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“函数的概念”是《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》(北师大版)第二章的教学内容,全国高中数学优质课比赛一等奖获得者罗文静老师在教学这节课时,并没有照本宣科,而是以问题为基础构建了学生主动学习的教学过程,引导学生从特殊到一般进行归纳总结,既让学生经历了概念的形成过程,又达到促进学生转变学习方式的目的,充分体现了新课改的教学理念。
一、创设问题——激发学生主动学习兴趣
〔问题1〕(多媒体展示)北京时间2007年10月24日18时05分,万众瞩目的“嫦娥一号”探月卫星成功发射,在“嫦娥一号”飞行期间,我们时刻关注着“嫦娥一号”离月球表面的距离y随时间t是如何变化的,在数学上我们用函数来描述这种运动变化中的数量关系。
“嫦娥一号”卫星大约在发射后216小时运行在距月球表面200 km的圆形轨道上,即有y=200 t (t≥216),根据初中函数定义,此时,距离y是时间t的函数吗?要解决这个问题,就必须再进一步研究函数的本质。
〔赏析〕罗老师以学生感兴趣的事件——“嫦娥一号”探月卫星成功发射,来引入新课,不仅能提高学生主动学习的兴趣,而且渗透了数学意识和数学观念,达到激活学生原有知识的目的;更为巧妙的是罗老师从中创设的问题1,引发了学生的认知冲突,为下一步用集合语言来描述函数作好了铺垫,起着承上启下的作用。
二、确定问题——引导学生主动观察思考
〔问题2〕(多媒体展示)一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标。 炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是:
h=130t-5t2。(*)
师:你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗?其中,时间t的变化范围是什么?炮弹距离地面高度h的变化范围是什么?
生:炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}。
师:A与B之间有关系吗?
生:我觉得应该有一种对应关系。
师:对。从问题的实际意义可知,对于数集A中的任意一个时间t,按照对应关系(﹡),在数集B中是否都有唯一确定的高度h和它对应?
生:是。
〔问题3〕(多媒体展示)近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题。图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况。
师:图中曲线中时间t的变化范围是多少?臭氧层空洞面积s的变化范围是多少?
……
〔问题4〕 (多媒体展示)国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。 表1中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。
师:恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似?如何用集合与对应的语言来描述这种关系?
……
〔赏析〕罗老师在这里没有按照教材的安排,从集合的观点出发直接引出函数的定义,而是精选了与本节课主题密切相关的三个实际问题,这就给学生创造了主动观察思考的条件和空间,充分体现了罗老师创造性运用教材的新课程理念。对于这三个问题,教师主要引导和组织学生观察和思考,不仅让学生分别体会到了用解析式刻画变量之间的对应关系、用图像刻画变量之间的对应关系、用表格刻画变量之间的对应关系和初步感知了函数中蕴涵着集合与对应关系的属性,而且激活了学生的思维,调动了学习的主动性。
三、提炼问题——引导学生主动合作交流
师:以上三个实例有什么不同点和共同点?
(学生活动:先让学生自主探究,再分小组讨论交流)
生1: 归纳以上三个实例,可看出其不同点是:问题2是用解析式刻画变量之间的对应关系,问题3是用图像刻画变量之间的对应关系,问题4是用表格刻画变量之间的对应关系。
生2:其共同点是:(1)两个集合之间都有一种确定的对应关系;(2)对于A中的每一个x,按照某种对应关系f,在数集B中都有确定的y值和它对应。
师:这个同学归纳得准确不准确呢?我们先来思考下面这个问题:
[问题5] (多媒体展示)下面四个图像表示的对应关系有没有和上述三个问题不同的?
生3:应该是A吧,因为我发现两个不同的x对应了相同的y。
生4:不对,问题3中就有两个不同的x对应了相同的y,我觉得应该是B,一个x只能对应一个y,上述三个实例都有这个特点。
……
[赏析]能否归纳出三个实例的共同点和不同点是学生能否从集合的观点理解函数的关键,在这里,罗老师为学生创设了先自主探究,再分小组讨论、交流的学习情境,既有效地化解了学习的难点,又调动了全体学生学习的主动性;特别是当学生出错时,教师并没有直接予以纠正,而是巧妙地出示问题5,让学生从图像中自己发现错误,这样的处理,不但使学生深化了对函数概念中的集合与对应关系的理解,真正成为了知识的意义建构者,而且进一步体会到数形结合的方法,从而丰富了解决数学问题的经验和方法。
四、延伸问题——引导学生主动尝试归纳
师:在三个实例中,大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系,其中一个变量都是另一个变量的函数, 你能否用集合与对应的语言来刻画函数,抽象概括出函数的概念呢?
