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一、发现问题
练习环节有一道改错题：教师随堂搜集学生练习中出现的错误（图1），让学生找出错误并改正。
错误①十位上的1和32乘得32個十即320，3应该和百位对齐。错误②十位上的1和个位上的6乘得6个十，不能写在百位上，应和前一步计算进位的1相加得7。错误③两层积是相加而不是相乘，通过让学生说一说算理，再添加运算符号“+”来提醒自己两层积的关系，就可以避免此类错误（图2）。错误④乘的时候没有按一定的顺序，乘之前用画箭头的方法明确计算顺序可避免重复及遗漏（图3）。
师生都找不到错误⑤的错误原因，只好请做错题的学生叙述他的计算过程。这时，教师恍然大悟：“你乘法口诀背错了，课后好好背下来。”然后便进入下一个环节的教学。
二、问题研讨
课后研讨主要集中在两点：一是对改错环节的评价，对于不会口诀的学生的指导要更有针对性；二是待改进之处：如何处理计算课型的巩固练习，才能让学生在形成计算技能、提高正确率与速度的同时，避免计算练习的枯燥与单调？
（一）要点评析
1. 改错环节存在的必要性。
第一，这些错误不及时反馈改正，学生就容易形成错误认知，不利于形成正确算法。第二，在找错和改错的过程中，能进一步强化学生对算理及算法的理解，最终形成正确的算法及计算技能。第三，从技能形成和知识建构角度看，有正例有反例，正例示范算理及算法，反例强化算理及算法，让学生明确应该怎样、不能怎样，这样的技能形成与知识建构才全面。第四，在纠错的过程中，有学生找到了加箭头提示有序计算，添加号表示两层积的相加关系的技巧，有效解决了部分学生因不熟练导致的注意广度不够而产生的错误，是提高正确率的有效办法。
2. 改错环节处理不当之处。
教师对背错乘法口诀的学生只说了“课后好好背”，这并不是有效的指导。如果是正常遗忘，课后巩固一下是可以的，可如果有的学生因机械记忆欠缺，而无法正确背出口诀呢？
3. 改错环节改进的可能性。
对机械记忆口诀有困难的学生，是否有改进教学的可能性？以下是笔者和这个班里一个小组的课后对话。
师：如果计算乘法时背错口诀该怎么办呢？
生■：背很多遍自然就记住了。
师：可是有的同学背很多遍还是记不住呢？
生■：他可以用加法计算。
师：能举例解释一下吗？
生■：刚才做错的27×46，可以把27一直加46次。
师：根据乘法意义，是一个解决的方法。
生（其他组员）：太麻烦了！
生■：简单点，先用加法算27×6，再用加法算27×4。
生■：也可以每一步乘法都用加法计算，6×7就用7个6连加，6×2就用2个6连加。
生■：可以画图找每次乘法的计算结果，比如6×7，每行画7个圆点，画6行，就是6×7的结果。（图4）
笔者思考：用加法和画图的方法来计算乘法，这对帮助那位背错口诀的学生来说是有效的方法，虽说麻烦，但比教师的应对更有针对性。再者，虽然用口诀计算是最简单的，但对机械记忆有困难的学生，不用计算器该如何既正确又有效地计算乘法呢？
（二）改进建议
前文中，生4能想到用数形结合计算乘法，说明用该方法画出乘法结果不但可行，而且可以帮助学生理解乘法计算的本质。基于此，笔者建议：在计算练习之后加以拓展，介绍画线乘法。
【教学片段1】
1. 方法示范。
师：除了竖式计算，还可以画出乘法结果呢！
教师演示21×13的画图法，分步骤讲解。
师：看明白了吗？是怎么画的呢？让学生完整说出画图法的过程（图5）。
21×13=273
师：三位数乘三位数一样能方便画出计算结果。
演示123×321的计算过程，每一步让学生试着说出画法，教师根据学生回答情况适当补充讲解（图6）。
