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摘 要 建立形象思维与抽象逻辑之间的联系能够有效帮助学生数学学习。小学数学教学可以从多角度观察，寻找思维起点;多层次深入，探寻思维活动;多路径实践，展现思维发展，让学生内隐性思维外化。
关键词 思维 看得见 小学数学 思维品质
小学生的思维发展，是从具体形象阶段逐步走向抽象概括阶段。教师需要通过多种途径和方法，帮助儿童建立形象思维与抽象逻辑之间的联系，让学生直观地理解较为复杂的数学问题。据此，小学数学课堂教学可以构建相关教学路径和方法，展现学生思维的发生、发展与表达的过程，借助“看得见”的思维轨迹，深入探寻学生思维脉络，促进学生思维品质的提升。
一、多角度观察，寻找“看得见”的思维起点
学生是带着各自独立的前认知背景投入新知学习的，学生已有的知识基础和经验影响着学习活动，因此，教师应该通过多种方式，了解学生的起点，由此设计学习活动。
1.画出来，借助表象寻找“看得见”的思维起点
学生的思维活动往往是内隐的，不易察觉。通过画直观图可以展示学生思维过程，让内隐的活动外显化。例如教学“认识负数”时，教师让学生画出示意图表示对生活中负数的理解。如气温-10℃，学生表示方式就有区别：有的是用冬天的情境来说明;有的画了温度计，标上了-10℃;还有学生在温度计上先标出0℃，再向下标出了-10℃。这样，教师能了解学生对负数认识的不同层次：大部分学生停留在生活经验层面，一部分学生对负数有初步直观了解，只有少数学生对负数的认识较为清晰。针对学生的思维起点，教师需要通过多种素材引导学生理解负数是表示两个相反意义的量，学会从数学的角度对生活中的负数做出阐释，提升学生的抽象与概括水平。
2.说出来，借助语言寻找“看得见”的思维起点
教学中可以借助思维的基本工具——语言来了解学生思维状態。创设平等交流、相互对话的课堂氛围，引导学生把心中最真实，最朴素的想法暴露出来;给学生充分表达和交流，甚至是争论、质疑、答辩的时机，让思维产生碰撞;顺应学生思维线索、水平和方向，教师适时引导和提升，展示其思维的发生和发展。
3.做出来，借助操作寻找“看得见”的思维起点
动手“做”数学，是发展学生思维的有效路径，课堂中进行学具操作、动手演示和实验探究，能够让学生全身心投入，在活动中提出问题、形成假设、调整思路、发现规律，思维得以外化显示。例如建立数的概念，可以通过摆一摆圆片和小棒，拨一拨计数器等活动展示学生的思维过程。教学认识11时，有些学生拿出11根小棒，零散放在桌上;有些学生把10根扎成一捆，再拿出1根;还有些学生创造性地用一根较粗的小棒表示1个十，较细的小棒表示1个一。教师将这些表示方法展示出来，在讨论和对比中提升学生对数的理解，学生从前结构水平的认识，过渡到十进制的计数规则，再到理解位值制的计数方法，思考过程经历了从具体实物感知到借助表象理解，再到建立抽象概念，思维发展层次不断提高。
二、多层次深入，探寻“看得见”的思维活动
在解决问题时，借助几何直观和空间想象层层深入地理解和分析，能够展现学生思维发生、发展和表达的过程。
1.动态演示，让思维有迹可循
动态、形象、直观的活动，能够激发学生好奇心，促进学生更深入地思考。例如相遇问题，比较抽象，较难理解。可以让两位学生模拟行走的过程，理解“两地、同时、相向、相遇”等关键信息，再通过线段图理解相遇问题中时间、行走速度、路程之间的关系，学生在头脑中形成动态画面，建立清晰的数量关系。对一些复杂的问题情境、抽象的概念，可以利用视频、计算机软件等多媒体技术，创造丰富、动态、逼真的数学学习情境，及时捕捉学生的思维动态。
2.直观建模，让思维有形可检
教学中可以借助可观察的具体图形、几何模型，运用观察、操作、比较、分析、概括等方法，建立数学模型，从而解决问题。例如计算15×12，我们先后三次运用点子图，为学生思维发展找到抓手，建立从一层走向双层的竖式模型。第一次探究算法，将算式用点子图表示出来，在图上画一画、分一分、算一算，分的方法不同，自然产生了多种计算方法，尝试自我探索的快乐。第二次让学生在图上圈出竖式中每一步计算的意义，找出计算的依据和原型，将算理和算法联系起来。第三次回顾小结，把点子图、横式、竖式的算理算法进行不同层面的勾连，掌握计算方法，理解算理，同时渗透数学的转化思想、模型思想。
3.多元表征，让思维有机联结
