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摘 要：本文采用"因子分析"及"多元非线性回归"方法对商业银行的贷存款量进行了预测。应用MATLAB工具编程解决了银行最大利润下的单目标非线性规划问题。并且用概率论的知识就商业银行在置信水平一定的情况下计算最低备付水平的问题展开了研究。
关键词：因子分析 多元非线性回归 非线性规划 中心极限定理
1、引言
本文就商业银行的运营展开研究，主要解决了商业银行在现有规模及宏观条件下对其未来一年的存、贷款量的预测问题；不考虑备付水平下的商业银行为获得最大利润对各分行贷款规模的分配问题；及为保证每日交易正常进行，在某一置信水平下商业银行每日最低的备付水平的计算问题。
2、商业银行存贷款预测
对商业银行而言，贷款规模增长受限于其存款规模增长，只有在存款有效增长的情况下银行才有充足资金用于贷款投放。具体来说，某家商业银行在全国存款总额中所占比例相对稳定，每年可增长的存款量受限于社会资金总量的增长情况。既对商业银行存贷款量的预测是在现实宏观条件下进行的，包括GDP、CPI、工业增加值等。
由于宏观經济指标项目繁多，且各项指标之间相互影响、相互依赖，对于银行的贷款、存款的影响存在隐性的指标。首先需要对多维宏观条件进行降维，提取出对银行存贷款增量影响的假想变量，可以采用SPSS数据处理软件或者MATLAB编程软件对宏观经济指标进行“因子分析”得到影响隐性因子变量。然后采用MATLAB中的“regress（）”函数将得到的隐性因子变量和已知存贷款历史数据做多元非线性回归，从而预测出某一年存、贷款增量情况。
3、最大利润下的贷款规模分配
商业银行贷款投放的简单模型是：从客户端吸收存款，缴存法定准备金（即法定存款准备金，是指商业银行按照法律规定必须存在中央银行里的自身所吸收存款的一个最低限度的准备金。法定准备金率：大型金融机构15.5%，中小金融机构12%；法定准备金利率1.62%），预留一定比例备付水平（商业银行承担支付结算金融中介作用，满足流动性安全），剩余资金用于贷款投放或其他资产配置。
在计算商业银行对各分行贷款规模的分配量，使得全行增量存贷款利息净收入（即利润）最大的问题中。银行除客户存款外无其他资金来源，且暂不考虑备付水平，根据前面预测的该银行存贷款增量情况，为使得利息净收入最大，存款金额减去所缴存的法定准备金，剩余资金需要全部作为贷款资金贷出。而商业银行最大贷款金额的多少取决于与用户在该银行的存款金额，为了使分配满足各分行的现实宏观条件，需根据历史存款数据，计算出各分行分配的该年份的存款金额。进而计算最大存贷金额利息差来分配贷款金额。且最大金额利息差下的规划问题属于单目标非线性规划。
具体计算步骤如下：
①根据往年各分行存款量占该银行总存款量的比例计算该年份存款量分配额。
②建立单目标规划模型：
目标函数：
约束条件：
其中 为第i各分行的存款量， 为第i各分行的存贷款量， 为第i各分行的存款利率， 第i各分行的贷款利率，P为法定准备金。
③MATLAB程序
首先建立M文件fun.m定义目标函数fun（x）：
数组a为分行存款金额，y为存款利率贷款利率
function f = fun（x）
a=[a1，a2，……]；
y=[y1，y2，……]；
b=[b1，b2，……]；
for i=1：x
f=y（i）*a（i）-b（i）*x（i）；
end
end
建立主程序，非线性规划求解的函数时fmincon（）函数：
约束条件为Aeq*x = beq 和 A*x <= n。若没有不等式线性约束存在，则设 置A=[]、b=[]。其中num为分行个数，M为总贷款金额。
x0 = ones（1，num）；
A = []；
b = []；
Aeq = ones（1，num）；
beq = [M]；
VLB = zeros（1，num）；
VUB = [a1，a2，……anum]；
[x， fval] = fmincon（@fun， x0， A， b， Aeq， beq， VLB， VUB）；
从而计算得到银行最大利润下的各分行的贷款额分配。
4、最低备付水平的计算
置信区间是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。在统计学中，一个概率样本的置信区间是对这个样本的某个总体参数的区间估计。置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度。
置信水平是指特定个体对待特定命题真实性相信的程度，即总体参数值落在样本统计值某一区内的概率。通过置信水平和样本均值等参数便可求出置信区间。
为保证每日交易正常进行，各家分行每日需预留一定的备付资金（备付资金不足易引起客户不满，严重的会引起社会恐慌，引发挤兑；预留资金过多，会降低银行盈利水平），以确保最低的备付水平（备付水平=备付资金÷存款余额）。