123×321=39483
2. 尝试应用。
教师出示13×24和21×15，学生任选一题画出图形，计算并列竖式验证。
3. 明确算理。
师：为什么能画出乘法计算结果呢？以123×321为例（图7），将图形与竖式对比可见，区域⑤是个位和个位乘得几个一，区域④是个位和十位、十位和个位乘得几个十，区域③是个位和百位、十位和十位、百位和个位乘得几个百，区域②是十位和百位、百位和十位乘得几个千，区域①是百位和百位乘得几个万。每个区域中的交叉点就是乘法竖式中间结果的另一种表达形式，竖式中先口诀计算再相加的过程，在点线图中就是直接数点子总数的过程。
4. 沟通联系。
教师简单介绍铺地锦及与画法的联系供有兴趣的学生课后研究。
师：将左图线拉正变成中间图，用数字代替点子数，再画上方格和斜线（每个方格所对应的因数相乘，所得的积就填在相应方格内。其中，斜线将每个方格分成两位，若乘得的积不足两位，就用“0”占十位），即得到下图铺地锦的方法（图8）。
（三）改进依据
画线乘法与竖式乘法相比，虽不够简洁，但有其自身的独特价值：首先，可以帮助口诀计算有困难的学生也能正确计算乘法。其次，画线乘法不仅能直接数出结果，而且几乘几及其所表示的含义能从图中直接感知；将抽象的“数”转化成形象的“线”与“点”，根据简单规则在“画”与“数”的过程中得出乘法算式的结果，既能体现“数形结合”这一思想的妙处，也有助于激发学生学习数学的兴趣。
那么教学中该如何取舍？是简洁地算，还是形象地画？为了避免计算教学的枯燥和单调，有必要在重点教学竖式乘法之后简单介绍画线乘法来激发学生学习兴趣，感受数学带来的方法美、奇异美，同时帮助理解算法、体会算理、感悟数学思想方法。在平时的课堂中，教师若能不止于教材，广泛取舍，将诸多资源巧妙糅合，努力为学生创造融会贯通、积极思考的机会，相信我们的数学课堂能更好地焕发生命的活力。
三、优化课堂
执教教师重新设计了教学流程：在情境中探究竖式的算法算理后进行计算的尝试练习，接着搜集典型错误进行改错，介绍“画线乘法”，然后进行课堂巩固练习，最后总结质疑。值得一提的是课堂在巩固练习环节，执教教师改变了原来的几道中间有0、连续进位的练习，改成了找规律练习。
【教学片段2】
1. 引出猜想。
（1）读句子：（出示若干回文诗）。问：数学上是否也有这种现象呢？
（2）计算①32×46和64×23，②21×48和84×12。
（3）集体订正。
2. 探索规律。
（1）观察上面两组算式，你发现了什么？
（2）任意写一个算式，看是否符合上面的规律？
（3）讨论：回文算式有什么样的规律？用你发现的规律，试着写一组算式，通过计算验证你总结的规律是否正确。
四、留下思考
1. 解惑，在学生真正困惑处。
释疑解惑是教学的第一要义，学生的困惑处永远都应该是教师重点关注也永远都是教师值得花精力去研究的。如此就要求教师备课要深入，要预设各种可能，才能从容应对学生的问题，真正给学生解惑。如果教师本来就知道可以画出结果，学生出现问题时及时介绍便可一举多得：帮助不会口诀的学生能够正确计算，帮助学生理解乘法的本质，非常规方法激发学习兴趣。
2. 设疑，陌生点激发探究欲望。
这堂课从探索规律开始，学生就进入了“总结规律—应用规律—验证规律”的循环过程。在这个过程中，学生是投入的、兴奋的。但是，一直到下课，学生们也没总结出一个经得起大家验证的规律。用一般的标准看，这堂课很不成功，因为问题没有解决。然而，学生课后探索一直没有结束。这让笔者确信，这堂课是成功的：计算的目标早已达成，在形成计算技能、提高计算的正确率与速度时避免计算练习的枯燥与单调，同时极大激发了学生的问题意识，促使他们对问题的深度思考。
