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【摘 要】在数学课堂上教师如何运用启发性提示语对学生进行引导，是一种值得我们思考的艺术。本文从对教材的思考、对学生的思考、对教师的思考三个方面研究了数学课堂中启发性提示语的作用。
【关键词】数学教学；启发性提示语
数学教学不是一门科学，而是一种艺术。教师在传授知识的过程中如何启发，才能引起学生的兴趣，引发思考（其实这点才是真正的教学目的），是值得我们研究的。
我们常说，启发式教学是最好的数学教学方法，其实当前流行的建构主义、有意义学习、探究教学等理论本质上都以启发式教学为基础。启发式的核心是“问题”，即启发式教学的主要方式是利用启发性提示语进行教学，因此，富有创造性地对学生进行启发，让学生在有趣的问题中学到真正的数学知识，才是数学教学的艺术。
教师如何才能对学生进行有效的启发性提示呢？笔者认为应从下面几个方面入手：理解教材、相信学生、明确定位。
一、理解教材
1.数学教师应理解教材思想
作为一名优秀的数学教师，想要流畅地和学生讨论完一节课，教师首先应理解教材的思想，不仅要理解教材以文字表述的思想，而且要理解编著者在著述教材时动态的思维活动。事实上，教材里不仅有教材作者的思想，还有许多科学上先驱者的思想，不仅要理解他们动态的思维活动，而且要把思维活动的“慢镜头”展现出来。波利亚就在《数学与猜想》的第三章中把欧拉猜想T+V=E+2的慢镜头展现在我们的面前，为我们做出了示范。
数学教师还应在理解教材作者的思想的基础上，阐述其思想。要阐述教材作者思想的来龙去脉和突出特征，要阐述其内涵与外延。最重要的是，要把教材作者的思想转化为自己的思想，并以自己特有的方式向学生阐述，这时教师的个人魅力就彰显出来了。波利亚在《数学的发现》一书中就是这样阐述笛卡尔的思想的 。他的方法就是在字里行间多下工夫，在教材作者认为显然的地方，多问几个为什么，只有这样教师的思维才能畅通，才能打开学生的思维。
2.数学教师应把握数学本质
对数学教学而言，教师最重要的应是把握数学的本质。
何谓数学的本质：
（1）动态的数学知识结构。现在的数学课程已经从静态的知识结论转向动态的知识结构，教师具有较大的空间，可以创造性地使用教材，可以为学生提供丰富的学习素材，将学生完全融入动态的数学知识结构，进而获得对数学知识的意义和价值的双重建构。
（2）丰富的数学思想方法。数学思想方法是指人们对数学知识内容的本质认识，对所使用的方法和规律的理性认识。它是数学知识的本质，是研究数学理论和运用数学解决实际问题的指导思想和解题策略。如果学生能够掌握数学思想方法，会对其终身的数学发现与创造发生深刻而持久的影响。
只有教师对数学概念或命题的本质把握清楚，才能用合适的方式向学生揭示他们所要认识的数学对象，从而有效地对学生进行启发引导。
二、相信学生
有些教师生怕学生听不懂、基础不牢、技巧不熟，一节课恨不得全是他在讲。老师很辛苦，学生也不轻松，被灌输了过多的來不及消化的识，结果却适得其反。
有句名言在这里很切题：“令人讨厌的艺术就是把什么都说出来了”。教师一定要耐心倾听，相信学生，必要时只须简短的提醒“接着说”，“再说一下”，“能不能换一种说法”，“可不可更完善一些”，“听懂没有”，“没听懂？那你能不能把他说懂？”，“听懂了？那请你重新说一遍。”，“你能不能用自己的话把他的意思说一遍？”。尤其不要代替学生说，这样有利于学生独立主动思考，有利于澄清含义，有利于更多人理解含义，有利于学生提高语言表达能力。教师应启发引导，要给出目标，可以设计几个启发探究的问题，这些问题实际是提供探究的线索，学生循着线索，自己去独立思考，发现结论，达到目标。这个过程中，学生首先知道目标，其次知道自己要寻找一些线索，使得这些线索成为指引思考的方向。不会探究，教师提供线索；学会了探究，就能自己寻找线索不需要老师了。
三、明确定位
