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摘 要： 本文主要介绍了工科概率统计中几种容易混淆的知识点，通过具体例子对相关问题进行了说明，并针对如何提高工科学生分析概率统计问题的能力进行了详细的阐述.
关键词： 随机变量 联合分布律 联合密度函数 边缘密度函数
1.引言
概率论与数理统计在我国高校绝大部分工科专业都是一门重要的基础课程，不仅因为它在各个领域中都有十分广泛的应用，而且从人才素质全面培养来说，这门课程是不可或缺的.既然概率统计有如此重要的地位，因此我们应更注重对概率统计的学习.本文旨在通过对不同知识点的说明，让学生更容易地理解概率统计中容易引起混淆的几点问题.
2.事件和随机变量的区别和联系
首先，本书第一章中通常用大写字母A、B、C等表示随机事件，不同的事件用不同的字母表示，在第一章学习中我们会觉得这样的方法很简单明了，而当学习了随机变量之后，我们就不再如此表示事件，而是用一种更简单的方法表示，也就是用随机变量的不同取值表示不同的事件.这时，很多学生会产生疑问：用随机变量表示事件的方式有什么好处？这里不妨用一个例子说明：
例1：接连进行三次射击，每次击中目标的概率均为p，试表示以下事件：
（1）三次射击恰好命中两次；
（2）三次射击至少命中两次；
（3）三次射击都未命中.
解：我们现在有两种方法表示以上三个事件：
第一，用事件表示：
设A ={第i次击中目标}，i=1，2，3.
（1）三次射击恰好命中两次：；A A ∪A A ∪ A A ；
（2）三次射击至少命中两次：A A ∪A A ∪A A ；
（3）三次射击都未命中： .
第二，用随机变量表示：
用随机变量X表示“三次射击中命中目标的次数”，
（1）三次射击恰好命中两次：{X=2}；
（2）三次射击至少命中两次：{X≥2}；
（3）三次射击都未命中：{X=0}.
两者对比，显然用随机变量表示，形式上更加简单、直观，便于操作，实用性更强.
3.二维离散型随机变量的表示方法
在讲授二维离散型随机变量分布的时候，我们以一维情形作基础，由于学习一维离散型时，我们是用分布律或者概率函数的形式描述随机变量X的分布规律：
因此，处理二维离散情形时，如果仍然按照一维的方法：首先列出二维随机变量（X，Y）的可能取值，因为这些可能值是一些二元有序数组，我们会发现分布律的二元有序数组中会重复出现多次x （i=1，2，…），y （i=1，2，…），这种情况将会导致分布律无法直观有效地描述一个二维离散型随机变量的分布规律.因此，处理这类问题时，我们就可以采取另外一种方法将X的可能值与Y的可能值单独列出，再找出对应每一对可能取值的概率：
这样做不仅在形式上更简单，而且更容易观察（X，Y）的分布规律.
4.二维连续型随机变量的边缘分布
学习二维随机变量（X，Y）的边缘分布时，我们要利用二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度函数求X和Y的边缘密度函数f （x）和f （y），此处有一类情况需要更详细的说明.
例2：设随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，其中D={（x，y）|x y ≤1}，求X和Y的边缘密度函数f （x）和f （y）.
解：由题意，（X，Y）的联合密度函数为：
求二维连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度函数在一个变量取值范围内进行积分.当联合概率密度函数是分段函数时，计算积分时应特别注意积分区间.
5.结语
通过一个学期对概率统计的学习，发现没有良好的数理统计知识不可能很好地掌握现实中越来越多的关于统计信息的相关问题，此外，概率统计学习中还会遇到各种各样的问题，需要一一解答.如何有效提高学生利用概率统计方法解决问题的能力显得尤为重要.
要学好概率统计这门课程，首先需要大家对概率统计有初步的认识，了解其重要性，以便提高学生的学习积极性；其次，教学中应给予学生更多的关注，让学生有充分思考的时间，谨防对所学知识一知半解，导致学生在实际运算中存在困难.由于工科专业学生在高中学习中已经积累一定的概率统计知识，并且养成良好的学习习惯，可以充分发挥学生的优势，兼顾效率和平衡；最后，針对学生的课堂反馈及时调整教学方法，根据现实情况，注重安排教学活动的灵活性，为提高学生学习能力和解题能力做出努力.
整个教学过程中会有各种各样的问题需要解决，要求教师和学生充分利用各种学校资源和网络资源，不仅在课堂上及时调整学习和教学方法，更要在课后进行总结，以便达到最好的学习和教学效果.
参考文献：
[1]同济大学数学系.概率统计简明教程[M].北京：高等教育出版社，2012.
[2]韩明.工科“概率统计”中的几个问题[J].高等数学研究，2009，（1）：86-88.
[3]张淑婷.高校概率统计教学中的几点思考[J].吉林广播电视大学学报，2016，（5）：78-79.
[4]陈雪平，马强.本科概率统计教学的几点探索[J].江苏理工学院学报，2010，（9）：89-92.