（作者单位：江苏省连云港市中云中心小学）
练习环节有一道改错题：教师随堂搜集学生练习中出现的错误（图1），让学生找出错误并改正。
错误①十位上的1和32乘得32個十即320，3应该和百位对齐。错误②十位上的1和个位上的6乘得6个十，不能写在百位上，应和前一步计算进位的1相加得7。错误③两层积是相加而不是相乘，通过让学生说一说算理，再添加运算符号“+”来提醒自己两层积的关系，就可以避免此类错误（图2）。错误④乘的时候没有按一定的顺序，乘之前用画箭头的方法明确计算顺序可避免重复及遗漏（图3）。
师生都找不到错误⑤的错误原因，只好请做错题的学生叙述他的计算过程。这时，教师恍然大悟：“你乘法口诀背错了，课后好好背下来。”然后便进入下一个环节的教学。
二、问题研讨
课后研讨主要集中在两点：一是对改错环节的评价，对于不会口诀的学生的指导要更有针对性；二是待改进之处：如何处理计算课型的巩固练习，才能让学生在形成计算技能、提高正确率与速度的同时，避免计算练习的枯燥与单调？
（一）要点评析
1. 改错环节存在的必要性。
第一，这些错误不及时反馈改正，学生就容易形成错误认知，不利于形成正确算法。第二，在找错和改错的过程中，能进一步强化学生对算理及算法的理解，最终形成正确的算法及计算技能。第三，从技能形成和知识建构角度看，有正例有反例，正例示范算理及算法，反例强化算理及算法，让学生明确应该怎样、不能怎样，这样的技能形成与知识建构才全面。第四，在纠错的过程中，有学生找到了加箭头提示有序计算，添加号表示两层积的相加关系的技巧，有效解决了部分学生因不熟练导致的注意广度不够而产生的错误，是提高正确率的有效办法。
2. 改错环节处理不当之处。
教师对背错乘法口诀的学生只说了“课后好好背”，这并不是有效的指导。如果是正常遗忘，课后巩固一下是可以的，可如果有的学生因机械记忆欠缺，而无法正确背出口诀呢？
3. 改错环节改进的可能性。
对机械记忆口诀有困难的学生，是否有改进教学的可能性？以下是笔者和这个班里一个小组的课后对话。
师：如果计算乘法时背错口诀该怎么办呢？
生■：背很多遍自然就记住了。
师：可是有的同学背很多遍还是记不住呢？
生■：他可以用加法计算。
师：能举例解释一下吗？
生■：刚才做错的27×46，可以把27一直加46次。
师：根据乘法意义，是一个解决的方法。
生（其他组员）：太麻烦了！
生■：简单点，先用加法算27×6，再用加法算27×4。
生■：也可以每一步乘法都用加法计算，6×7就用7个6连加，6×2就用2个6连加。
生■：可以画图找每次乘法的计算结果，比如6×7，每行画7个圆点，画6行，就是6×7的结果。（图4）
笔者思考：用加法和画图的方法来计算乘法，这对帮助那位背错口诀的学生来说是有效的方法，虽说麻烦，但比教师的应对更有针对性。再者，虽然用口诀计算是最简单的，但对机械记忆有困难的学生，不用计算器该如何既正确又有效地计算乘法呢？
（二）改进建议
前文中，生4能想到用数形结合计算乘法，说明用该方法画出乘法结果不但可行，而且可以帮助学生理解乘法计算的本质。基于此，笔者建议：在计算练习之后加以拓展，介绍画线乘法。
【教学片段1】
1. 方法示范。
师：除了竖式计算，还可以画出乘法结果呢！
教师演示21×13的画图法，分步骤讲解。
师：看明白了吗？是怎么画的呢？让学生完整说出画图法的过程（图5）。
21×13=273
师：三位数乘三位数一样能方便画出计算结果。
演示123×321的计算过程，每一步让学生试着说出画法，教师根据学生回答情况适当补充讲解（图6）。
123×321=39483
2. 尝试应用。