假设每个客户存取款的行为是随机的，计算在置信水平为x的情况下，商业银行各分行日常经营所需最低备付金额。通过对各分行每日存取款历史数据，求出各分行每日贷款额与存款额的差，该差值大致服从正态分布。由该均值及99%的置信水平得出总体的均值。可推断总体仍服从正态分布，所以总体均值与置信水平为99%下的分位点之和即为最低备付金额。
每日取款金额减去存款金额为各分行净流出资金，在置信水平为99%的情况下，分别计算出各地区的置信区间[a，b]。为避免备付资金不足，把b作为净流出资金的总体平均值。而净流出资金满足正态分布，可以通过求出样本方差确定其分布函数。要使备付资金充足，我们使：备付资金=均值+概率为99%下的分位点，这样的备付资金满足要求，既保证了盈利，又满足了需求。 假设每个客户存取款的行为是随机的，银行每日取款额o减去存款额i就是各家分行每日净流出资金p。先用各个分行的取款额o减去存款额i，把各分行每日净流出资金p当做样本数据，样本大小n=365，由下列方法即可分别算出各分行的备付资金金额。
计算得出个各分行的样本均值m和样本标准差s，再根据公式：
计算出标准误差SE；
当置信水平为99%时，z=2.58。设置信区间为[a b]，
由
a=m-z*SE
b=m+z*SE
计算出总体平均值的置信区间范围。
经统计发现，每日净流出资金p符合正态分布：
因为要保证每日正常交易，所以我们将b作为总体均值，即μ=b 上面已经求出样本标准差σ=s；
由于p为正态分布， 所以
要确保最低的备付水平，我们将备付资金定在处μ-3σ处，
P（ ） =0.9987在实际中，p的值落在区间（ ）几乎是肯定的事，所以不会出现备付资金不足的情况。
参考文献：
[1]梁科杰，商业银行最佳备付金持有量的确定，金融视线，2007.21.130，226-226
[2]陈一洪，中国城市商业银行盈利能力影響因素分析，统计与信息论坛，2017.32.3，121-126
[3]Molyneux P，Thornton J.Determinants of European Bank Profitability： a Note [J].Journal of Banking and Finance，1992（16）.
[4]Fecht F，Nyborg K G，Rocholl J.The Price of Liquidity：The Effects of Market Conditions and Bank Characteristics[J]. Journal of Financial Economics，2011，102（2）
[5]贷款集中度对我国城市商业银行收益及风险影响的实证研究，西南财经大学学位论文，2016
[6] 陈慧君，中国商业银行盈利能力的纵向比较研究陈慧君，市场论坛；2009.06
[7] 张建肖，中国商业银行盈利能力及影响因素研究，2009
关键词：因子分析 多元非线性回归 非线性规划 中心极限定理
1、引言
本文就商业银行的运营展开研究，主要解决了商业银行在现有规模及宏观条件下对其未来一年的存、贷款量的预测问题；不考虑备付水平下的商业银行为获得最大利润对各分行贷款规模的分配问题；及为保证每日交易正常进行，在某一置信水平下商业银行每日最低的备付水平的计算问题。
2、商业银行存贷款预测
对商业银行而言，贷款规模增长受限于其存款规模增长，只有在存款有效增长的情况下银行才有充足资金用于贷款投放。具体来说，某家商业银行在全国存款总额中所占比例相对稳定，每年可增长的存款量受限于社会资金总量的增长情况。既对商业银行存贷款量的预测是在现实宏观条件下进行的，包括GDP、CPI、工业增加值等。
由于宏观經济指标项目繁多，且各项指标之间相互影响、相互依赖，对于银行的贷款、存款的影响存在隐性的指标。首先需要对多维宏观条件进行降维，提取出对银行存贷款增量影响的假想变量，可以采用SPSS数据处理软件或者MATLAB编程软件对宏观经济指标进行“因子分析”得到影响隐性因子变量。然后采用MATLAB中的“regress（）”函数将得到的隐性因子变量和已知存贷款历史数据做多元非线性回归，从而预测出某一年存、贷款增量情况。
3、最大利润下的贷款规模分配
商业银行贷款投放的简单模型是：从客户端吸收存款，缴存法定准备金（即法定存款准备金，是指商业银行按照法律规定必须存在中央银行里的自身所吸收存款的一个最低限度的准备金。法定准备金率：大型金融机构15.5%，中小金融机构12%；法定准备金利率1.62%），预留一定比例备付水平（商业银行承担支付结算金融中介作用，满足流动性安全），剩余资金用于贷款投放或其他资产配置。
在计算商业银行对各分行贷款规模的分配量，使得全行增量存贷款利息净收入（即利润）最大的问题中。银行除客户存款外无其他资金来源，且暂不考虑备付水平，根据前面预测的该银行存贷款增量情况，为使得利息净收入最大，存款金额减去所缴存的法定准备金，剩余资金需要全部作为贷款资金贷出。而商业银行最大贷款金额的多少取决于与用户在该银行的存款金额，为了使分配满足各分行的现实宏观条件，需根据历史存款数据，计算出各分行分配的该年份的存款金额。进而计算最大存贷金额利息差来分配贷款金额。且最大金额利息差下的规划问题属于单目标非线性规划。
