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美的客观来源有自然美和社会美;美的社会形态有艺术美和科学美。数学美是科学美的核心部分。随着各门科学数学化的进程与日俱增,数学在科学中的地位日益提高,因而数学美在科学美中的代表性日益显著。所谓数学美是数学科学的本质力量的感性与理性的显现,是一种人的本质力量通过宜人的数学结构的显现。是否能领悟数学美,取决于数学素养。要领悟数学美,必须以熟悉数学内容为基础,懂得基本概念、公式、符号和逻辑等等。因为美的主要形式就是秩序、均称和确定性,所以数学概念的简单性、统一性、结构系统的协调性、对称性、数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性,还有数学中的奇异性等都是数学美的具体内容。下面我们重点来研究有关数学中的对称美。
现代中学数学教学内容中,展现了丰富的形与数的形象对称与抽象对称,中学数学解题方法中也渗透了对称的思想。对称性是数学美的最重要的特征。著名德国数学家和物理学家魏尔说:“美和对称紧密相连。”对称能给人们以美感。对称美是自然美在数学中的表现。由于客观世界中各种各样对称事物,引起无穷无尽的数的对称和形的对称。几何中的轴对称、中心对称,代数中的许多公式都能给人以美感。发掘学生对数学的审美能力,这对引发学生的数学兴趣和学习上都有很大的帮助。现在我们来谈谈对称性在中学数学中的应用。
一、对称性在代数公式中的体现
为了欣赏数学中处处存在的对称性,在此展现因式分解中的几个公式。
1.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)。
2.完全平方和公式:(a+b)2=a2+2ab+b2。
3.完全平方差公式:(a-b)2=a2-2ab+b2。
4.立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)。
5.立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。
观察上述的每一个公式,它们在公式中的地位是一样的,其形态是多么对称,多么漂亮,这美正是数学中的对称美。如果学生在学习这些公式的过程中,能领悟数学的对称美,那么他们记忆这些公式和运用这些公式都会容易得多。
二、轴对称在对称美的表现
轴对称是指两个图形关于直线对称,即把一个图形沿着某一条直线折叠,能够与另一个图形重合。轴对称,是数学对称美的一种极富特色的表现形式。由轴对称的定义可以直接得到,关于某条直线对称的两个图形是全等形。几何中的轴对称图形,是指一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合。所以轴对称是一个具有特殊形状的图形,它体现了数学中的对称美。如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形就是关于这条轴对称。中外许多著名的建筑物,例如:北京天坛祈年殿、扬州瘦西湖五亭桥、印度泰姬陵、澳大利亚悉尼歌剧院、日本蒲群市和平纪念塔都体现数学中的对称美,这些建筑都是根据数学轴对称图形的特点设计出来的,我们在学习中心对称的时候,可以用构成中心对称的美丽图案来激发学生学习的兴趣,提高数学素质。所以数学的对称美处处可以体现出来。
三、等腰三角形的对称美
等腰三角形作为一种几何图形,它具有对称性(体现于轴对称图形),等腰三角形沿它底边的垂直平分线折叠,两旁的部分互相重合。等腰三角形是一个轴对称图形,底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线都是它的对称轴。我们凭直觉就能感受到,等边对等角的图形能引起人的快感,几乎无需借助抽象思维,我们就能让学生领悟到图形静态的对称美。尤其是等边三角形,它是一种特殊的等腰三角形,即腰和底都相等的等腰三角形。等边三角形不仅能体现静态的对称美,还能体现动态的对称美,因为无论从哪个角度去研究,它的任何一个角都可以看作是顶角和底角,任何一条边都可以看作是腰和底。也因此我们得到等边三角形所具有的一些一般等腰三角形没有的性质:等边三角形的每一条边都相等,每一个角都相等,即每个角都等于60º。还有,例如等腰三角形的性质定理的证明思想就运用了对称的思想。
等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
已知:△ABC中,AB=AC,求证:∠B=∠C。
分析:把等腰三角形的两腰叠在一起,发现它的两个底角重合,而折痕刚好就是顶角的角平分线,这为如何恰当添辅助线埋下了伏笔,当中就运用了对称的思想。
证明:作顶角的平分线AD。
在△BAD和△CAD中,AB=AC(已知)。
∴∠BAD=∠CAD(辅助线作法);
∴AD=AD;
∵∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)。
四、对称在中学解题的应用
