反比例函数具有下列特征：
　　1.反比例函数定义：一般地，形如 的函数叫做反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数， 是比例系数. 等价形式：
　　2.反比例函数的图象是双曲线，它有两个个分支，可用画出反比例函数的图象.
　　3.反比例函数的图象的性质：
　　⑴当 >0时，图象的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
　　⑵当 <0时，图象的两个分支分别在 二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.
　　4.∣ ∣ 越大，图象越远离坐标原点；∣ ∣越小，图象越接近坐标原点.
　　5.k的几何意义： .
　　6.反比例函数的图象既是中心图形又是轴对称图形.有两条对称轴：直线 y=x和y=-x.对称中心是：坐标原点.
　　7.求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出 值，即可确定.
　　灵活利用这些特征，可以解决下列问题.
　　一﹑利用一个点在图象上，求函数的关系式
　　例1 已知反比例函数 的图象经过点（4，1） . 求这个反比例函数的关系式.
　　点拨 如果一个点在反比例函数图象上，只要将点带入，就可以求出k了.
　　解 ∵点（4，1）在 图象上，
　　二﹑利用函数的增减性比较大小
　　例2 若点A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（1，y3）在反比例函数 的图象上，则下列结论正确的是 （ ）
　　点拨 如果这一题认为A、B、C三点的横坐标在增大，所以纵坐标在减小，就会选到错误的答案.这里可以通过解析式求出y1、y2、y3三个数的值来比较大小，也可以通过数形结合的方法在图形上大概描出三个的位置，来判断它们纵坐标的大小，特别注意A、B两点在第三象限，C点在第一象限.
　　解：由图象可知， 选C.
　　例3 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数 的图象上的两点，若x1<0　　点拨 这里不能求出x1、y1、 x2、y2的值，但是可以用特殊值法，假设x1为某一个负数（例如-1），x2为一个正数（例如2），求出纵坐标就可以比较大小了.这里还可以根据图象，大致描出A、B两个点的位置，A点在第二象限，B点在第四象限，得出y2<0　　例4 如图：点A在双曲线 上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______.
　　点拨 点A在反比例函数图象上，△AOB为对应的矩形面积的一半，所以对应矩形的面积为4，由 的几何意义知，∣ ∣=4，在根据图象分布的象限求出 .
　　例5 如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 .
　　点拨 本题考察了两个反比例函数，作如图所示的辅助线，可以得出
　　矩形ABCD面积= .
　　解 矩形ABCD面积=3-1=2.
　　四﹑利用反比例函数的对称性
　　例6 如图，直线y=k1x与双曲线 相交于点A、B若点A的坐标为（-2，3），则点B的坐标为_________.
　　点拨 反比例函数关于原点中心对称，A、B两点的横纵坐标都互为相反数.
　　解 点B的坐标为（2，-3）
　　例7 如图，直线y=kx（k>0）与双曲线 相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）
　　两点，则2 x1 y2-7 x2 y1=________。
　　点拨 反比例函数关于原点中心对称，A、B两点的横纵坐标都互为相反数。
　　例4：如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C.若△ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为____________.
　　点拨 这里由A、B两点关于O点中心对称，可得△AOC和△BOC以
　　OC为底边上的高相等，所以S△ABC=k，可得k=4。
　　解
　　五﹑利用数形结合的思想解题
　　例6 如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数 （m≠0）的图象交于A（2，0.5）、
　　点拨 这里需要用到数形结合的方法，当直线在曲线对应位置的上方时y1>y2，过A，B，画y轴平行的直线，连y轴把图象分成四个部分来观察，其中满足要求的应该有两个部分。