[5]谭希丽，徐冬梅.概率统计课程教学方法的几点体会[J].高等数学研究，2011，（1）：
基金项目：宿州学院教学研究项目（szxy2015jy09）。
关键词： 随机变量 联合分布律 联合密度函数 边缘密度函数
1.引言
概率论与数理统计在我国高校绝大部分工科专业都是一门重要的基础课程，不仅因为它在各个领域中都有十分广泛的应用，而且从人才素质全面培养来说，这门课程是不可或缺的.既然概率统计有如此重要的地位，因此我们应更注重对概率统计的学习.本文旨在通过对不同知识点的说明，让学生更容易地理解概率统计中容易引起混淆的几点问题.
2.事件和随机变量的区别和联系
首先，本书第一章中通常用大写字母A、B、C等表示随机事件，不同的事件用不同的字母表示，在第一章学习中我们会觉得这样的方法很简单明了，而当学习了随机变量之后，我们就不再如此表示事件，而是用一种更简单的方法表示，也就是用随机变量的不同取值表示不同的事件.这时，很多学生会产生疑问：用随机变量表示事件的方式有什么好处？这里不妨用一个例子说明：
例1：接连进行三次射击，每次击中目标的概率均为p，试表示以下事件：
（1）三次射击恰好命中两次；
（2）三次射击至少命中两次；
（3）三次射击都未命中.
解：我们现在有两种方法表示以上三个事件：
第一，用事件表示：
设A ={第i次击中目标}，i=1，2，3.
（1）三次射击恰好命中两次：；A A ∪A A ∪ A A ；
（2）三次射击至少命中两次：A A ∪A A ∪A A ；
（3）三次射击都未命中： .
第二，用随机变量表示：
用随机变量X表示“三次射击中命中目标的次数”，
（1）三次射击恰好命中两次：{X=2}；
（2）三次射击至少命中两次：{X≥2}；
（3）三次射击都未命中：{X=0}.
两者对比，显然用随机变量表示，形式上更加简单、直观，便于操作，实用性更强.
3.二维离散型随机变量的表示方法
在讲授二维离散型随机变量分布的时候，我们以一维情形作基础，由于学习一维离散型时，我们是用分布律或者概率函数的形式描述随机变量X的分布规律：
因此，处理二维离散情形时，如果仍然按照一维的方法：首先列出二维随机变量（X，Y）的可能取值，因为这些可能值是一些二元有序数组，我们会发现分布律的二元有序数组中会重复出现多次x （i=1，2，…），y （i=1，2，…），这种情况将会导致分布律无法直观有效地描述一个二维离散型随机变量的分布规律.因此，处理这类问题时，我们就可以采取另外一种方法将X的可能值与Y的可能值单独列出，再找出对应每一对可能取值的概率：
这样做不仅在形式上更简单，而且更容易观察（X，Y）的分布规律.
4.二维连续型随机变量的边缘分布
学习二维随机变量（X，Y）的边缘分布时，我们要利用二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度函数求X和Y的边缘密度函数f （x）和f （y），此处有一类情况需要更详细的说明.
例2：设随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，其中D={（x，y）|x y ≤1}，求X和Y的边缘密度函数f （x）和f （y）.
解：由题意，（X，Y）的联合密度函数为：
求二维连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度函数在一个变量取值范围内进行积分.当联合概率密度函数是分段函数时，计算积分时应特别注意积分区间.
5.结语
通过一个学期对概率统计的学习，发现没有良好的数理统计知识不可能很好地掌握现实中越来越多的关于统计信息的相关问题，此外，概率统计学习中还会遇到各种各样的问题，需要一一解答.如何有效提高学生利用概率统计方法解决问题的能力显得尤为重要.
要学好概率统计这门课程，首先需要大家对概率统计有初步的认识，了解其重要性，以便提高学生的学习积极性；其次，教学中应给予学生更多的关注，让学生有充分思考的时间，谨防对所学知识一知半解，导致学生在实际运算中存在困难.由于工科专业学生在高中学习中已经积累一定的概率统计知识，并且养成良好的学习习惯，可以充分发挥学生的优势，兼顾效率和平衡；最后，針对学生的课堂反馈及时调整教学方法，根据现实情况，注重安排教学活动的灵活性，为提高学生学习能力和解题能力做出努力.
整个教学过程中会有各种各样的问题需要解决，要求教师和学生充分利用各种学校资源和网络资源，不仅在课堂上及时调整学习和教学方法，更要在课后进行总结，以便达到最好的学习和教学效果.
参考文献：
[1]同济大学数学系.概率统计简明教程[M].北京：高等教育出版社，2012.
[2]韩明.工科“概率统计”中的几个问题[J].高等数学研究，2009，（1）：86-88.
[3]张淑婷.高校概率统计教学中的几点思考[J].吉林广播电视大学学报，2016，（5）：78-79.
[4]陈雪平，马强.本科概率统计教学的几点探索[J].江苏理工学院学报，2010，（9）：89-92.
[5]谭希丽，徐冬梅.概率统计课程教学方法的几点体会[J].高等数学研究，2011，（1）：
基金项目：宿州学院教学研究项目（szxy2015jy09）。