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新课程背景下的数学教学力图超越传统的“记忆型文化”，鼓励教师在教学中创设一种对话、合作与探究的环境，敏锐地捕捉隐藏在数学中的“文化”要素，实现数学与现实世界、数学与其他学科、数学与发现发展知识的人和历史、教师与学生之间的相互沟通，这正是新课程对理想的教学状态的期盼。
一、 实现数学与现实世界沟通
１．向生活世界延伸
小灵通资费标准
月租费：每月月租１８元。
营业区内：打区内电话前３分钟０．２元，超过３分钟部分每分钟０．１元。（不足１分钟按１分钟计算）
营业区间：每分钟０．５元。（不足１分钟按１分钟计算）
国内长途：每６秒０．０７元。（不足６秒按６秒计算）
这些是学生几乎每天都在经历的事情，但电话计费问题却很少有学生去深思。面对“资费标准”所提出的大量信息，教师让学生去探索、猜测、分析、研究，让学生通过自己的生活经验，利用已学过的数学知识来解决一连串的复杂问题，学生感到有趣、有理、有用，甚至叹息“相见恨晚”，这正是生活数学的魅力。
数学与生活有着千丝万缕的联系。生活的边界就是教育的边界。“学校必须呈现现在的生活即对儿童来说是真实而生气勃勃的生活。像他在家里，在邻里间，在运动场上所经历的生活那样。”如果教学脱离了学生的生活世界，将孩子真实的理解与体验遮挡在心灵之外，变成蒙蔽孩子心灵的帷幕，逐渐导致人的心灵和生活的荒漠化，人就不能被称为一个“整体的人”。因此，数学教学的重要使命是从学生的生活经验和已有的体验开始；从直观的和容易引起想像的问题出发，让数学背景包含在学生熟悉的事物和具体的情境之中，并与学生已经了解或学习过的数学知识相联系，特别是与学生生活中积累的常识性知识和那些学生已经具有的但未经训练或不那么严格的数学知识体验相关联，在数学与生活之间架起一座桥梁，唤醒学生的学习潜能，放飞学生想像的翅膀，还学生一个新奇、美丽、富有童真和灵性的数学课堂。
２．向自然世界拓展
《圆的认识》教学案例。（引自《江苏教育》２００２．１０Ｂ）
●在平静的水面上扔进一颗小石子，荡起的一圈圈波纹都是什么形状的?你能利用身边的工具将它画下来吗?
●这是一个常见的自然现象，但你思考过没有，为什么荡起的波纹会这样?会不会出现其他形状?其中的奥秘又是什么呢?
●找个平静的水面，亲自动手去试一试。认真观察，将你的发现和思考记录下来，并与其他同学交流，好吗?
平常的自然现象，却蕴藏着生动而富有探索价值的数学规律。试想，当一个个绝妙的水纹展现在学生们面前的时候，他们的感官、他们的心灵、他们的精神世界经受的又是怎样的一次巨大的冲击。其实，数学与自然世界的联系又何止一个水纹，来自不同数学领域的对象和形状出现在许多自然现象中：在植物园内，无论是叶面的花纹、花瓣的完美星形，还是松果的螺旋形生长规律，乃至红杉树的树枝、树皮的生长模式，我们都能找到对称、镶嵌、渐伸线、三重联结等数学概念的实例；面对奇迹纷呈的动物王国，我们可以通过大量的计算和数学工作去解释圆形织网蛛、龟壳上片状组织构造、蜜蜂筑巢等奇特的现象，用最有效的形式探究昆虫和兽类，只需花费最少能量和材料，从而把自然界和数学联系起来。
自然世界中的一切具有无尽的教育价值。教师应学会善于取材，让学生的心灵直接面对广阔的自然世界，在“司空见惯”和“理所当然”中产生有意义的问题，在探究问题中揭示数学的实质。
二、 实现数学与发现、发展知识的人和历史沟通
《圆的周长》教学片段
师：圆周率是圆的周长与其直径之比，为了回答这个比值等于多少，一代代中外数学家锲而不舍，不断探索，付出了艰辛的劳动，其中我国的数学家作出过卓越贡献。（向学生提供如下阅读材料）