(首先让学生尝试归纳,然后师生共同概括)
生:一般地,设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f ∶A→B或y=f(x),x∈A。此时,x叫做自变量, 集合A叫做函数的定义域;集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
师: 在函数的定义中有哪几个要点?
生:在函数的定义中有下面三个要点:
(1)函数是非空数集A到非空数集B上的一种对应;
(2)集合A中数的任意性,集合B中数的唯一性;
(3)值域由定义域和对应关系唯一确定。
〔赏析〕从三个问题中引伸、抽象出用集合与对应的语言描述函数的定义,对大部分学生而言会比较困难,这时,罗老师没有自己包办,而是先鼓励学生尝试,再由师生共同完成,这个活动过程看似平淡,实际上体现了教者注重让学生经历函数概念的概括过程,重视学生归纳、概括能力的培养的现代教学理念。
综观整堂课,第一个显著的特点是教师扮演着组织、引导和与学生合作的角色,注重为学生搭建自主探究、讨论、交流的平台,通过这个平台,不但激发了学习主体的探索精神和创造力,而且有效地促进了学习方式的转变,改变了原来单一的、被动的学习行为,构建了旨在发挥学生主体性的多样化学习方式,充分体现了教师是学生学习的组织者、引导者、促进者和合作者,学生是活动的主体的现代教学理念。第二个显著的特点是整个教学过程以问题为载体,紧紧围绕函数概念的本质引导学生分析、探究、归纳,概括出用集合与对应的观点描述函数的定义和深化对函数概念的理解,让学生经历了函数概念形成的四个阶段:感知认识阶段、分析本质属性阶段、概括形成定义阶段、应用与强化阶段,有效地实现了学生对函数概念和本质的意义建构。(作者单位:江西省高安市教育局教研室) ■
□责任编辑周瑜芽
E-mail:jxjyzyy@163.com
一、创设问题——激发学生主动学习兴趣
〔问题1〕(多媒体展示)北京时间2007年10月24日18时05分,万众瞩目的“嫦娥一号”探月卫星成功发射,在“嫦娥一号”飞行期间,我们时刻关注着“嫦娥一号”离月球表面的距离y随时间t是如何变化的,在数学上我们用函数来描述这种运动变化中的数量关系。
“嫦娥一号”卫星大约在发射后216小时运行在距月球表面200 km的圆形轨道上,即有y=200 t (t≥216),根据初中函数定义,此时,距离y是时间t的函数吗?要解决这个问题,就必须再进一步研究函数的本质。
〔赏析〕罗老师以学生感兴趣的事件——“嫦娥一号”探月卫星成功发射,来引入新课,不仅能提高学生主动学习的兴趣,而且渗透了数学意识和数学观念,达到激活学生原有知识的目的;更为巧妙的是罗老师从中创设的问题1,引发了学生的认知冲突,为下一步用集合语言来描述函数作好了铺垫,起着承上启下的作用。
二、确定问题——引导学生主动观察思考
〔问题2〕(多媒体展示)一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标。 炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是:
h=130t-5t2。(*)
师:你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗?其中,时间t的变化范围是什么?炮弹距离地面高度h的变化范围是什么?
生:炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}。
师:A与B之间有关系吗?
生:我觉得应该有一种对应关系。
师:对。从问题的实际意义可知,对于数集A中的任意一个时间t,按照对应关系(﹡),在数集B中是否都有唯一确定的高度h和它对应?
生:是。
〔问题3〕(多媒体展示)近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题。图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况。
师:图中曲线中时间t的变化范围是多少?臭氧层空洞面积s的变化范围是多少?
……
〔问题4〕 (多媒体展示)国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。 表1中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。
师:恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似?如何用集合与对应的语言来描述这种关系?
