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高考题并不是“从天而降”，往往是“缘于教材”．教材中一些好的习题素材会成为高考题命制的灵感和源泉，而高考题又为我们在复习教学中编制新题目提供借鉴和启发．本文从2008年江苏省的一道高考数学试题的解法分析着手，尝试进行一些拓展与探究．
一、一道高考数学试题的解法分析
2008年江苏省高考数学试卷第13题 ：在△ABC中，若AB=2，AC=2BC，则S△ABC的最大值= ．
【分析1】 这是一道解斜三角形问题，已知三角形三条边的关系，求三角形面积的最大值．学生首先会想到利用正、余弦定理开始尝试．
【解】 设BC=a，AC=2a．
所以S△ABC的最大值为14•128=22．
【反思】 基于本题中出现的背景，运用正、余弦定理解三角形是学生会普遍采用的方案，但是运算过程中有比较复杂的化简和高次函数的最值问题，又使得解题过程充满着未知与神秘，学生往往做不到底．
【分析2】 从解析几何的角度考虑，点A、B可以看作是定点，由于动点C到点A的距离是到点B距离的2倍，因此可以求出动点C的轨迹方程．从而S△ABC的最大值问题就转化为求点C到直线AB的距离问题．
【解】 建立如图所示的平面直角坐标系，不妨取A(－1, 0)，B(1, 0)，C(x, y)．
由已知可列方程，
（x+1)2+y2=2•(x-1)2+y2，
化简得，x2+y2-6x+1=0．
所以可知点C在半径为22的圆上运动(且不在直线AB上)．
于是点C到直线AB(即x轴)的最大距离是22，
所以S△ABC的最大值为12×2×22=22．
反思：基于试题的几何背景，由数联想到形，充分使用数形结合法，挖掘了图形的可变性与不变量，使得解题具有较强的观赏性．同时，深入研究教材会发现，本题在教材中有原型，即苏教版必修《数学2》中，第100页习题2．2第10题：
已知点M(x, y)与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为12，那么点M的坐标应满足什么关系?画出满足条件的点M所形成的曲线．
二、基于高考试题的改编题的解法探究
高考题可以由教材上的习题素材改编变化而来，同时，高考题也是我们改编创新习题，进行变式教学的取之不尽、用之不竭的源泉．笔者受2008年江苏省高考数学试卷第13题的启发，进行了以下的拓展探索．
改编题1:在△ABC中，若AB=2，C=60°，则S△ABC的最大值= ．
【分析1】 这是一道解三角形问题，根据题目的已知条件，可以运用正弦定理将边AC和边BC分别用sinB和sinA表示，进而把S△ABC表示出来，建立目标函数．
【解】 在△ABC中，由正弦定理，
有BCsinA=ACsinB=2sin60°,
故BC=433sinA，
且AC=433sinB．
所以S△ABC=12AC•BC•sin60°
=433sinA•sinB
=433sinA•sin(120°-A)
=233sin(2A-30°)+33.
因为0°＜A＜120°，所以当且仅当A=60°时，S△ABC有最大值，且最大值为3．
【分析2】 由于题目已知一条边及其所对的角，很容易联想到余弦定理．
【解】 设边AC和BC的长分别是b和a，在△ABC中，由余弦定理可得，
a2+b2-2ab•cos 60°=4，即．a2+b2-ab=4.
