题的计算方法，更重要的是感悟到解题时应根据题目的特点优化解决的方法。
参考文献：
[1] 黄浪波.小学数学名师特色课堂研习[M].天津：天津教育出版社，2007.
[2] 储建芳.“操作”中感知，“冲突”中升华[J].小学数学教学设计，2009（5）.
[3] 朱红伟.根植，唤醒，提升[J].小学数学教学设计，2011（5）.
[4] 荀步章.预习后的课堂实践与思考[J].小学数学教学设计，2011（6）.
关键词：比较法 数学教学 优越性 知识结构 方法优化
著名教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”小学数学中，许多内容和问题既有联系、又有区别，往往一字、一句之差，意义和解法就不同。教学中，充分運用比较的方法，有助于学生碰撞出智慧的火花，体验到学习的乐趣，有利于学生接受新的知识，辨别相关知识，建立认知结构，优化解题方法，从而帮助学生扎实地掌握数学知识，充分地发展数学思维。下面就比较法在小学数学教学中的运用，谈一点笔者的思考与实践。
一、通过比较，感受新知的优越性
学习新知时，很多学生往往体会不到学习的必要性，只能“为了学习而学习”。而通过新知和旧知的比较，往往能让学生感受新知的优越性（如简便、统一等），从而激发学生学习的积极性。
【案例1】 苏教版小学数学二年级上册《认识乘法》的教学
师 （出示电脑图，一共4组，每组2台）一共有多少台电脑？你是怎么知道的？
生 2+2+2+2=8。
生 2×4=8或4×2=8。
师 （出示电脑图，一共8组，每组2台）一共有多少台？你是怎样算的？
生 2+2+2+2+2+2+2+2=16。
生 2×8=16或8×2=16。
师 （将电脑图增加到100组，每组2台）现在有多少台？请大家先列出加法算式。
生 （异口同声）2加2加2加2加2加2加2加2加2加2……
（渐渐地，学生有的叫起来，不说了；有的憋住气继续说，脸蛋涨得通红，终于也停了下来。）
师 为什么停下来了啊？（与学生相视一笑）100个2这样加起来算感觉怎么样？
生 用加法算要写很长时间；要写很长的算式，黑板不够写。
生 用加法太麻烦了！
生 可以用我们刚学的乘法，写成100×2或2×100，快多了！
学生初次认识乘法时，很难体验到乘法计算的简便性。这里，教师创设对比情境，从“4个2”到“8个2”，再到“100个2”，让学生实际列式，在强烈的反差中感知求几个几的和用乘法写比较简便，初步感受到学习乘法的必要性。“大音希声，大象无形。”在这强烈的对比中，在这静静的等待中，知识的获得、技能的习得、能力的提升以及情感的体验都悄悄达成。
此外，教学“用字母表示数”时，也可用比较的方法让学生理解用含有字母的式子表示数量关系的简便性。
二、通过比较，防止知识混淆，完善知识结构
学习新知时，很多学生容易将其与相关、相似的知识发生混淆，或无法认清它们之间的结构关系。而从定义、表述与典型实例等入手，引导学生进行比较、辨析，理清知识之间的联系与差异，往往能防止知识混淆，完善知识结构，从而帮助学生牢固掌握知识。
【案例2】 苏教版小学数学五年级上册《认识公顷》的教学
师 同学们回忆一下：我们已经学过了哪些面积单位？
生 平方厘米、平方分米、平方米。
师 （出示如图1所示的练习）你能选择合适的面积单位填在括号里吗？
1.一张身份证的面积约是46（ ）。
2.一间教室的地面面积约为50（ ）。
3.古方小学的占地面积约为2（ ）。
（前两题学生轻松解决，第三题学生遇到困难。）
师 看来，这里需要一个更大的面积单位。
生 （脱口而出）平方千米。
师 不少同学根据经验推想出了“平方千米”这个面积单位，真了不起！那你能继续推想一下1平方千米是边长为多少的正方形的面积吗？
生 1千米。
（教师出示学校平面图，引导学生观察，发现学校四周每边的长度在100米左右，比1千米短多了。）
师 那你认为学校的面积有1平方千米吗？
生 差远了。
师 看来我们要填的这个面积单位应该在平方米和平方千米之间。它是什么呢？它就是公顷。你们认为公顷这个面积单位是边长为多少的正方形的面积？
生 是100米吧。
学习公顷这一面积单位时，学生不是一张白纸，而有很多经验，他们学过了长度单位毫米、厘米、分米、米、千米，认识了面积单位平方厘米、平方分米、平方米。面对“填一个更大的面积单位”的需求，学生自然地会想到将长度单位的学习经验类推到面积单位。这是学生从自身的经验背景出发推出的合乎逻辑的假设，是在知识主动建构的过程中产生的“经验直觉”。面对这种直觉，不少教师都选择在尴尬中回避（或轻描淡写地否定），然后自顾自地展开后续的教学。殊不知，这种直觉正是学生防止知识混淆、完善知识结构的生长点。这里，教师便巧妙地利用了学生的“经验直觉”，引导学生进行概念的类比，让学生在“推想—否定—再推想”的探索过程中，找到了知识产生的根，了解了知识生长的序，逐步辨别了与公顷相关的知识，建立了与公顷相关的认知结构。
三、通过比较，提升对知识的理解
数学的概念、规律等在教材中总是不断深入、交替出现的。在教学过程中，教师要引导学生运用比较的方法促进思维的深化，提升对知识的理解，突破学习的难点。
