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摘 要：本文研究了在達到救援目的并使所有启程的飞机成功返回基地的前提下，如何能使总燃油量最少，以及在总燃油最少的情况下对应出动的加油机数量。首先，本文通过线性规划，建立了最低耗油量的初步模型。其中，求得总燃油D最少的情况为，离开基地时出动3架加油机为运输机加油，回基地时出动1架。其次，本文对初步模型进行了优化，考虑了不同时加油的情况，得到总耗油量比初步模型总耗油量少约198kg，使模型更加实用。
关键词：空中加油;多元不等式组;运动状态相对静止
引言
在距基地615海里的小岛上发生灾害，急需药品并有一人重伤继续转移治疗。基地现只有最大航程为680海里的飞机，飞机最大油耗量为155kg，但此类飞机可改装成可以装油170kg的空中加油机。
运输机来回一共需要飞两个615海里，然而最大航程仅为680海里，这样在途中就需要加油机为运输机提供燃油，加油机既可以在去的时候中为运输机加油，也可以在回的时候为运输机加油，不同的情况需要出动不同的加油机数量。但是无论出动多少架加油机，前提都是保证加油机与运输机都能够返回基地。
故假设运输机从基地离开飞往小岛的 海里内由于出现故障，导致不能立即加油，引入时间变量 ，但此时加油机和运输机一起飞行，没有形成距离差，即保持相对静止，在经过时间 ，求出距离与时间的关系式，飞行距离的不等式以及方程组，将所求出的结果制成表格，作图，找到在优化模型下所对应的所有可行最优解维修人员便可成功修理好故障后，运输机可成功抵达小岛救助重伤人员，在返回基地的路途中加油，最后和加油机一起返回基地。
1救援模型
1.1 模型准备
1） 运用简单换算，对于题目所给类型的飞机，假设改装后的飞机最大航程为C，
由等式
计算得C≈745海里，即改装飞机最大航程约为745海里。
2） 设K为飞行每海里需要的油，则由题目可得
1.2 救援过程简述
在运输机离开基地与回基地途中，去时与回时分别为A、B段，两段各有一个加油点。运输机自基地出发，在距基地 海里的加油点1处由N架加油机为运输机加油，并加满，加油机返航。运输机在到了岛上放下药品并接上伤员后经B阶段返回基地，返回途中至加油点2处油量耗尽并迅速接受M架加油机加油加至刚好可以返回基地的油量后，加油机与运输机一起返航至基地[1]。
1.3 基地至加油点1段过程分析
运输机与加油机同时由基地出发，到距基地 海里的加油点1处运输机接受 架加油机的加油，设每架加油机为运输机加了足够运输机飞行 海里的油后返程，假设这 架加油机返程落地时刚好用尽剩余所有油[2]。
对于每架加油机来说，所载的油在给了运输机飞 海里的油后剩下的刚好够自己飞回基地。对于运输机来说，飞行 海里消耗的油在加油点1刚好被 架飞机补满。
可得方程组：
1.4 加油点1至加油点2段过程分析
此段中运输机完全用自己油箱中的油，共飞行680海里。运输机飞至小岛降落并放下药品、载上病人出发，在起落不耗油的假设下飞至加油点2耗尽油[3]。
由题设可得加油点1到小岛为615-x海里，因而加油点2与小岛之间的距离为
所以加油点2与基地之间的距离为
1.5 加油点2至基地段过程分析
运输机飞至加油点2时接受 架加油机的加油，加至刚好能飞回基地的油量后，运输机与加油机一同返程。假设每架加油机为运输机加能飞行 y2海里的油。
对于运输机， m架加油机为运输机加至能飞行550-x 海里的油;对于每架加油机，所载的油应能支持飞机飞行不少于 海里[4]。
假设每架加油机在起飞时都是载满油出发，在返程后油箱内还存有能使飞机飞行y2+（550-x）×2海里的油，
1.6救援模型求解
对模型进行求解，分别求解当n=1，2，3，…，100 时在加油点2需要的加油机数量m ，最低耗油量D，
从n=3 开始至n=100 ，[m]的取值已经全部为1，而且变动非常小，minD 的变化程度也非常小。n=4 与n=3 时minD 的差已低于20kg，而且多出动1架飞机，在人力物力上产生更多的成本，因而最优解为n=3 ，[m]=1 ，即在加油点1有3架飞机同时为运输机加油，加油点2有1架飞机为运输机加油，总耗油为460.9158 公斤。
2 A救援模型
由于模型一求解中已经找到最优解为n=3 ，[m]=1 的情况，即在A段有3架加油机给运输机加油， B段有1架加油机给运输机加油。在模型一的基础上，本文尝试找到更加省油的方式[5-6]。
2.1 A段的优化
A 段由在同一加油点加油改为在三个点加油，每架加油机给运输机的加油量仍为飞y1 海里需要的油量。
