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学生问题解决能力较弱,主要是问题解决策略的欠缺,因此课堂教学中体悟一些常用的问题解决策略显得尤为重要。本文例举一些常用的问题解决策略。
一、对应策略
对应策略是最基本的数学思想之一。它是通过研究对应数量的变化关系去寻求解决问题途径的一种策略。它有助于培养学生思维的准确性和灵活性。
例 新华书店新到3168本儿童读物,第一天卖出总数的37.5%,第二天卖出总数的1/4,还剩多少本?
分析:这类分数问题的特点是一个具体数量对应着一个分率,因此,抓住对应关系是解答这类分数问题的关键。
本题量率对应关系如下:
儿童读物3168本——→1
第一天卖出的本数—→37.5%
第二天卖出的本数—→1/4
还剩的本数————→1-37.5%-1/4
求还剩多少本,就是求3168本的(1-37.5%-1/4)是多少。学生很容易列出综合算式:3168×(1-37.5%-1/4)=1188(本)。
二、还原策略
有些问题解决要根据题意的叙述顺序,从已知条件的最后结果出发,逐步向前推算出原数,这种问题解决策略叫做还原策略。运用还原策略,逆推时用相反的运算,原来用加的现在用减,也就是原来用减的现在用加,原来用乘的现在用除,原来用除的现在用乘。有时顺向思考不能解决问题,就需要从逆向去思考。这种问题解决策略有助于培养学生思维的多向性。
例1 小明爷爷今年的年纪加上17后,缩小4倍,再减去15之后,扩大10倍,恰好是100岁。小明爷爷是几岁?
分析:这道问题解决用“还原策略”解决就很容易,100岁缩小10倍,加上15之后,再扩大4倍,最后减去17,就是小明爷爷今年的年纪,学生很容易列出综合算式:(100÷10+15)×4—17=83(岁)。
例2 粮食仓库存有一批大米,第一天运走一半,第二天运走剩下的一半,第三天运走第二天剩下的一半,最后还存大米3吨。粮食仓库原存有大米多少吨?
分析:第三天运走的是第二天剩下的一半,说明最后还存的3吨是第二天剩下的一半,因此第二天剩下的是3×2=6(吨);第二天运走的是第一天剩下的一半,说明第二天剩下的6吨是第一天剩下的一半,因此,第一天剩下的是6×2=12(吨);第一天运走的是原存有的一半,说明第一天剩下的12吨是原存有的一半,因此,原存有12×2=24(吨)。
三、假设策略
所谓假设策略,就是根据问题解决中条件作某种设想,则与原题产生矛盾或差异,进而作适当调整,找出原因消除矛盾,从而解决问题。这种问题解决策略能使隐蔽复杂的数量关系明朗化、简单化,从而迅速找到问题解决的途径。
例1 学校买来4张办公桌和6把椅子,共付3790元,每张办公桌比每把椅子贵335元。每张办公桌和每把椅子各多少元?
分析:假设买来的都是办公桌,总价就要加上(335×6)元,一共的钱(3790+335×6)元就是买(4+6)张办公桌的钱,从而就出办公桌的单价:(3790+335×6)÷(4+6)=580(元),再求椅子的单价:580-335245(元)。
分析时也可以假设买来的都是椅子,总价就要减去(335×4)元,剩下的钱(3790-335×4)元就是买(4+6)把椅子的钱,从而就出椅子的单价:(3790-335×4)÷(4+6)=245580(元),再求办公桌的单价:245+335=580(元)。
例2 有一项工程,甲独做需要15天完成,乙独做需要20天完成,开始两人合做,中途甲因病请假几天,所以经过12天才完成任务,甲请假几天?
分析:假设甲中途没有请假,也做了12天,那么两人可完成的工程量是:(1/15+1/20)×12=7/5,而实际两人只完成“1”,超過实际的工作量:7/5-1=2/5.这超过实际的工作量,就是甲请假的工作量,所以甲请假天数为:2/5÷1/15=6(天)。
也可假设甲一天都没有做,那么乙独做12天只能完成的工程量是:1/20)×12=3/5,其余工作量(1-3/5)实际上是甲做的,所以甲实际做了(1-3/5)÷1/15=6(天),甲请假为12-6=6(天)。
四、数形策略
数形结合进行分析思考,引出问题解决思路的策略,叫做数形策略。这种问题解决策略能使问题解决中的数量关系直观地呈现出来,从而化难为易,化繁为简。
例1 六年级138个都订了少儿读物,有5/6的同学订了《作文新天地》,有2/3的同学订了《少年儿童故事报》,这两种读物都订的同学有多少人?
分析:根据题意画出如下集合图:
由图可知,集合图中阴影部分就是两种读物都订的人数。我们可有先算出订《作文新天地》和《少年儿童故事报》的各有多少人,再把订《作文新天地》人数和订《少年儿童故事报》人数加起来,这样阴影部分的人数算了两次,所以,应把订《作文新天地》人数和订《少年儿童故事报》人数的和减去实际订读物人数,就是两种读物都订的人数。综合算式:138×5/6+138×2/3-138=69(人)。
例2 鸡、兔共36只,有脚100只,鸡、兔各多少只?
分析:本题为鸡兔问题。以长方形的长作为鸡、兔的总只数,宽作为一只兔的脚只数(4只),则一只鸡的脚只数(2只)可以用宽的一部分表示,如下图:
如果36只都是兔,那么脚只数应该用整个长方形的面积表示,而实际的脚只数为100只(即阴影部分)。空白部分是假设36只都是兔的脚只数与实际的脚只数的差,利用这个差以及一只兔和一只鸡只数的差就可以求出鸡的只数,即(4×36-100)÷(4-2)=22(只)。然后兔的只数也可求得:36-22=14(只)。
一、对应策略
对应策略是最基本的数学思想之一。它是通过研究对应数量的变化关系去寻求解决问题途径的一种策略。它有助于培养学生思维的准确性和灵活性。
例 新华书店新到3168本儿童读物,第一天卖出总数的37.5%,第二天卖出总数的1/4,还剩多少本?