……
〔赏析〕罗老师在这里没有按照教材的安排,从集合的观点出发直接引出函数的定义,而是精选了与本节课主题密切相关的三个实际问题,这就给学生创造了主动观察思考的条件和空间,充分体现了罗老师创造性运用教材的新课程理念。对于这三个问题,教师主要引导和组织学生观察和思考,不仅让学生分别体会到了用解析式刻画变量之间的对应关系、用图像刻画变量之间的对应关系、用表格刻画变量之间的对应关系和初步感知了函数中蕴涵着集合与对应关系的属性,而且激活了学生的思维,调动了学习的主动性。
三、提炼问题——引导学生主动合作交流
师:以上三个实例有什么不同点和共同点?
(学生活动:先让学生自主探究,再分小组讨论交流)
生1: 归纳以上三个实例,可看出其不同点是:问题2是用解析式刻画变量之间的对应关系,问题3是用图像刻画变量之间的对应关系,问题4是用表格刻画变量之间的对应关系。
生2:其共同点是:(1)两个集合之间都有一种确定的对应关系;(2)对于A中的每一个x,按照某种对应关系f,在数集B中都有确定的y值和它对应。
师:这个同学归纳得准确不准确呢?我们先来思考下面这个问题:
[问题5] (多媒体展示)下面四个图像表示的对应关系有没有和上述三个问题不同的?
生3:应该是A吧,因为我发现两个不同的x对应了相同的y。
生4:不对,问题3中就有两个不同的x对应了相同的y,我觉得应该是B,一个x只能对应一个y,上述三个实例都有这个特点。
……
[赏析]能否归纳出三个实例的共同点和不同点是学生能否从集合的观点理解函数的关键,在这里,罗老师为学生创设了先自主探究,再分小组讨论、交流的学习情境,既有效地化解了学习的难点,又调动了全体学生学习的主动性;特别是当学生出错时,教师并没有直接予以纠正,而是巧妙地出示问题5,让学生从图像中自己发现错误,这样的处理,不但使学生深化了对函数概念中的集合与对应关系的理解,真正成为了知识的意义建构者,而且进一步体会到数形结合的方法,从而丰富了解决数学问题的经验和方法。
四、延伸问题——引导学生主动尝试归纳
师:在三个实例中,大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系,其中一个变量都是另一个变量的函数, 你能否用集合与对应的语言来刻画函数,抽象概括出函数的概念呢?
(首先让学生尝试归纳,然后师生共同概括)
生:一般地,设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f ∶A→B或y=f(x),x∈A。此时,x叫做自变量, 集合A叫做函数的定义域;集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
师: 在函数的定义中有哪几个要点?
生:在函数的定义中有下面三个要点:
(1)函数是非空数集A到非空数集B上的一种对应;
(2)集合A中数的任意性,集合B中数的唯一性;
(3)值域由定义域和对应关系唯一确定。
〔赏析〕从三个问题中引伸、抽象出用集合与对应的语言描述函数的定义,对大部分学生而言会比较困难,这时,罗老师没有自己包办,而是先鼓励学生尝试,再由师生共同完成,这个活动过程看似平淡,实际上体现了教者注重让学生经历函数概念的概括过程,重视学生归纳、概括能力的培养的现代教学理念。
综观整堂课,第一个显著的特点是教师扮演着组织、引导和与学生合作的角色,注重为学生搭建自主探究、讨论、交流的平台,通过这个平台,不但激发了学习主体的探索精神和创造力,而且有效地促进了学习方式的转变,改变了原来单一的、被动的学习行为,构建了旨在发挥学生主体性的多样化学习方式,充分体现了教师是学生学习的组织者、引导者、促进者和合作者,学生是活动的主体的现代教学理念。第二个显著的特点是整个教学过程以问题为载体,紧紧围绕函数概念的本质引导学生分析、探究、归纳,概括出用集合与对应的观点描述函数的定义和深化对函数概念的理解,让学生经历了函数概念形成的四个阶段:感知认识阶段、分析本质属性阶段、概括形成定义阶段、应用与强化阶段,有效地实现了学生对函数概念和本质的意义建构。(作者单位:江西省高安市教育局教研室) ■
□责任编辑周瑜芽
E-mail:jxjyzyy@163.com