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解决植树问题的思想方法在实际生活中应用比较广泛。植树问题通常是指沿着一定的路线植树,这条路线的总长度被树平均分成若干段(间隔),由于路线的不同、植树要求的不同,路线被分成的段数(间隔数)和植树的棵数之间的关系就不同。“植树”的路线一般分为线段上的植树问题和环形线路上的植树问题。即使是关于一条线段的植树问题,也可能有不同的情形。(1)两端都要栽。(2)只在一端栽另一端不栽。(3)两端都不栽。本课教学旨在把解决植树问题作为渗透数学思想方法的一个学习支点,借助内容教学,发展学生的思维能力。
一、案例片段描述
师:同学们植树节快到了,我们打算在一条长20米的小路一边等距离植树,两端要栽,可以怎样植?用线段图表示你的方法。
1.展示学生的线段图和表格;
2.引导总结:
师:“两端要栽”的时候,比较间隔数和棵数,你得出了什么规律?
生:棵树比间隔数多1。
师:有10个间隔,多少棵树?(11棵);15个间隔呢?(16棵);植30棵树有多少个间隔?(29个);植18棵呢?(17个)。
师:你能用一个式子表示两端都要栽的棵数和间隔数的关系吗?
学生回答后,板书:棵数=间隔数 1
3.尝试应用
(课件展示题目)同学们在一条100米长的小路一边植树,每隔5米栽一棵(两端要栽),一共需要多少棵树?
先让学生审题,训练学生仔细读题的能力,然后口答,总结评价。
4.拓展提高
题1:小明用同样的速度在校园的林荫道上散步,他从第1棵树走到第6棵树用了5分钟,当他走了15分钟应到达第几棵树?
题2:时钟6时敲6下,5秒敲完,那么,这只钟12时敲12下,几秒敲完?
本来课上到拓展题之前还是挺顺的,可是拓展题一出来以后,学生全乱了阵脚,只有少数同学找对了思考的方向。
二、课后跟踪
上述案例是笔者在一次校本教研活动中的经历,原本是想让学生经历“问题情境——探究新知——建立模型——灵活运用”来构建知识体系,但是当学生用想一想、画一画、说一说成功构建数学模型后,却发现很难运用。于是笔者思考着:是拓展延伸拔得太高了,导致学生“跳起来”还是摘不到“桃子”?还是前面建立的数学模型太深入人心了,变式不够,学生无法达到举一反三、灵活应用的至高境界。
三、案例引发的思考和启示
“渗透数学思想”是本次教研活动研究的方向。要想不断地增强学生的数学意识,就必须在数学教学过程中加强课堂的实践活动,使学生有更多的机会接触生活中的数学问题。对于此类数学广角的内容,很多老师都会赞同探究式学习,让学生在想一想、畫一画中发现问题,解决问题,找出规律,同时提取同类植树问题的数学模型。只是探究的步子是否可以再迈的大一点,思维可不可以更开放一点,这引起了我的思考。
1.探究的深度该如何把握
在教学过程中,我调整了例题的数据,将路的长度变成20米,不规定间距,但是两端都栽。我作如此修改的意图是让学生突现知识起点,从而用一一对应的思想方法让学生理解多1的原因,建立起深刻、整体的表象,提炼出植树问题解题的方法。在这里数据小了,便于学生利用线段图操作,建立数形结合,有利于学生的思考,降低了学习的难度。教学中我先激励学生自己做设计师,想办法设计植树方案,在学生自主探索的过程中,很多学生采用了画线段图的方式也有用表格的方式,交流时利用多媒体再现线段图,让学生看到把一条线段平均分成4段,加上两个端点,一共有5个点,也就是要栽5棵树;平均分成5段,加上两个端点,一共6个点,也就是要栽6棵数等等,使学生发现植树时准备树苗的问题并不能简单的用除法来解决。