具体计算步骤如下：
①根据往年各分行存款量占该银行总存款量的比例计算该年份存款量分配额。
②建立单目标规划模型：
目标函数：
约束条件：
其中 为第i各分行的存款量， 为第i各分行的存贷款量， 为第i各分行的存款利率， 第i各分行的贷款利率，P为法定准备金。
③MATLAB程序
首先建立M文件fun.m定义目标函数fun（x）：
数组a为分行存款金额，y为存款利率贷款利率
function f = fun（x）
a=[a1，a2，……]；
y=[y1，y2，……]；
b=[b1，b2，……]；
for i=1：x
f=y（i）*a（i）-b（i）*x（i）；
end
end
建立主程序，非线性规划求解的函数时fmincon（）函数：
约束条件为Aeq*x = beq 和 A*x <= n。若没有不等式线性约束存在，则设 置A=[]、b=[]。其中num为分行个数，M为总贷款金额。
x0 = ones（1，num）；
A = []；
b = []；
Aeq = ones（1，num）；
beq = [M]；
VLB = zeros（1，num）；
VUB = [a1，a2，……anum]；
[x， fval] = fmincon（@fun， x0， A， b， Aeq， beq， VLB， VUB）；
从而计算得到银行最大利润下的各分行的贷款额分配。
4、最低备付水平的计算
置信区间是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。在统计学中，一个概率样本的置信区间是对这个样本的某个总体参数的区间估计。置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度。
置信水平是指特定个体对待特定命题真实性相信的程度，即总体参数值落在样本统计值某一区内的概率。通过置信水平和样本均值等参数便可求出置信区间。
为保证每日交易正常进行，各家分行每日需预留一定的备付资金（备付资金不足易引起客户不满，严重的会引起社会恐慌，引发挤兑；预留资金过多，会降低银行盈利水平），以确保最低的备付水平（备付水平=备付资金÷存款余额）。
假设每个客户存取款的行为是随机的，计算在置信水平为x的情况下，商业银行各分行日常经营所需最低备付金额。通过对各分行每日存取款历史数据，求出各分行每日贷款额与存款额的差，该差值大致服从正态分布。由该均值及99%的置信水平得出总体的均值。可推断总体仍服从正态分布，所以总体均值与置信水平为99%下的分位点之和即为最低备付金额。
每日取款金额减去存款金额为各分行净流出资金，在置信水平为99%的情况下，分别计算出各地区的置信区间[a，b]。为避免备付资金不足，把b作为净流出资金的总体平均值。而净流出资金满足正态分布，可以通过求出样本方差确定其分布函数。要使备付资金充足，我们使：备付资金=均值+概率为99%下的分位点，这样的备付资金满足要求，既保证了盈利，又满足了需求。 假设每个客户存取款的行为是随机的，银行每日取款额o减去存款额i就是各家分行每日净流出资金p。先用各个分行的取款额o减去存款额i，把各分行每日净流出资金p当做样本数据，样本大小n=365，由下列方法即可分别算出各分行的备付资金金额。
计算得出个各分行的样本均值m和样本标准差s，再根据公式：
计算出标准误差SE；
当置信水平为99%时，z=2.58。设置信区间为[a b]，
由
a=m-z*SE
b=m+z*SE
计算出总体平均值的置信区间范围。
经统计发现，每日净流出资金p符合正态分布：
因为要保证每日正常交易，所以我们将b作为总体均值，即μ=b 上面已经求出样本标准差σ=s；
由于p为正态分布， 所以
要确保最低的备付水平，我们将备付资金定在处μ-3σ处，
P（ ） =0.9987在实际中，p的值落在区间（ ）几乎是肯定的事，所以不会出现备付资金不足的情况。
参考文献：
[1]梁科杰，商业银行最佳备付金持有量的确定，金融视线，2007.21.130，226-226
[2]陈一洪，中国城市商业银行盈利能力影響因素分析，统计与信息论坛，2017.32.3，121-126
[3]Molyneux P，Thornton J.Determinants of European Bank Profitability： a Note [J].Journal of Banking and Finance，1992（16）.
[4]Fecht F，Nyborg K G，Rocholl J.The Price of Liquidity：The Effects of Market Conditions and Bank Characteristics[J]. Journal of Financial Economics，2011，102（2）
[5]贷款集中度对我国城市商业银行收益及风险影响的实证研究，西南财经大学学位论文，2016
[6] 陈慧君，中国商业银行盈利能力的纵向比较研究陈慧君，市场论坛；2009.06
[7] 张建肖，中国商业银行盈利能力及影响因素研究，2009