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摘要函数是中学数学的核心内容,能全面考查学生对数学符号语言的理解和接受能力,以及对一般和特殊关系的认识,从而对培养学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力,有着十分重要的作用。
关键词函数创新思维能力
中图分类号:G633.6文献标识码:A
创新的基础是创造性思维能力,课堂教学是培养创造性思维能力的主渠道,创新要从课堂上抓起。思维的独特性、灵活性、求异性、综合性是创新思维的重要特点,应把“四性”教学渗透到每一个教学内容之中,笔者以函数教学内容为例,浅析如何在课堂教学中激励学生的创造意识。
1 弄清值域概念,培养思维的独特性
思维的独特性是具有创造性才能的人最重要的思维品质,独特性反映了思维的深度及对本质特征的把握程度,只有触及事物的本质,才能在学习和工作中“独辟蹊径”、“棋高一着”。为了培养学生这种能力,教学中设计了下列两道练习题。
例1已知f(x)的定义域为[a,b],且f(x)在x=a处取得最小值A,在x=b处取得最大值B,试求y=f(x)在[a,b]上的值域。
例2求f(x)=的值域。
例1是无法求值域的;在求解过程中没有学生对题目提出异议,没有独特的见解,有的同学误将答案写为[a,b]。
例2正确答案为[-,0)∪(0,],但有的学生将y=化简成y=sin2x从而得出值域为[-,]忽视了定义域{x|x=k€%i,k∈z}的制约。
值域是函数三要素之一,初等函数的特殊性,给学生造成了这样一种认识:若函数的值域为[m,M],则函数的最大值、最小值分别为M和m;若函数的最小值为m,最大值为M,则其值域为[m,M],实际上前一种认识是正确的,后一种认识是错误的。函数的性质,直接受定义域制约。函数的三要素定义域、值域、对应关系三者之间是相互渗透、相互依赖的,教学中多设几个特例,揭示这三者之间的内在联系和本质区别,有利于独特性思维的发展。
2 多方求函数的值,培养思维的灵活性
创造性思维强调根据不同的对象和条件,具体情况、具体对待,灵活应用,反对一成不变的模式。求函数值的方法是丰富多彩的,为了培养学生灵活求函数值的方法,要求学生计算下面两道习题。
例3已知f(x)=4x-4x+1(x≥0),求f -1(0)
例4已知f(x)=asin3+x3+1,且f()=4+√2,求f(-)
解题时,学生出现不同的解法。
例3解法:方法①应通过原函数与反函数的可逆性,将求f-1(0)转化为求方程f(x)=0的解。方法②有的学生不惜通过繁琐的计算,先求出y=f -1(x),进而求f -1(0)的值。
例4解法:方法①应通过函数的奇偶性,g(x)=f(x)-1,利用g(x)是奇函数这一性质求解最为方便。方法②通过f()=4+√2解出a的值,以确定f(x)的表达式,再将x=-代人,求出f(-)的值。
通过比较,教师指出解例3时,通过函数解析式y=f(x)计算出与x对应的函数值y,这是常见的思路,初、高中课本中有大量这类题型,导致学生思维的单一性,解法繁琐。方法①则灵活、便捷。解例4时,方法①掌握了g(x)是奇函数这一性质,用逆向思维的方法解决,比方法②高明得多。通过这两个例题的教学使学生懂得解题或处理问题时要变通,要实事求是,不要拘泥于教条和模式。
3 深入理解定义域,学会求异思维
创造性思维是对已知知识的重新组合,目的是获得新的思维成果。深入理解函数定义域,有助于发展学生的求异思维。定义域一般分为三种类型;使解析式有意义的自变量的取值范围称为自然型;使实际问题或几何问题有意义的自变量的取值范围称为实际型;人为限制给定的自变量的取值范围称为限制型。为了加深对定义域的理解,求解下面几个例题。