教师的作用就是“教学向导”，启发引导学生进行主动探究、学习。卢梭有一句名言：“问题不在于告诉他一个真理，而在于叫他怎样去发现真理。”教师首先应给学生提供一个问题情境，问题情境的选择有以下特点：本质化、简单化、直观化、生活化、多样化。即情境问题的选择要能起到最好地揭示和区分数学对象、模型本质的作用，不用在非本质的地方花太多时间，从提供直观材料抽象出数学本质的过程有利于学生抽象思维的培养，可以让数学课堂充满生气。这里以“计数原理”一课为例，适宜的一个情境可以为：
问题一：李响被北京大学录取，要开学了，从南京到北京，一天当中火车有2班，飞机有4班，那么一天中乘坐这些交通工具从南京到北京会有多少种不同的走法？
问题二：他先乘火车从南京至上海，一天后乘飞机从上海到北京。每一天火车有4班，飞机有3班，那么从南京到北京有多少种不同的走法？
若情境选择像“书架取书”类似的问题，分步特征并不明显，不能突出数学对象的本质，就不适宜了。则这里需要发挥教师的聪明才智，情境如何编排才最适合自己的学生，如“甲地到乙地”，南京的老师可以说是“南京到北京”“南京到上海”。若是一位徐州的老师也这样说就不合适了，这就不符合徐州学生的生活实际，这里完全可以改成“徐州到连云港”“徐州到南京”等。
教学不是一门科学，而是一门艺术。波利亚曾戏言教学像唱戏，像表演。教师的每一句提示、启发，都有表演的痕迹，而教学的艺术就是教师如何谨慎地、不露痕迹地帮助学生，给学生一些独立的空间，使之成为真正主动的学习者。
【参考文献】
[1][美]G.波利亚.数学与猜想（第一卷）[M].李心灿译.北京：科学出版社，1984.
[2][美]G.波利亚.数学的发现[M].刘景麟译.北京：科学出版社出版社，2011.
[3]喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社，2008.
[4]涂荣豹.数学教学认识论[M].南京：南京师范大学出版社，2003.
[5]宁连华.数学探究学习论[M].北京：高等教育出版社，2008.
[6]杨孝斌.数学教学思维导向的研究[M].成都：四川大学出版社，2010.
[7]涂荣豹.论数学教育研究的规范性[J].数学教育学报，2003，（11）.
[8]涂荣豹.教与数学对应原理的实践——对“函数单调性”教学设计的思考[J].数学教育学报，2004，（11）.
【关键词】数学教学；启发性提示语
数学教学不是一门科学，而是一种艺术。教师在传授知识的过程中如何启发，才能引起学生的兴趣，引发思考（其实这点才是真正的教学目的），是值得我们研究的。
我们常说，启发式教学是最好的数学教学方法，其实当前流行的建构主义、有意义学习、探究教学等理论本质上都以启发式教学为基础。启发式的核心是“问题”，即启发式教学的主要方式是利用启发性提示语进行教学，因此，富有创造性地对学生进行启发，让学生在有趣的问题中学到真正的数学知识，才是数学教学的艺术。
教师如何才能对学生进行有效的启发性提示呢？笔者认为应从下面几个方面入手：理解教材、相信学生、明确定位。
一、理解教材
1.数学教师应理解教材思想
作为一名优秀的数学教师，想要流畅地和学生讨论完一节课，教师首先应理解教材的思想，不仅要理解教材以文字表述的思想，而且要理解编著者在著述教材时动态的思维活动。事实上，教材里不仅有教材作者的思想，还有许多科学上先驱者的思想，不仅要理解他们动态的思维活动，而且要把思维活动的“慢镜头”展现出来。波利亚就在《数学与猜想》的第三章中把欧拉猜想T+V=E+2的慢镜头展现在我们的面前，为我们做出了示范。
数学教师还应在理解教材作者的思想的基础上，阐述其思想。要阐述教材作者思想的来龙去脉和突出特征，要阐述其内涵与外延。最重要的是，要把教材作者的思想转化为自己的思想，并以自己特有的方式向学生阐述，这时教师的个人魅力就彰显出来了。波利亚在《数学的发现》一书中就是这样阐述笛卡尔的思想的 。他的方法就是在字里行间多下工夫，在教材作者认为显然的地方，多问几个为什么，只有这样教师的思维才能畅通，才能打开学生的思维。
2.数学教师应把握数学本质
对数学教学而言，教师最重要的应是把握数学的本质。
何谓数学的本质：