A 段过程：三架加油机与运输机同时起飞，飞至x1 处，第一架加油机给运输机加满油，然后返航。即对第一架加油机来说，全程耗油量D1为，
其中k为飞行距离与耗油量的换算系数，模型一中已求出，y1 是106.42， x是319.29 。
加油过程结束后，另外两架加油机与油箱装满油的运输机继续前行，飞至距基地2y1 处，第二架加油机给运输机加油，此时运输机又消耗了飞行y1 海里需要的油。第二架加油机给运输机加满后返航，即对第二架加油机来说，全程耗油量D2 为
第二次加油过程结束后，最后一架加油机与油箱装满油的运输机继续前行，飞至距基地3y1海里处，最后一架加油机给运输机加油，将运输机加满油[7-8]。而且由模型一的思路，最后一架加油机在给运输机加完油返程后落地时刚好用完所有油，
参考文献 （References） ：
[1] Shay R C.A TABU search metaheuristic for the air refueling tanker assignment problem ： AD A378299[P].2000.
[2] Derek K E. Air refueling operations planning[P].2001
[3]RonJon Annaballi .空中加油油船分配问题的多蚁群优化Metahuristic [R]. AD报告. ADA400201，2002年3月.
[4] Breet A. Bush. Analysis of Fuel Consumption for an Aircraft Deployment [R]. AD Report. ADA451012. July 2006.
[5]Herrnberger， M.， Sachs， G.， Holzapfel， F.， et al. “Simulation Analysis of Autonomous Aerial Refueling Procedures，” AIAA Guidance， Navigation， and Control Conference and Exhibit， San Francisco， AIAA Paper 2005-5866， Aug. 2005.
[6]J. Vassberg， D. Yeh， A. Blair， and J. Evert. Numerical simulations of KC-10 centerline aerial refueling hose-drogue dynamics with a reel take-up system[R]. AIAA-2004-4719， 2004.
关键词：空中加油;多元不等式组;运动状态相对静止
引言
在距基地615海里的小岛上发生灾害，急需药品并有一人重伤继续转移治疗。基地现只有最大航程为680海里的飞机，飞机最大油耗量为155kg，但此类飞机可改装成可以装油170kg的空中加油机。
运输机来回一共需要飞两个615海里，然而最大航程仅为680海里，这样在途中就需要加油机为运输机提供燃油，加油机既可以在去的时候中为运输机加油，也可以在回的时候为运输机加油，不同的情况需要出动不同的加油机数量。但是无论出动多少架加油机，前提都是保证加油机与运输机都能够返回基地。
故假设运输机从基地离开飞往小岛的 海里内由于出现故障，导致不能立即加油，引入时间变量 ，但此时加油机和运输机一起飞行，没有形成距离差，即保持相对静止，在经过时间 ，求出距离与时间的关系式，飞行距离的不等式以及方程组，将所求出的结果制成表格，作图，找到在优化模型下所对应的所有可行最优解维修人员便可成功修理好故障后，运输机可成功抵达小岛救助重伤人员，在返回基地的路途中加油，最后和加油机一起返回基地。
1救援模型
1.1 模型准备
1） 运用简单换算，对于题目所给类型的飞机，假设改装后的飞机最大航程为C，
由等式
计算得C≈745海里，即改装飞机最大航程约为745海里。
2） 设K为飞行每海里需要的油，则由题目可得
1.2 救援过程简述
在运输机离开基地与回基地途中，去时与回时分别为A、B段，两段各有一个加油点。运输机自基地出发，在距基地 海里的加油点1处由N架加油机为运输机加油，并加满，加油机返航。运输机在到了岛上放下药品并接上伤员后经B阶段返回基地，返回途中至加油点2处油量耗尽并迅速接受M架加油机加油加至刚好可以返回基地的油量后，加油机与运输机一起返航至基地[1]。
1.3 基地至加油点1段过程分析
运输机与加油机同时由基地出发，到距基地 海里的加油点1处运输机接受 架加油机的加油，设每架加油机为运输机加了足够运输机飞行 海里的油后返程，假设这 架加油机返程落地时刚好用尽剩余所有油[2]。