例5已知f(x)=log(x+a),其中a∈R,若x∈[2,+∞]时,f(x)有意义,求a的取值范围。
例6已知f(x)=x3-2x十3的值域为[2,3],试说明该函数的定义域[0,a]所应满足的条件。
解例5时,不少学生错误地认为a=-2;正确解法是:由条件[2,+∞]应该是定义域
的子集,由[2,+∞]∪[-a,+∞]可得a∈[-2,+∞]。
解例6时,不少学生错误地得定义域为[0,1]或[0,2]。
正确的答案为[0,2],其中1≤a≤2。
解例5时,由于受教材内容的影响,教材中求定义域的大多数是自然型的,即使得式子有意义的x的取值范围,致使学生误认为给出的f(x)有意义的取值范围便是定义域,事实上给出的f(x)有意义的x的集合,应该是定义域的子集。
解例6反映出学生由值域导出定义域会感到束手无策,在函数教学中,正用概念、公式、得到了高度重视,但由于数学概念的定义项与被定义项之间往往存在着等价关系,忽视了知识的双向性,重视了常规方法,不会异向思维,通过这两例题的教学,有利于纠正这一思维倾向。
4 通过解抽象函数问题,培养学生思维的综合性
创造性思维是一种综合性思维。创造就是重新组合,日本人提出“综合就是创造”。可通过解下面抽象函数问题来培养学生综合思维能力。
例7是否存在函数{(x),同时满足下列三个条件:
①f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy(x,y∈R)
②f(0)=a(a为常数)
③f()=b,(b为常数)
解:条件①中x,y的任意性,隐含着x,y可以“换元”,又可以“赋值”,结合条件②和③,可构造出函数方程组,求出函数表达式。
令x=0,y=t得:f(t)+f(-t)=2acost(1)
令x=+t,y=得:f(€%i+t)+f(t)=0(2)
令x=,y+t得:f(€%i+t)-+f(-t)=2bsint(3)
将(1)+(2)+(3)得:f(t)=acost+bsint故存在f(x)=acost+bsint符合题意。
函数思想、方法观点,是中学数学思想方法两个分支之一,在初等数学中,函数问题可用方程观点去解决。反之,亦然。
关键词函数创新思维能力
中图分类号:G633.6文献标识码:A
创新的基础是创造性思维能力,课堂教学是培养创造性思维能力的主渠道,创新要从课堂上抓起。思维的独特性、灵活性、求异性、综合性是创新思维的重要特点,应把“四性”教学渗透到每一个教学内容之中,笔者以函数教学内容为例,浅析如何在课堂教学中激励学生的创造意识。
1 弄清值域概念,培养思维的独特性
思维的独特性是具有创造性才能的人最重要的思维品质,独特性反映了思维的深度及对本质特征的把握程度,只有触及事物的本质,才能在学习和工作中“独辟蹊径”、“棋高一着”。为了培养学生这种能力,教学中设计了下列两道练习题。
例1已知f(x)的定义域为[a,b],且f(x)在x=a处取得最小值A,在x=b处取得最大值B,试求y=f(x)在[a,b]上的值域。
例2求f(x)=的值域。
例1是无法求值域的;在求解过程中没有学生对题目提出异议,没有独特的见解,有的同学误将答案写为[a,b]。
例2正确答案为[-,0)∪(0,],但有的学生将y=化简成y=sin2x从而得出值域为[-,]忽视了定义域{x|x=k€%i,k∈z}的制约。
值域是函数三要素之一,初等函数的特殊性,给学生造成了这样一种认识:若函数的值域为[m,M],则函数的最大值、最小值分别为M和m;若函数的最小值为m,最大值为M,则其值域为[m,M],实际上前一种认识是正确的,后一种认识是错误的。函数的性质,直接受定义域制约。函数的三要素定义域、值域、对应关系三者之间是相互渗透、相互依赖的,教学中多设几个特例,揭示这三者之间的内在联系和本质区别,有利于独特性思维的发展。
2 多方求函数的值,培养思维的灵活性