改变间距后,段数和棵数相应也发生了变化,紧接着启发学生透过现象发现规律,也就是棵数要比段数(间隔数)多1。最后按照教材要求应用发现的规律来解决植树问题:一条长100米的小路两边栽树,每隔5米栽一棵(两端要栽),需要多少棵树苗?100÷5=20个间隔,20 1=21棵树。如果把问题改为小路两边栽树,一共需要插多少棵树?只要把21×2=42棵就可以了。这样就把整个分析、思考、解决问题的全过程展示出来,遇到比较复杂的问题要先想简单的,从简单的问题入手来研究,让学生经历这个过程并从中学习一些解决问题的方法和策略。
在学生掌握基础知识和基本技能的基础上,通过教师引导,形成师生互动、生生互动的氛围,加大学生的思考空间和创造空间,以激活学生的主体思维,形成新的教学成果。
但是,如果我把探究的步子迈的更大一点,更放手一点,不规定两端都栽,让学生自己设计植树方案,也许孩子们思维会更活跃,心灵会更飞扬。一端种一端不种,两端都不种的设计也能出来,但在一节课内解决植树问题的三种不同情形,恐怕学生会消化不了。以后在解决相类似植树问题时,举一无法反三,不知道该用哪种数学模型来解决。植树问题原本属于经典的奥数内容,有一小部分人早有接触,认知起点高,新课程教材把它放到数学广角中让所有学生学习,那么在教学过程中,我就应该照顾大部分学生的认知起点,让大部分学生在指向性明确的探究活动中发现规律、建立模型。
2.拓展的外延究竟有多大
我所执教的《植树问题》是属于思维含量较高的高认知的课。这样的课在有充裕的时间和空间的基础上,我认为应该拓展。
植树问题的模型是现实世界中一类相近事件的放大,它源于现实,又高于生活。在学生掌握植树问题规律的基础上,开放课堂时空,让学生把所学的知识实施正迁移,进一步体会现实生活中的许多不同事件,如锯木头、敲时钟等问题,引导学生要灵活运用所学知识来解决生活中的一些实际问题,体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。但是,今天的拓展我把问题的难度拔得太高,造成教学要求过高了,险些又上成奥数课了。
在以后的教学中要注意把握好尺度,适当进行取舍,借助数形结合将文字信息与学习基础耦合,使得学习得以继续,使得学生思维发展有了凭借,也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。通过充分体验,让学生有夯实的学习基础;利用小组合作,促进生生交流;借助数形结合,渗透数学学习方法,这样才能使学习主题建构得以落实。
一、案例片段描述
师:同学们植树节快到了,我们打算在一条长20米的小路一边等距离植树,两端要栽,可以怎样植?用线段图表示你的方法。
1.展示学生的线段图和表格;
2.引导总结:
师:“两端要栽”的时候,比较间隔数和棵数,你得出了什么规律?
生:棵树比间隔数多1。
师:有10个间隔,多少棵树?(11棵);15个间隔呢?(16棵);植30棵树有多少个间隔?(29个);植18棵呢?(17个)。
师:你能用一个式子表示两端都要栽的棵数和间隔数的关系吗?
学生回答后,板书:棵数=间隔数 1
3.尝试应用
(课件展示题目)同学们在一条100米长的小路一边植树,每隔5米栽一棵(两端要栽),一共需要多少棵树?
先让学生审题,训练学生仔细读题的能力,然后口答,总结评价。
4.拓展提高
题1:小明用同样的速度在校园的林荫道上散步,他从第1棵树走到第6棵树用了5分钟,当他走了15分钟应到达第几棵树?
题2:时钟6时敲6下,5秒敲完,那么,这只钟12时敲12下,几秒敲完?