教师出示13×24和21×15，学生任选一题画出图形，计算并列竖式验证。
3. 明确算理。
师：为什么能画出乘法计算结果呢？以123×321为例（图7），将图形与竖式对比可见，区域⑤是个位和个位乘得几个一，区域④是个位和十位、十位和个位乘得几个十，区域③是个位和百位、十位和十位、百位和个位乘得几个百，区域②是十位和百位、百位和十位乘得几个千，区域①是百位和百位乘得几个万。每个区域中的交叉点就是乘法竖式中间结果的另一种表达形式，竖式中先口诀计算再相加的过程，在点线图中就是直接数点子总数的过程。
4. 沟通联系。
教师简单介绍铺地锦及与画法的联系供有兴趣的学生课后研究。
师：将左图线拉正变成中间图，用数字代替点子数，再画上方格和斜线（每个方格所对应的因数相乘，所得的积就填在相应方格内。其中，斜线将每个方格分成两位，若乘得的积不足两位，就用“0”占十位），即得到下图铺地锦的方法（图8）。
（三）改进依据
画线乘法与竖式乘法相比，虽不够简洁，但有其自身的独特价值：首先，可以帮助口诀计算有困难的学生也能正确计算乘法。其次，画线乘法不仅能直接数出结果，而且几乘几及其所表示的含义能从图中直接感知；将抽象的“数”转化成形象的“线”与“点”，根据简单规则在“画”与“数”的过程中得出乘法算式的结果，既能体现“数形结合”这一思想的妙处，也有助于激发学生学习数学的兴趣。
那么教学中该如何取舍？是简洁地算，还是形象地画？为了避免计算教学的枯燥和单调，有必要在重点教学竖式乘法之后简单介绍画线乘法来激发学生学习兴趣，感受数学带来的方法美、奇异美，同时帮助理解算法、体会算理、感悟数学思想方法。在平时的课堂中，教师若能不止于教材，广泛取舍，将诸多资源巧妙糅合，努力为学生创造融会贯通、积极思考的机会，相信我们的数学课堂能更好地焕发生命的活力。
三、优化课堂
执教教师重新设计了教学流程：在情境中探究竖式的算法算理后进行计算的尝试练习，接着搜集典型错误进行改错，介绍“画线乘法”，然后进行课堂巩固练习，最后总结质疑。值得一提的是课堂在巩固练习环节，执教教师改变了原来的几道中间有0、连续进位的练习，改成了找规律练习。
【教学片段2】
1. 引出猜想。
（1）读句子：（出示若干回文诗）。问：数学上是否也有这种现象呢？
（2）计算①32×46和64×23，②21×48和84×12。
（3）集体订正。
2. 探索规律。
（1）观察上面两组算式，你发现了什么？
（2）任意写一个算式，看是否符合上面的规律？
（3）讨论：回文算式有什么样的规律？用你发现的规律，试着写一组算式，通过计算验证你总结的规律是否正确。
四、留下思考
1. 解惑，在学生真正困惑处。
释疑解惑是教学的第一要义，学生的困惑处永远都应该是教师重点关注也永远都是教师值得花精力去研究的。如此就要求教师备课要深入，要预设各种可能，才能从容应对学生的问题，真正给学生解惑。如果教师本来就知道可以画出结果，学生出现问题时及时介绍便可一举多得：帮助不会口诀的学生能够正确计算，帮助学生理解乘法的本质，非常规方法激发学习兴趣。
2. 设疑，陌生点激发探究欲望。
这堂课从探索规律开始，学生就进入了“总结规律—应用规律—验证规律”的循环过程。在这个过程中，学生是投入的、兴奋的。但是，一直到下课，学生们也没总结出一个经得起大家验证的规律。用一般的标准看，这堂课很不成功，因为问题没有解决。然而，学生课后探索一直没有结束。这让笔者确信，这堂课是成功的：计算的目标早已达成，在形成计算技能、提高计算的正确率与速度时避免计算练习的枯燥与单调，同时极大激发了学生的问题意识，促使他们对问题的深度思考。
（作者单位：江苏省连云港市中云中心小学）