创造性思维强调根据不同的对象和条件,具体情况、具体对待,灵活应用,反对一成不变的模式。求函数值的方法是丰富多彩的,为了培养学生灵活求函数值的方法,要求学生计算下面两道习题。
例3已知f(x)=4x-4x+1(x≥0),求f -1(0)
例4已知f(x)=asin3+x3+1,且f()=4+√2,求f(-)
解题时,学生出现不同的解法。
例3解法:方法①应通过原函数与反函数的可逆性,将求f-1(0)转化为求方程f(x)=0的解。方法②有的学生不惜通过繁琐的计算,先求出y=f -1(x),进而求f -1(0)的值。
例4解法:方法①应通过函数的奇偶性,g(x)=f(x)-1,利用g(x)是奇函数这一性质求解最为方便。方法②通过f()=4+√2解出a的值,以确定f(x)的表达式,再将x=-代人,求出f(-)的值。
通过比较,教师指出解例3时,通过函数解析式y=f(x)计算出与x对应的函数值y,这是常见的思路,初、高中课本中有大量这类题型,导致学生思维的单一性,解法繁琐。方法①则灵活、便捷。解例4时,方法①掌握了g(x)是奇函数这一性质,用逆向思维的方法解决,比方法②高明得多。通过这两个例题的教学使学生懂得解题或处理问题时要变通,要实事求是,不要拘泥于教条和模式。
3 深入理解定义域,学会求异思维
创造性思维是对已知知识的重新组合,目的是获得新的思维成果。深入理解函数定义域,有助于发展学生的求异思维。定义域一般分为三种类型;使解析式有意义的自变量的取值范围称为自然型;使实际问题或几何问题有意义的自变量的取值范围称为实际型;人为限制给定的自变量的取值范围称为限制型。为了加深对定义域的理解,求解下面几个例题。
例5已知f(x)=log(x+a),其中a∈R,若x∈[2,+∞]时,f(x)有意义,求a的取值范围。
例6已知f(x)=x3-2x十3的值域为[2,3],试说明该函数的定义域[0,a]所应满足的条件。
解例5时,不少学生错误地认为a=-2;正确解法是:由条件[2,+∞]应该是定义域
的子集,由[2,+∞]∪[-a,+∞]可得a∈[-2,+∞]。
解例6时,不少学生错误地得定义域为[0,1]或[0,2]。
正确的答案为[0,2],其中1≤a≤2。
解例5时,由于受教材内容的影响,教材中求定义域的大多数是自然型的,即使得式子有意义的x的取值范围,致使学生误认为给出的f(x)有意义的取值范围便是定义域,事实上给出的f(x)有意义的x的集合,应该是定义域的子集。
解例6反映出学生由值域导出定义域会感到束手无策,在函数教学中,正用概念、公式、得到了高度重视,但由于数学概念的定义项与被定义项之间往往存在着等价关系,忽视了知识的双向性,重视了常规方法,不会异向思维,通过这两例题的教学,有利于纠正这一思维倾向。
4 通过解抽象函数问题,培养学生思维的综合性
创造性思维是一种综合性思维。创造就是重新组合,日本人提出“综合就是创造”。可通过解下面抽象函数问题来培养学生综合思维能力。
例7是否存在函数{(x),同时满足下列三个条件:
①f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy(x,y∈R)
②f(0)=a(a为常数)
③f()=b,(b为常数)
解:条件①中x,y的任意性,隐含着x,y可以“换元”,又可以“赋值”,结合条件②和③,可构造出函数方程组,求出函数表达式。
令x=0,y=t得:f(t)+f(-t)=2acost(1)
令x=+t,y=得:f(€%i+t)+f(t)=0(2)
令x=,y+t得:f(€%i+t)-+f(-t)=2bsint(3)
将(1)+(2)+(3)得:f(t)=acost+bsint故存在f(x)=acost+bsint符合题意。
函数思想、方法观点,是中学数学思想方法两个分支之一,在初等数学中,函数问题可用方程观点去解决。反之,亦然。