本来课上到拓展题之前还是挺顺的,可是拓展题一出来以后,学生全乱了阵脚,只有少数同学找对了思考的方向。
二、课后跟踪
上述案例是笔者在一次校本教研活动中的经历,原本是想让学生经历“问题情境——探究新知——建立模型——灵活运用”来构建知识体系,但是当学生用想一想、画一画、说一说成功构建数学模型后,却发现很难运用。于是笔者思考着:是拓展延伸拔得太高了,导致学生“跳起来”还是摘不到“桃子”?还是前面建立的数学模型太深入人心了,变式不够,学生无法达到举一反三、灵活应用的至高境界。
三、案例引发的思考和启示
“渗透数学思想”是本次教研活动研究的方向。要想不断地增强学生的数学意识,就必须在数学教学过程中加强课堂的实践活动,使学生有更多的机会接触生活中的数学问题。对于此类数学广角的内容,很多老师都会赞同探究式学习,让学生在想一想、畫一画中发现问题,解决问题,找出规律,同时提取同类植树问题的数学模型。只是探究的步子是否可以再迈的大一点,思维可不可以更开放一点,这引起了我的思考。
1.探究的深度该如何把握
在教学过程中,我调整了例题的数据,将路的长度变成20米,不规定间距,但是两端都栽。我作如此修改的意图是让学生突现知识起点,从而用一一对应的思想方法让学生理解多1的原因,建立起深刻、整体的表象,提炼出植树问题解题的方法。在这里数据小了,便于学生利用线段图操作,建立数形结合,有利于学生的思考,降低了学习的难度。教学中我先激励学生自己做设计师,想办法设计植树方案,在学生自主探索的过程中,很多学生采用了画线段图的方式也有用表格的方式,交流时利用多媒体再现线段图,让学生看到把一条线段平均分成4段,加上两个端点,一共有5个点,也就是要栽5棵树;平均分成5段,加上两个端点,一共6个点,也就是要栽6棵数等等,使学生发现植树时准备树苗的问题并不能简单的用除法来解决。改变间距后,段数和棵数相应也发生了变化,紧接着启发学生透过现象发现规律,也就是棵数要比段数(间隔数)多1。最后按照教材要求应用发现的规律来解决植树问题:一条长100米的小路两边栽树,每隔5米栽一棵(两端要栽),需要多少棵树苗?100÷5=20个间隔,20 1=21棵树。如果把问题改为小路两边栽树,一共需要插多少棵树?只要把21×2=42棵就可以了。这样就把整个分析、思考、解决问题的全过程展示出来,遇到比较复杂的问题要先想简单的,从简单的问题入手来研究,让学生经历这个过程并从中学习一些解决问题的方法和策略。
在学生掌握基础知识和基本技能的基础上,通过教师引导,形成师生互动、生生互动的氛围,加大学生的思考空间和创造空间,以激活学生的主体思维,形成新的教学成果。
但是,如果我把探究的步子迈的更大一点,更放手一点,不规定两端都栽,让学生自己设计植树方案,也许孩子们思维会更活跃,心灵会更飞扬。一端种一端不种,两端都不种的设计也能出来,但在一节课内解决植树问题的三种不同情形,恐怕学生会消化不了。以后在解决相类似植树问题时,举一无法反三,不知道该用哪种数学模型来解决。植树问题原本属于经典的奥数内容,有一小部分人早有接触,认知起点高,新课程教材把它放到数学广角中让所有学生学习,那么在教学过程中,我就应该照顾大部分学生的认知起点,让大部分学生在指向性明确的探究活动中发现规律、建立模型。
2.拓展的外延究竟有多大
我所执教的《植树问题》是属于思维含量较高的高认知的课。这样的课在有充裕的时间和空间的基础上,我认为应该拓展。
植树问题的模型是现实世界中一类相近事件的放大,它源于现实,又高于生活。在学生掌握植树问题规律的基础上,开放课堂时空,让学生把所学的知识实施正迁移,进一步体会现实生活中的许多不同事件,如锯木头、敲时钟等问题,引导学生要灵活运用所学知识来解决生活中的一些实际问题,体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。但是,今天的拓展我把问题的难度拔得太高,造成教学要求过高了,险些又上成奥数课了。
在以后的教学中要注意把握好尺度,适当进行取舍,借助数形结合将文字信息与学习基础耦合,使得学习得以继续,使得学生思维发展有了凭借,也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。通过充分体验,让学生有夯实的学习基础;利用小组合作,促进生生交流;借助数形结合,渗透数学学习方法,这样才能使学习主题建构得以落实。