根据基本不等式，有a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，即ab≤4(当且仅当a=b时取等号)．
所以S△ABC=12absin60°≤3，即S△ABC的最大值为3．
【分析3】 根据AB=2及C=60°，可联想到点C在一个定圆上运动，∠C是劣弧AB所对的圆周角，从而可以利用数形结合法从直观上进行突破．
【解】 如图所示，点C在优弧AB上运动，根据圆的几何性质，当且仅当点C在弦AB的垂直平分线上时，点C到AB的距离最大，从而S△ABC最大．此时CA=CB，即△ABC是正三角形，所以S△ABC的最大值是34•22=3．
【反思】 本题主要考查学生灵活运用正、余弦定理解斜三角形，以及基本不等式和三角函数恒等变换等知识，要求学生仔细审题，充分挖掘隐含条件，从多个角度来思考问题．同时，本题也是笔者缘于教材中一道习题的改编，具体参见苏教版必修《数学5》第21页，习题1．3第6题：
把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120°，如何锯断木条，才能使第三条边AC最短？
改编题2：在平面直角坐标系中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长为30，焦点分别为F1,F2．若椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，则|F1F2|的最小值为 ．
【分析1】 这是一道圆锥曲线中的最值问题，可以利用焦半径公式表示PF1和PF2，然后△PF1F2在中利用余弦定理建立等量关系，利用椭圆上点的横坐标x0的取值范围建立不等关系求解最值．
【解】 设点P（x0，y0)，F1(-c，0),F2(c,0)椭圆的离心率为e．
由焦半径公式得PF1=a+ex0，PF2=a-ex0．
在△PF1F2中，由余弦定理可得，
化简得，x20=4c2-3a2e2．
因为点P在椭圆上，所以-a＜x0＜a．
故0≤4c2-3a2e2＜a2，解得32a≤c＜a．又因为a=15，所以153≤2c＜30．
因此，|F1F2|的最小值为153．
【反思】 本题以圆锥曲线中焦点三角形为背景，考查了圆锥曲线的几何性质以及余弦定理的运用．学生如果能把蕴藏在问题背后的数学本质挖掘出来，解题过程也是水到渠成，让人觉得耳目一新．
【分析2】 去掉椭圆“外包装”，本题的中心问题是解焦点三角形，已知两边之和为定值，两条边所成的角度为定值．欲求第三条边F1F2的最小值，可以引入自变量，建立目标函数加以解决．这种思路与前面高考题的解法完全相通，体现了知识块与块之间的联系与迁移．
【解】 不妨设PF1=m，则PF2=30-m，(0＜m＜30)．
在△PF1F2中，由余弦定理得，
易知当m=15时，F1F2有最小值，且（F1F2）min=153．
一、一道高考数学试题的解法分析
2008年江苏省高考数学试卷第13题 ：在△ABC中，若AB=2，AC=2BC，则S△ABC的最大值= ．
【分析1】 这是一道解斜三角形问题，已知三角形三条边的关系，求三角形面积的最大值．学生首先会想到利用正、余弦定理开始尝试．
【解】 设BC=a，AC=2a．
所以S△ABC的最大值为14•128=22．
【反思】 基于本题中出现的背景，运用正、余弦定理解三角形是学生会普遍采用的方案，但是运算过程中有比较复杂的化简和高次函数的最值问题，又使得解题过程充满着未知与神秘，学生往往做不到底．
【分析2】 从解析几何的角度考虑，点A、B可以看作是定点，由于动点C到点A的距离是到点B距离的2倍，因此可以求出动点C的轨迹方程．从而S△ABC的最大值问题就转化为求点C到直线AB的距离问题．
【解】 建立如图所示的平面直角坐标系，不妨取A(－1, 0)，B(1, 0)，C(x, y)．
由已知可列方程，
（x+1)2+y2=2•(x-1)2+y2，
化简得，x2+y2-6x+1=0．
所以可知点C在半径为22的圆上运动(且不在直线AB上)．
于是点C到直线AB(即x轴)的最大距离是22，
所以S△ABC的最大值为12×2×22=22．
反思：基于试题的几何背景，由数联想到形，充分使用数形结合法，挖掘了图形的可变性与不变量，使得解题具有较强的观赏性．同时，深入研究教材会发现，本题在教材中有原型，即苏教版必修《数学2》中，第100页习题2．2第10题：
已知点M(x, y)与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为12，那么点M的坐标应满足什么关系?画出满足条件的点M所形成的曲线．
二、基于高考试题的改编题的解法探究
高考题可以由教材上的习题素材改编变化而来，同时，高考题也是我们改编创新习题，进行变式教学的取之不尽、用之不竭的源泉．笔者受2008年江苏省高考数学试卷第13题的启发，进行了以下的拓展探索．
改编题1:在△ABC中，若AB=2，C=60°，则S△ABC的最大值= ．
【分析1】 这是一道解三角形问题，根据题目的已知条件，可以运用正弦定理将边AC和边BC分别用sinB和sinA表示，进而把S△ABC表示出来，建立目标函数．
【解】 在△ABC中，由正弦定理，
有BCsinA=ACsinB=2sin60°,
故BC=433sinA，
且AC=433sinB．
所以S△ABC=12AC•BC•sin60°
=433sinA•sinB
=433sinA•sin(120°-A)
=233sin(2A-30°)+33.
