首先证明不等式： 。
　　证明如下：令：
　　是关于变量x的减函数，所以 ，于是， 恒成立。
　　问题1：（2014天津理科22） 已知函数 有两个零点 ，且
　　（1）求 的取值范围；（2）证明： 随 的减小而增大；证明： 随 的减小而增大。
　　证明：（1），问题条件等价于直线 的图像与函数 的图像有两个不同交点，显然 ，若 ，两图像只有一个交点，不合题意，故 ；当两图像相切时，切点的横坐标设为 ，有 并且 从而有 ，于是符合条件的 。
　　这一小问的解答，充分利用了数形结合的思想，过程简单流畅，易于理解。
　　（2）依题意有， ；…….（1）
　　；…….（2）
　　由上一问的解题过程可知0< ，
　　在（1）式中，字母x1可以看作关于字母a的函数，两边同时对字母 求导数，（注意，此時 是关于字母 的复合函数），得：
　　这说明字母 是关于字母 的增函数，即 随 的减小而减小；同理得：
　　这说明字母 是关于字母 的减函数，即 随 的减小而增大。综上可知： 随 的减小而增大；
　　又对（1）式两边取对数得： ……..（3）；
　　…….（4）
　　两式相减，并令 得： - = ，从而有 = ， = ，所以 = + 两边对字母 求导数得： = ，现在证明：
　　>0，即证明： ，这是因为根据本文开头的不等式有： ，又容易证明： ，所以 恒成立，这说明 是关于字母 是增函数，又由（2）的结论可知： 是关于变量 的减函数，根据复合函数的单调性，可知 是关于变量 的减函数，也即， 随 的减小而增大。证明完毕。
　　第二小问的解答，采用了动静转换的思想，把参数 ，由静变为动，通过讨论字母 ， 关于 的单调性，使问题迎刃而解。
　　问题2：（2016年全国卷2，第21题）
　　（I）讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，
　　（II）证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为 ，求函数 的值域.
　　解：（I）略。
　　（二）以a为主变元，x视为常数设：
　　，是关于a的减函数， ，
　　于是，
　　容易得到：
　　所以g（x）的最小值 ）
　　问题3：（2010年安徽卷理科，第21题）
　　已知函数 ，求f（x）的单调区间和极值；
　　求证，当
　　解：（1）略
　　（2）以a为主变元，x视为常数设：
　　，是关于a的增函数，
　　记 ，那么
　　容易证明： ，所以 ，故 ，从而 。证完
　　结束语：
　　由此可见，合理的应用数学思想方法解决数学问题，尤其是难题，能够减少尝试或失败的次数，能够节省探索的时间和解题的长度，体现出选择的机智和组合的艺术。
　　参考文献：
　　[1]葛军，数学教学论与数学教学改革[M]，1999，东北师范大学出版社。
　　[2]赵振伟，中学数学教材教法[M]，1994，华东师范大学出版社。
　　湖南省普通高校教学改革项目（[2017]，356）。
　　指导老师：邹庆云 唐振伟