从认知阶段论的角度看，动作表征对应的是学生认识事物的直观水平，图像表征对应的是学生认识事物的表象水平，符号表征对应的是学生认识事物的抽象水平[2]。教学中利用多种表征材料与形式，多角度深入理解学习内容，才能实行整体的意义建构。例如乘法分配律的学习，基于生活经验的表征：计算“一件上衣200元，一条裤子60元，妈妈买3套这样的服装，一共要付多少元”;基于动作表征进行理解：用小方块摆出3×5、4×5，两个图形连接起来，用不同算式表示一共的块数。由此，让学习真正发生结构外化表现，对概念获得清晰、深度的理解。
三、多路径实践，展现“看得见”的思维发展
一般而言，学生思维发展过程较为内隐，为了使这一过程能够外显，需要采取多种路径来予以展现。
1.设计挑战性任务，促进学生思维投入
设计有效的、挑战性学习任务，才能让学生在观察、提问、比较、辨析等活动中全身心投入。例如“小数的初步认识”，如果仅将小数的理解作为一种十进制分数规定，就压缩和窄化了学生的思维空间，因此可以通过多重学习任务设计，引发学生积极思维。活动一：收集生活中的小数，在小组内介绍;活动二：画一画、说一说，表示出对0.6的理解;活动三：为“小数”做一个名片标签，评比最佳创意奖。通过“找小数”“说小数”“画小数”等多种任务驱动，学生用文字描述、直观面积图、线段图、示意图等方法表示对小数的理解，活动参与度高，思维投入积极。
2.选择多样性材料，拓展学生思维空间
活动材料是拓展学生思维空间，发展学生思维能力的重要载体和资源。教师要对教材中的主题情境图、活动设计、习题设计进行深度挖掘，选择生活中的素材，作为学生探究的资源。例如探索“和的奇偶性”，可以通过不完全归纳得出结论，还可以用示意图来表示偶数和奇数，从直观的角度理解奇数和偶数的特征，借助直观图示对猜想进行演绎推理，使直观表征和抽象思考相互转化，对规律的认识更为清晰深刻。
3.有效问题驱动，激活思维内在动力
思源于“疑”，教师精心设计问题情境，可以激活学生思维，使其产生内在动力。如活动课“设计游戏”：班级举行套圈活动，怎样才能让游戏公平？请你画出设计图并说明理由。从2人套圈开始，学生在不断的涂画中发现，可以选取两人中间的点，又发现这样的点还有很多，这些点沿着垂直的线上下移动，到线段两端的距离相等。继续让学生思考：3个人套圈怎样画？如果是4名、5名学生套圈呢？人数越来越多的时候，会发生什么变化？在层层递进的挑战性追问中，驱动学生不断去尝试、去调整，真正产生持续思考的动力。
参考文献
[1] 奥苏伯尔.教育心理学[M].佘星南，宋钧，译.北京：人民教育出版社，1994：1.
[2] 王兄.论数学表征系统[J].数学教育学报，2008（03）：8-10.
[责任编辑：陈国庆]
关键词 思维 看得见 小学数学 思维品质
小学生的思维发展，是从具体形象阶段逐步走向抽象概括阶段。教师需要通过多种途径和方法，帮助儿童建立形象思维与抽象逻辑之间的联系，让学生直观地理解较为复杂的数学问题。据此，小学数学课堂教学可以构建相关教学路径和方法，展现学生思维的发生、发展与表达的过程，借助“看得见”的思维轨迹，深入探寻学生思维脉络，促进学生思维品质的提升。
一、多角度观察，寻找“看得见”的思维起点
学生是带着各自独立的前认知背景投入新知学习的，学生已有的知识基础和经验影响着学习活动，因此，教师应该通过多种方式，了解学生的起点，由此设计学习活动。
1.画出来，借助表象寻找“看得见”的思维起点
学生的思维活动往往是内隐的，不易察觉。通过画直观图可以展示学生思维过程，让内隐的活动外显化。例如教学“认识负数”时，教师让学生画出示意图表示对生活中负数的理解。如气温-10℃，学生表示方式就有区别：有的是用冬天的情境来说明;有的画了温度计，标上了-10℃;还有学生在温度计上先标出0℃，再向下标出了-10℃。这样，教师能了解学生对负数认识的不同层次：大部分学生停留在生活经验层面，一部分学生对负数有初步直观了解，只有少数学生对负数的认识较为清晰。针对学生的思维起点，教师需要通过多种素材引导学生理解负数是表示两个相反意义的量，学会从数学的角度对生活中的负数做出阐释，提升学生的抽象与概括水平。
2.说出来，借助语言寻找“看得见”的思维起点
教学中可以借助思维的基本工具——语言来了解学生思维状態。创设平等交流、相互对话的课堂氛围，引导学生把心中最真实，最朴素的想法暴露出来;给学生充分表达和交流，甚至是争论、质疑、答辩的时机，让思维产生碰撞;顺应学生思维线索、水平和方向，教师适时引导和提升，展示其思维的发生和发展。
3.做出来，借助操作寻找“看得见”的思维起点