对于每架加油机来说，所载的油在给了运输机飞 海里的油后剩下的刚好够自己飞回基地。对于运输机来说，飞行 海里消耗的油在加油点1刚好被 架飞机补满。
可得方程组：
1.4 加油点1至加油点2段过程分析
此段中运输机完全用自己油箱中的油，共飞行680海里。运输机飞至小岛降落并放下药品、载上病人出发，在起落不耗油的假设下飞至加油点2耗尽油[3]。
由题设可得加油点1到小岛为615-x海里，因而加油点2与小岛之间的距离为
所以加油点2与基地之间的距离为
1.5 加油点2至基地段过程分析
运输机飞至加油点2时接受 架加油机的加油，加至刚好能飞回基地的油量后，运输机与加油机一同返程。假设每架加油机为运输机加能飞行 y2海里的油。
对于运输机， m架加油机为运输机加至能飞行550-x 海里的油;对于每架加油机，所载的油应能支持飞机飞行不少于 海里[4]。
假设每架加油机在起飞时都是载满油出发，在返程后油箱内还存有能使飞机飞行y2+（550-x）×2海里的油，
1.6救援模型求解
对模型进行求解，分别求解当n=1，2，3，…，100 时在加油点2需要的加油机数量m ，最低耗油量D，
从n=3 开始至n=100 ，[m]的取值已经全部为1，而且变动非常小，minD 的变化程度也非常小。n=4 与n=3 时minD 的差已低于20kg，而且多出动1架飞机，在人力物力上产生更多的成本，因而最优解为n=3 ，[m]=1 ，即在加油点1有3架飞机同时为运输机加油，加油点2有1架飞机为运输机加油，总耗油为460.9158 公斤。
2 A救援模型
由于模型一求解中已经找到最优解为n=3 ，[m]=1 的情况，即在A段有3架加油机给运输机加油， B段有1架加油机给运输机加油。在模型一的基础上，本文尝试找到更加省油的方式[5-6]。
2.1 A段的优化
A 段由在同一加油点加油改为在三个点加油，每架加油机给运输机的加油量仍为飞y1 海里需要的油量。
A 段过程：三架加油机与运输机同时起飞，飞至x1 处，第一架加油机给运输机加满油，然后返航。即对第一架加油机来说，全程耗油量D1为，
其中k为飞行距离与耗油量的换算系数，模型一中已求出，y1 是106.42， x是319.29 。
加油过程结束后，另外两架加油机与油箱装满油的运输机继续前行，飞至距基地2y1 处，第二架加油机给运输机加油，此时运输机又消耗了飞行y1 海里需要的油。第二架加油机给运输机加满后返航，即对第二架加油机来说，全程耗油量D2 为
第二次加油过程结束后，最后一架加油机与油箱装满油的运输机继续前行，飞至距基地3y1海里处，最后一架加油机给运输机加油，将运输机加满油[7-8]。而且由模型一的思路，最后一架加油机在给运输机加完油返程后落地时刚好用完所有油，
参考文献 （References） ：
[1] Shay R C.A TABU search metaheuristic for the air refueling tanker assignment problem ： AD A378299[P].2000.
[2] Derek K E. Air refueling operations planning[P].2001
[3]RonJon Annaballi .空中加油油船分配问题的多蚁群优化Metahuristic [R]. AD报告. ADA400201，2002年3月.
[4] Breet A. Bush. Analysis of Fuel Consumption for an Aircraft Deployment [R]. AD Report. ADA451012. July 2006.
[5]Herrnberger， M.， Sachs， G.， Holzapfel， F.， et al. “Simulation Analysis of Autonomous Aerial Refueling Procedures，” AIAA Guidance， Navigation， and Control Conference and Exhibit， San Francisco， AIAA Paper 2005-5866， Aug. 2005.
[6]J. Vassberg， D. Yeh， A. Blair， and J. Evert. Numerical simulations of KC-10 centerline aerial refueling hose-drogue dynamics with a reel take-up system[R]. AIAA-2004-4719， 2004.