把数学变得容易一些,主要有三个途径:①思考哪些难点是人为制造的,不必要的规定要改掉;②引进新的概念时,必须适合学生的思想,了解学生的生活经验;③教给学生比较一般的解题方法。
　　一、数学本来就不容易
　　数学教育的不乐观是世界范围内近几十年的事,当然原因是多种多样的。其中有一个重要的原因就是数学不好学,太难,花费了很大精力去学,学了之后觉得不划算。美国有一位著名的数学教育家说:“由于学数学,一些学生从年轻时期就对人生失去了信心,从这个意义上讲,我们的数学教育在毁灭年轻的一代。”虽然他说得严重了一些,但在一定程度上却反映了实际情况。
　　为什么感到学数学难呢?其他的学科,往往经过历史上的变革,原来的就没用了,如物理学中的光学,原来是粒子说,粒子说被推翻了,就不学了。化学原来有“燃素说”、物理原来有“热素说”,这些理论,被推翻就不用学习了。数学则是从古至今,几乎每一个年代的成果都要继承下来。所以人们说,哲学家是把人家的那一页涂掉,写上自己的一页,而数学家是加上自己的一页越积累越多。另外,数学用处越来越大,对数学的要求也越来越高。各行各业都需要数学社会对数学的要求越来越高,数学发展越来越快,数学积累知识越来越多,所以数学越来越难学。
　　二、人为制造的难点
　　在数学难学的客观事实的基础上,我们还人为地制造了许多难点,自己增添了许多麻烦。从小学开始,例如,提出一个问题:3个人每人分2个苹果,一共多少苹果?小学生一定要写“2×3=6”,如果写成“3×2=6”老师就要扣分。这个问题,笔者多年来想不通,多数数学家也想不通。教师辛辛苦苦地教学生2×3不能写成3×2,然后又要辛辛苦苦地教学生2×3=3×2(交换律),人为地增加了难点。这是一个定义的问题,如一开始规定2×3和3×2是一样的,既可以代表2个3,又可以代表3个2,这样就可以了,学生就不会犯这个“错误”了。人是否犯法不仅取决于人,还取决于法律。法律规定得太严格了,犯法的人就会多一些,法律适当,犯法的人就会少一些。最近北师大数学教育研究所编了一套21世纪的小学教材,吸取了这个观点,2×3和3×2可以通用。试教时,老师有一种“解放了”的感觉,学生也感到高兴,从而少犯了许多“错误”。
　　要减少一些人为的难点,这是把数学变得容易一些的第一个要求。
　　现在考试的方式多,题量大,钻牛角尖的题也多。一个多小时要做几十道题目,这就要求学生手快,平时把方法、公式都背熟,不允许考生反复思考。华罗庚先生说,他小时候学数学是这样学的:人家1小时能做的题目,他要花4个小时才想通,然后他就有很大的收获了。按照现在出题考试的方式,一般不留给学生充分思考的时间,原因之一是课本上的一些知识有可趁之机。如果从根本上、定义上让他们没有犯金鼓齐鸣的可能,就可以使数学变得容易一些。我认为这是最基本的,应该做到的。要简化,这个简化不是少学某些知识,而是要突出关键。不要斤斤计较某些概念,比如说什么叫方程……类似这种问题,就看学生是否会用,能否做出来。古代许多大数学家,用今天的标准看,许多概念是模糊的,但也有许多新的发现,做出了很大地贡献。
　　还有追求严格性的问题。吴文俊先生在一次大会上讲,学几何要严谨是吹牛,欧几里德的几何从来就不严谨,而且就是到了希尔伯特作了改进以后,教科书上也做不到严谨。为什么呢?如,证明平等四边形对角线互相平分,要用到“两条直线平等则内错角相等”的定理。但是,你怎么知道哪两个角是内错角?你证明了没有?要证明是内错角,就要证明有两个点是对角线的两侧,而这是非常难证明的。没有哪一本教科书(包括欧几里德的原本)证明了它是内错角的,都是直观看出来的。我们主张,学几何不要强调它的公理、它的严谨,而是强调它的思想和方法。用几个基本原理,可以解决许多问题,这就是思想方法的高明。基本原理对了,细节上不要追求,可以查文献,历史上许多数学家的重要论文都是不严谨的,关键要有新思想。牛顿的微积分不严谨了200年,后来让世人给“严谨”了。如果要严谨,微积分就无法发展了,最主要的是要有新思想。
　　三、搞点人为的“容易”
　　我主张不要制造人为的困难,还要搞点人为的“容易”。什么叫“容易”?笔者认为“容易”对学生来说,就是具体、熟悉的,而不是抽象、陌生的。一个人感到什么东西很难,是因为对它比较陌生。如果你来到一个新的城市,你可能一时找不到要去的地方,因为你以前未来过这里。相反,如果你住了几年,一定会很容易知道自己要去的地方。所以“容易”和“难”,关键是熟悉与陌生,熟悉了的东西感到是容易的,而陌生的东西则感到是很抽象的。所以,我们给学生讲数学或编书时,首先要考虑到学生头脑里熟悉的是什么。