【案例3】 苏教版小学数学三年级下册《认识面积》的教学
师 通过刚才的观察和触摸，我们比较出了许多物体和图形的面积的大小。我们把这种方法叫作“观察法”。（出示黄、绿两张大小差不多的长方形纸片）下面请你们观察一下老师手中的这两张长方形纸片，说说哪一张纸的面积大，哪一张纸的面积小。 生 黄颜色的长方形面积大。
生 绿颜色的长方形面积大。
生 两个一样大。
师 看来直接观察看不出来，那么用什么办法才能比较出它们的大小呢？
生 将两张纸重叠在一起比较。
（教师让这名学生上来演示。）
师 你真聪明！把它们叠在一块儿比，就比出来了。我们把这种方法叫作“重叠法”。（出示两张面积差不多的长方形和正方形纸片）现在我们再来比较一下这两张纸片的大小。
生 長方形面积大。
生 正方形面积大。
生 两个一样大。
师 观察不出来，试试重叠法。
（指名学生演示。）
师 重叠也比较不出来，那该怎么办呢？你有什么好办法比较出它们的大小吗？下面我们分小组进行。老师为每个小组都准备了一个信封，里面装有这样的两张纸和一些工具。请你们利用老师提供的工具，想办法比较出它们的大小——不用工具能比出来，也可以。
（学生分小组操作。）
师 哪一小组先来汇报你们的方法？
生 （第一组）我们将小圆片摆在两个图形上，正方形用了9个小圆片，长方形用了10个小圆片，所以我们认为长方形的面积大。
师 很好！哪些组的方法和他们是一样的？
生 （第二组）我们也是用摆小圆片的方法，但是跟他们不一样，我们先把两张纸重叠，然后在多余部分摆小圆片，正方形多余部分摆了3个，长方形多余部分摆了4个，所以我们也认为长方形的面积大。
师 真能干！摆圆片也摆出了不同的方法。下面我们再来听听其他组的意见。
生 （第三组）我们组是先将这两张纸重叠，再将多余的部分剪下来，然后把剪下来的部分重叠，再剪下来比，最后也是比较出长方形的面积大。
师 真棒！我们把这种方法叫作“剪拼法”。
教学“比较两个图形的面积大小”这一环节时，教师结合学生的认知规律，不断地创设认知冲突，促使学生积极地进行数学思考，在比较中层层递进地掌握观察比较、重叠比较、数圆片比较、剪拼比较等方法。同时，以小组为单位进行合作探索，让学生在探索的过程中，体验数学问题的挑战性和趣味性，体验比较策略的多样性，从而不仅深化了对面积概念的理解，而且发展了空间观念，为灵活地选择方法创造了良好的条件。
四、通过比较，实现对方法的优化
数学解题方法往往具有多样性，每一种解题方法都是学生思维的一种体现。运用比较的方法引导学生优化解题的方法，能使学生从多方面、多角度思考问题，并从中找出解决问题的最佳途径，提升学生思维的灵活性和创造性。
【案例4】 北师大版小学数学第四册《加与减（二）》的教学
师 （出示表1、表2）我们学校一、二年级的小朋友都积极参加了捐书活动，他们捐书的情况分别如表1、表2所示。大家仔细看一看，哪个年级捐的书多？
（学生独立思考。）
师 你是怎么比较的？与同桌小声交流一下。
（学生同桌互相交流。）
生 我是先拿1班来比，一年级比二年级的少9本，而2班是一年级比二年级的少2本，3班是一年级比二年级的多3本，所以二年级捐的书多。
师 噢，他是用一一对应的方法来比较的。
生 我是用估算的方法比较的：109大约是110，102大约是100，98大约是100，合起来大约是310；118大约是120，104大约是100，95大约是100，合起来大约是320。
师 估算的方法很方便，不过有时候也容易产生偏差。比如，假设这里二年级2班捐的书是95本呢？
（学生发现估算的偏差。）
生 我是用精确计算的方法比较的：列竖式……
师 （课件出示表格“合计”一栏）精确计算就不会产生偏差了。同学们也动手算一算、比一比吧。
（学生独立计算，教师巡视。）
师 你是怎么算出三个班一共捐多少本的？
生 我先把102和 98加起来，因为这两个数正好可以凑成整百数200，再和109相加就容易算了。
师 他学会了观察每个数的特点，选择了用凑整的方法来计算。（稍停）这么多种方法中，你最欣赏哪种算法？
生 我欣赏一一对应比较的方法，这样可以算得又准又快。
生 我欣赏先把102和98加起来的方法，因为凑整可以使计算更快。
生 我也喜欢这种凑整的方法。
计算教学尤其要体现出算法的多样化。这里，在解决“哪个年级捐的书多”这个问题时，学生就在教师的引导下得出了多种算法。于是，教师让学生说出最欣赏的算法，从而引导学生对众多算法进行比较。这样就使算法优化的过程成为学生自己体验的过程。从学生的回答中可以看出，一一对应比较的方法和凑整的方法是思维水平较高的方法。可见，学生在比较评价的过程中得到启发，在相互交流后又有进一步的感悟，从而不仅仅掌握了一道计算题的计算方法，更重要的是感悟到解题时应根据题目的特点优化解决的方法。
参考文献：
[1] 黄浪波.小学数学名师特色课堂研习[M].天津：天津教育出版社，2007.
[2] 储建芳.“操作”中感知，“冲突”中升华[J].小学数学教学设计，2009（5）.
[3] 朱红伟.根植，唤醒，提升[J].小学数学教学设计，2011（5）.
[4] 荀步章.预习后的课堂实践与思考[J].小学数学教学设计，2011（6）.