利用题目所蕴涵的对称性在解题中会带来很大的便利,下面我们来看个利用对称性在中学解题应用的例子。
例:如右图(略),在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD于O,中位线EF=m,求此梯形的高。
解:过AD、BC的中点H、G作直线HG,则HG为等腰梯形ABCD的对称轴,O点在HG上,且OA=OD,OB=OC,又AC⊥BD,所以△AOD和△OBC均为等腰直角三角形。
现代中学数学教学内容中,展现了丰富的形与数的形象对称与抽象对称,中学数学解题方法中也渗透了对称的思想。对称性是数学美的最重要的特征。著名德国数学家和物理学家魏尔说:“美和对称紧密相连。”对称能给人们以美感。对称美是自然美在数学中的表现。由于客观世界中各种各样对称事物,引起无穷无尽的数的对称和形的对称。几何中的轴对称、中心对称,代数中的许多公式都能给人以美感。发掘学生对数学的审美能力,这对引发学生的数学兴趣和学习上都有很大的帮助。现在我们来谈谈对称性在中学数学中的应用。
一、对称性在代数公式中的体现
为了欣赏数学中处处存在的对称性,在此展现因式分解中的几个公式。
1.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)。
2.完全平方和公式:(a+b)2=a2+2ab+b2。
3.完全平方差公式:(a-b)2=a2-2ab+b2。
4.立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)。
5.立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。
观察上述的每一个公式,它们在公式中的地位是一样的,其形态是多么对称,多么漂亮,这美正是数学中的对称美。如果学生在学习这些公式的过程中,能领悟数学的对称美,那么他们记忆这些公式和运用这些公式都会容易得多。
二、轴对称在对称美的表现
轴对称是指两个图形关于直线对称,即把一个图形沿着某一条直线折叠,能够与另一个图形重合。轴对称,是数学对称美的一种极富特色的表现形式。由轴对称的定义可以直接得到,关于某条直线对称的两个图形是全等形。几何中的轴对称图形,是指一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合。所以轴对称是一个具有特殊形状的图形,它体现了数学中的对称美。如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形就是关于这条轴对称。中外许多著名的建筑物,例如:北京天坛祈年殿、扬州瘦西湖五亭桥、印度泰姬陵、澳大利亚悉尼歌剧院、日本蒲群市和平纪念塔都体现数学中的对称美,这些建筑都是根据数学轴对称图形的特点设计出来的,我们在学习中心对称的时候,可以用构成中心对称的美丽图案来激发学生学习的兴趣,提高数学素质。所以数学的对称美处处可以体现出来。
三、等腰三角形的对称美
等腰三角形作为一种几何图形,它具有对称性(体现于轴对称图形),等腰三角形沿它底边的垂直平分线折叠,两旁的部分互相重合。等腰三角形是一个轴对称图形,底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线都是它的对称轴。我们凭直觉就能感受到,等边对等角的图形能引起人的快感,几乎无需借助抽象思维,我们就能让学生领悟到图形静态的对称美。尤其是等边三角形,它是一种特殊的等腰三角形,即腰和底都相等的等腰三角形。等边三角形不仅能体现静态的对称美,还能体现动态的对称美,因为无论从哪个角度去研究,它的任何一个角都可以看作是顶角和底角,任何一条边都可以看作是腰和底。也因此我们得到等边三角形所具有的一些一般等腰三角形没有的性质:等边三角形的每一条边都相等,每一个角都相等,即每个角都等于60º。还有,例如等腰三角形的性质定理的证明思想就运用了对称的思想。
等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
已知:△ABC中,AB=AC,求证:∠B=∠C。
分析:把等腰三角形的两腰叠在一起,发现它的两个底角重合,而折痕刚好就是顶角的角平分线,这为如何恰当添辅助线埋下了伏笔,当中就运用了对称的思想。
证明:作顶角的平分线AD。
在△BAD和△CAD中,AB=AC(已知)。
∴∠BAD=∠CAD(辅助线作法);
∴AD=AD;
∵∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)。
四、对称在中学解题的应用
利用题目所蕴涵的对称性在解题中会带来很大的便利,下面我们来看个利用对称性在中学解题应用的例子。
例:如右图(略),在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD于O,中位线EF=m,求此梯形的高。
解:过AD、BC的中点H、G作直线HG,则HG为等腰梯形ABCD的对称轴,O点在HG上,且OA=OD,OB=OC,又AC⊥BD,所以△AOD和△OBC均为等腰直角三角形。