因为0°＜A＜120°，所以当且仅当A=60°时，S△ABC有最大值，且最大值为3．
【分析2】 由于题目已知一条边及其所对的角，很容易联想到余弦定理．
【解】 设边AC和BC的长分别是b和a，在△ABC中，由余弦定理可得，
a2+b2-2ab•cos 60°=4，即．a2+b2-ab=4.
根据基本不等式，有a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，即ab≤4(当且仅当a=b时取等号)．
所以S△ABC=12absin60°≤3，即S△ABC的最大值为3．
【分析3】 根据AB=2及C=60°，可联想到点C在一个定圆上运动，∠C是劣弧AB所对的圆周角，从而可以利用数形结合法从直观上进行突破．
【解】 如图所示，点C在优弧AB上运动，根据圆的几何性质，当且仅当点C在弦AB的垂直平分线上时，点C到AB的距离最大，从而S△ABC最大．此时CA=CB，即△ABC是正三角形，所以S△ABC的最大值是34•22=3．
【反思】 本题主要考查学生灵活运用正、余弦定理解斜三角形，以及基本不等式和三角函数恒等变换等知识，要求学生仔细审题，充分挖掘隐含条件，从多个角度来思考问题．同时，本题也是笔者缘于教材中一道习题的改编，具体参见苏教版必修《数学5》第21页，习题1．3第6题：
把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120°，如何锯断木条，才能使第三条边AC最短？
改编题2：在平面直角坐标系中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长为30，焦点分别为F1,F2．若椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，则|F1F2|的最小值为 ．
【分析1】 这是一道圆锥曲线中的最值问题，可以利用焦半径公式表示PF1和PF2，然后△PF1F2在中利用余弦定理建立等量关系，利用椭圆上点的横坐标x0的取值范围建立不等关系求解最值．
【解】 设点P（x0，y0)，F1(-c，0),F2(c,0)椭圆的离心率为e．
由焦半径公式得PF1=a+ex0，PF2=a-ex0．
在△PF1F2中，由余弦定理可得，
化简得，x20=4c2-3a2e2．
因为点P在椭圆上，所以-a＜x0＜a．
故0≤4c2-3a2e2＜a2，解得32a≤c＜a．又因为a=15，所以153≤2c＜30．
因此，|F1F2|的最小值为153．
【反思】 本题以圆锥曲线中焦点三角形为背景，考查了圆锥曲线的几何性质以及余弦定理的运用．学生如果能把蕴藏在问题背后的数学本质挖掘出来，解题过程也是水到渠成，让人觉得耳目一新．
【分析2】 去掉椭圆“外包装”，本题的中心问题是解焦点三角形，已知两边之和为定值，两条边所成的角度为定值．欲求第三条边F1F2的最小值，可以引入自变量，建立目标函数加以解决．这种思路与前面高考题的解法完全相通，体现了知识块与块之间的联系与迁移．
【解】 不妨设PF1=m，则PF2=30-m，(0＜m＜30)．
在△PF1F2中，由余弦定理得，
易知当m=15时，F1F2有最小值，且（F1F2）min=153．