分析:这类分数问题的特点是一个具体数量对应着一个分率,因此,抓住对应关系是解答这类分数问题的关键。
本题量率对应关系如下:
儿童读物3168本——→1
第一天卖出的本数—→37.5%
第二天卖出的本数—→1/4
还剩的本数————→1-37.5%-1/4
求还剩多少本,就是求3168本的(1-37.5%-1/4)是多少。学生很容易列出综合算式:3168×(1-37.5%-1/4)=1188(本)。
二、还原策略
有些问题解决要根据题意的叙述顺序,从已知条件的最后结果出发,逐步向前推算出原数,这种问题解决策略叫做还原策略。运用还原策略,逆推时用相反的运算,原来用加的现在用减,也就是原来用减的现在用加,原来用乘的现在用除,原来用除的现在用乘。有时顺向思考不能解决问题,就需要从逆向去思考。这种问题解决策略有助于培养学生思维的多向性。
例1 小明爷爷今年的年纪加上17后,缩小4倍,再减去15之后,扩大10倍,恰好是100岁。小明爷爷是几岁?
分析:这道问题解决用“还原策略”解决就很容易,100岁缩小10倍,加上15之后,再扩大4倍,最后减去17,就是小明爷爷今年的年纪,学生很容易列出综合算式:(100÷10+15)×4—17=83(岁)。
例2 粮食仓库存有一批大米,第一天运走一半,第二天运走剩下的一半,第三天运走第二天剩下的一半,最后还存大米3吨。粮食仓库原存有大米多少吨?
分析:第三天运走的是第二天剩下的一半,说明最后还存的3吨是第二天剩下的一半,因此第二天剩下的是3×2=6(吨);第二天运走的是第一天剩下的一半,说明第二天剩下的6吨是第一天剩下的一半,因此,第一天剩下的是6×2=12(吨);第一天运走的是原存有的一半,说明第一天剩下的12吨是原存有的一半,因此,原存有12×2=24(吨)。
三、假设策略
所谓假设策略,就是根据问题解决中条件作某种设想,则与原题产生矛盾或差异,进而作适当调整,找出原因消除矛盾,从而解决问题。这种问题解决策略能使隐蔽复杂的数量关系明朗化、简单化,从而迅速找到问题解决的途径。
例1 学校买来4张办公桌和6把椅子,共付3790元,每张办公桌比每把椅子贵335元。每张办公桌和每把椅子各多少元?
分析:假设买来的都是办公桌,总价就要加上(335×6)元,一共的钱(3790+335×6)元就是买(4+6)张办公桌的钱,从而就出办公桌的单价:(3790+335×6)÷(4+6)=580(元),再求椅子的单价:580-335245(元)。
分析时也可以假设买来的都是椅子,总价就要减去(335×4)元,剩下的钱(3790-335×4)元就是买(4+6)把椅子的钱,从而就出椅子的单价:(3790-335×4)÷(4+6)=245580(元),再求办公桌的单价:245+335=580(元)。
例2 有一项工程,甲独做需要15天完成,乙独做需要20天完成,开始两人合做,中途甲因病请假几天,所以经过12天才完成任务,甲请假几天?
分析:假设甲中途没有请假,也做了12天,那么两人可完成的工程量是:(1/15+1/20)×12=7/5,而实际两人只完成“1”,超過实际的工作量:7/5-1=2/5.这超过实际的工作量,就是甲请假的工作量,所以甲请假天数为:2/5÷1/15=6(天)。
也可假设甲一天都没有做,那么乙独做12天只能完成的工程量是:1/20)×12=3/5,其余工作量(1-3/5)实际上是甲做的,所以甲实际做了(1-3/5)÷1/15=6(天),甲请假为12-6=6(天)。
四、数形策略
数形结合进行分析思考,引出问题解决思路的策略,叫做数形策略。这种问题解决策略能使问题解决中的数量关系直观地呈现出来,从而化难为易,化繁为简。
例1 六年级138个都订了少儿读物,有5/6的同学订了《作文新天地》,有2/3的同学订了《少年儿童故事报》,这两种读物都订的同学有多少人?
分析:根据题意画出如下集合图:
由图可知,集合图中阴影部分就是两种读物都订的人数。我们可有先算出订《作文新天地》和《少年儿童故事报》的各有多少人,再把订《作文新天地》人数和订《少年儿童故事报》人数加起来,这样阴影部分的人数算了两次,所以,应把订《作文新天地》人数和订《少年儿童故事报》人数的和减去实际订读物人数,就是两种读物都订的人数。综合算式:138×5/6+138×2/3-138=69(人)。
例2 鸡、兔共36只,有脚100只,鸡、兔各多少只?
分析:本题为鸡兔问题。以长方形的长作为鸡、兔的总只数,宽作为一只兔的脚只数(4只),则一只鸡的脚只数(2只)可以用宽的一部分表示,如下图:
如果36只都是兔,那么脚只数应该用整个长方形的面积表示,而实际的脚只数为100只(即阴影部分)。空白部分是假设36只都是兔的脚只数与实际的脚只数的差,利用这个差以及一只兔和一只鸡只数的差就可以求出鸡的只数,即(4×36-100)÷(4-2)=22(只)。然后兔的只数也可求得:36-22=14(只)。