（1）动态的数学知识结构。现在的数学课程已经从静态的知识结论转向动态的知识结构，教师具有较大的空间，可以创造性地使用教材，可以为学生提供丰富的学习素材，将学生完全融入动态的数学知识结构，进而获得对数学知识的意义和价值的双重建构。
（2）丰富的数学思想方法。数学思想方法是指人们对数学知识内容的本质认识，对所使用的方法和规律的理性认识。它是数学知识的本质，是研究数学理论和运用数学解决实际问题的指导思想和解题策略。如果学生能够掌握数学思想方法，会对其终身的数学发现与创造发生深刻而持久的影响。
只有教师对数学概念或命题的本质把握清楚，才能用合适的方式向学生揭示他们所要认识的数学对象，从而有效地对学生进行启发引导。
二、相信学生
有些教师生怕学生听不懂、基础不牢、技巧不熟，一节课恨不得全是他在讲。老师很辛苦，学生也不轻松，被灌输了过多的來不及消化的识，结果却适得其反。
有句名言在这里很切题：“令人讨厌的艺术就是把什么都说出来了”。教师一定要耐心倾听，相信学生，必要时只须简短的提醒“接着说”，“再说一下”，“能不能换一种说法”，“可不可更完善一些”，“听懂没有”，“没听懂？那你能不能把他说懂？”，“听懂了？那请你重新说一遍。”，“你能不能用自己的话把他的意思说一遍？”。尤其不要代替学生说，这样有利于学生独立主动思考，有利于澄清含义，有利于更多人理解含义，有利于学生提高语言表达能力。教师应启发引导，要给出目标，可以设计几个启发探究的问题，这些问题实际是提供探究的线索，学生循着线索，自己去独立思考，发现结论，达到目标。这个过程中，学生首先知道目标，其次知道自己要寻找一些线索，使得这些线索成为指引思考的方向。不会探究，教师提供线索；学会了探究，就能自己寻找线索不需要老师了。
三、明确定位
教师的作用就是“教学向导”，启发引导学生进行主动探究、学习。卢梭有一句名言：“问题不在于告诉他一个真理，而在于叫他怎样去发现真理。”教师首先应给学生提供一个问题情境，问题情境的选择有以下特点：本质化、简单化、直观化、生活化、多样化。即情境问题的选择要能起到最好地揭示和区分数学对象、模型本质的作用，不用在非本质的地方花太多时间，从提供直观材料抽象出数学本质的过程有利于学生抽象思维的培养，可以让数学课堂充满生气。这里以“计数原理”一课为例，适宜的一个情境可以为：
问题一：李响被北京大学录取，要开学了，从南京到北京，一天当中火车有2班，飞机有4班，那么一天中乘坐这些交通工具从南京到北京会有多少种不同的走法？
问题二：他先乘火车从南京至上海，一天后乘飞机从上海到北京。每一天火车有4班，飞机有3班，那么从南京到北京有多少种不同的走法？
若情境选择像“书架取书”类似的问题，分步特征并不明显，不能突出数学对象的本质，就不适宜了。则这里需要发挥教师的聪明才智，情境如何编排才最适合自己的学生，如“甲地到乙地”，南京的老师可以说是“南京到北京”“南京到上海”。若是一位徐州的老师也这样说就不合适了，这就不符合徐州学生的生活实际，这里完全可以改成“徐州到连云港”“徐州到南京”等。
教学不是一门科学，而是一门艺术。波利亚曾戏言教学像唱戏，像表演。教师的每一句提示、启发，都有表演的痕迹，而教学的艺术就是教师如何谨慎地、不露痕迹地帮助学生，给学生一些独立的空间，使之成为真正主动的学习者。
【参考文献】
[1][美]G.波利亚.数学与猜想（第一卷）[M].李心灿译.北京：科学出版社，1984.
[2][美]G.波利亚.数学的发现[M].刘景麟译.北京：科学出版社出版社，2011.
[3]喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社，2008.
[4]涂荣豹.数学教学认识论[M].南京：南京师范大学出版社，2003.
[5]宁连华.数学探究学习论[M].北京：高等教育出版社，2008.
[6]杨孝斌.数学教学思维导向的研究[M].成都：四川大学出版社，2010.
[7]涂荣豹.论数学教育研究的规范性[J].数学教育学报，2003，（11）.
[8]涂荣豹.教与数学对应原理的实践——对“函数单调性”教学设计的思考[J].数学教育学报，2004，（11）.