动手“做”数学，是发展学生思维的有效路径，课堂中进行学具操作、动手演示和实验探究，能够让学生全身心投入，在活动中提出问题、形成假设、调整思路、发现规律，思维得以外化显示。例如建立数的概念，可以通过摆一摆圆片和小棒，拨一拨计数器等活动展示学生的思维过程。教学认识11时，有些学生拿出11根小棒，零散放在桌上;有些学生把10根扎成一捆，再拿出1根;还有些学生创造性地用一根较粗的小棒表示1个十，较细的小棒表示1个一。教师将这些表示方法展示出来，在讨论和对比中提升学生对数的理解，学生从前结构水平的认识，过渡到十进制的计数规则，再到理解位值制的计数方法，思考过程经历了从具体实物感知到借助表象理解，再到建立抽象概念，思维发展层次不断提高。
二、多层次深入，探寻“看得见”的思维活动
在解决问题时，借助几何直观和空间想象层层深入地理解和分析，能够展现学生思维发生、发展和表达的过程。
1.动态演示，让思维有迹可循
动态、形象、直观的活动，能够激发学生好奇心，促进学生更深入地思考。例如相遇问题，比较抽象，较难理解。可以让两位学生模拟行走的过程，理解“两地、同时、相向、相遇”等关键信息，再通过线段图理解相遇问题中时间、行走速度、路程之间的关系，学生在头脑中形成动态画面，建立清晰的数量关系。对一些复杂的问题情境、抽象的概念，可以利用视频、计算机软件等多媒体技术，创造丰富、动态、逼真的数学学习情境，及时捕捉学生的思维动态。
2.直观建模，让思维有形可检
教学中可以借助可观察的具体图形、几何模型，运用观察、操作、比较、分析、概括等方法，建立数学模型，从而解决问题。例如计算15×12，我们先后三次运用点子图，为学生思维发展找到抓手，建立从一层走向双层的竖式模型。第一次探究算法，将算式用点子图表示出来，在图上画一画、分一分、算一算，分的方法不同，自然产生了多种计算方法，尝试自我探索的快乐。第二次让学生在图上圈出竖式中每一步计算的意义，找出计算的依据和原型，将算理和算法联系起来。第三次回顾小结，把点子图、横式、竖式的算理算法进行不同层面的勾连，掌握计算方法，理解算理，同时渗透数学的转化思想、模型思想。
3.多元表征，让思维有机联结
从认知阶段论的角度看，动作表征对应的是学生认识事物的直观水平，图像表征对应的是学生认识事物的表象水平，符号表征对应的是学生认识事物的抽象水平[2]。教学中利用多种表征材料与形式，多角度深入理解学习内容，才能实行整体的意义建构。例如乘法分配律的学习，基于生活经验的表征：计算“一件上衣200元，一条裤子60元，妈妈买3套这样的服装，一共要付多少元”;基于动作表征进行理解：用小方块摆出3×5、4×5，两个图形连接起来，用不同算式表示一共的块数。由此，让学习真正发生结构外化表现，对概念获得清晰、深度的理解。
三、多路径实践，展现“看得见”的思维发展
一般而言，学生思维发展过程较为内隐，为了使这一过程能够外显，需要采取多种路径来予以展现。
1.设计挑战性任务，促进学生思维投入
设计有效的、挑战性学习任务，才能让学生在观察、提问、比较、辨析等活动中全身心投入。例如“小数的初步认识”，如果仅将小数的理解作为一种十进制分数规定，就压缩和窄化了学生的思维空间，因此可以通过多重学习任务设计，引发学生积极思维。活动一：收集生活中的小数，在小组内介绍;活动二：画一画、说一说，表示出对0.6的理解;活动三：为“小数”做一个名片标签，评比最佳创意奖。通过“找小数”“说小数”“画小数”等多种任务驱动，学生用文字描述、直观面积图、线段图、示意图等方法表示对小数的理解，活动参与度高，思维投入积极。
2.选择多样性材料，拓展学生思维空间
活动材料是拓展学生思维空间，发展学生思维能力的重要载体和资源。教师要对教材中的主题情境图、活动设计、习题设计进行深度挖掘，选择生活中的素材，作为学生探究的资源。例如探索“和的奇偶性”，可以通过不完全归纳得出结论，还可以用示意图来表示偶数和奇数，从直观的角度理解奇数和偶数的特征，借助直观图示对猜想进行演绎推理，使直观表征和抽象思考相互转化，对规律的认识更为清晰深刻。
3.有效问题驱动，激活思维内在动力
思源于“疑”，教师精心设计问题情境，可以激活学生思维，使其产生内在动力。如活动课“设计游戏”：班级举行套圈活动，怎样才能让游戏公平？请你画出设计图并说明理由。从2人套圈开始，学生在不断的涂画中发现，可以选取两人中间的点，又发现这样的点还有很多，这些点沿着垂直的线上下移动，到线段两端的距离相等。继续让学生思考：3个人套圈怎样画？如果是4名、5名学生套圈呢？人数越来越多的时候，会发生什么变化？在层层递进的挑战性追问中，驱动学生不断去尝试、去调整，真正产生持续思考的动力。
参考文献
[1] 奥苏伯尔.教育心理学[M].佘星南，宋钧，译.北京：人民教育出版社，1994：1.
[2] 王兄.论数学表征系统[J].数学教育学报，2008（03）：8-10.
[责任编辑：陈国庆]