最初一些文明古国均取π＝３，如我国《周髀算经》就说“径一周三”，后人称之为“古率”。人们通过实践逐步认识到用古率计算圆周长和圆面积时，所得到的值均小于实际值，于是不断利用经验数据修正π值，例如古埃及人和巴比伦人分别得到π＝３．１６０５和π＝３．１２５。后来古希腊数学家阿基米德利用圆内接和外切正多边形来求圆周率的近似值，得到当时关于π的最好估值约为：３．１４０９＜π＜３．１４２９；此后古希腊的托勒玫约在公元１５０年左右又进一步求出π＝３．１４１６６６。我国魏晋时代数学家刘徽用圆的内接正多边形的“弧矢割圆术”计算π值。当边数为１９２时，得到３．１４１０２４＜π＜３．１４２７０４。后来把边数增加到３０７２时，进一步得到π＝３．１４１５９，这比托勒玫的结果又有了进步。待到南北朝时，祖冲之更上一层楼，计算出π的值在３．１４１５９２６与３．１４１５９２７之间。求出了精确到七位小数的π值。我国以这一精度，在长达一千年的时间中，一直处于世界领先地位，这一记录直到公元１４２９年左右才被中亚细亚的数学家阿尔·卡西打破，他准确地计算到小数点后第十六位。
一次跨越时间和空间的旅行，过去若干世纪中发展起来的大量的关于圆周率的贡献让学生难以置信。通过这些史料的学习，使学生知道数学知识的产生首先源于人类生活的需要，体会数学在人类发展史上的作用，激励学生去探索。
就数学而言，数学有两个侧面：一个是形式层面的数学，即静态的知识；一个是发现层面的数学，即动态的思维。一般说来，作为呈现给学生学习的材料，往往都是高度概括和抽象化的静态知识，而隐藏在静态知识背后的关于知识产生和形成时艰难的探索历程、精彩的动人故事、神奇的传播途径等数学背景知识，是很难一一列入教材的。而这些更能激发学生对知识的好奇、敬畏和探究欲望。我们有理由向学生展现数学在经历漫长的发展过程后，凝聚并积淀下的一代代人创造和智慧的结晶，引领学生通过学习感受数学的博大与精深，领略人类的智慧与文明。“课程”原本就是基于教育过程的一种“文化创造”。在这种文化活动过程中，一方面，作为学习者个体，无论在精神上、人格上、文化上都通过经验的积累而获得身心发展；另一方面，“文化”也借助每一个人类共同体成员而得到传递和创造。
三、 实现数学与其他学科沟通
下面是一位老师执教《７的乘法口诀》的教学片断。
师：７是一个很神奇的数，我国古代有很多问题就与“７”有关。
多媒体配乐朗诵：
枫桥夜泊
［唐］张继
月落乌啼霜满天，
江枫渔火对愁眠。
姑苏城外寒山寺，
夜半钟声到客船。
师：这首诗有多少字呢？你能用一句口诀把它算出来吗？
生齐：四七二十八。
师：每句７个字，这首诗又叫七言诗。
……
教師结合教学内容和学生所处的文化环境，巧妙地将古诗欣赏引进到课堂中，不仅能有效地吸引学生的好奇心，激发蕴含在学习个体身上的灵感和潜力，增强数学促进学生发展的功能，而且学生在解决问题和欣赏活动中能够初步体验到数学与其他学科之间的联系。环节虽小，但呈现的信息颇丰，折射的文化韵味浓浓，令听课教师遐思万千。
数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是学习其他学科的重要基础。数学课程应当是一个回荡着多元声音的生机勃勃的领域。新教材十分注重数学与其他学科的整合，根据学生的年龄特征、知识基础和生活经验，安排了大量涉及到地理、历史、自然、社会等多学科简单常识的素材。教学中，我们需要打破分科主义的封地，促进跨越学科边界的对话，增强学生对数学本身的感受、领悟和欣赏，求得学生认识的整体性发展。
四、 实现师生之间、生生之间的相互沟通
《倒数的认识》教学片断。（引自《小学数学教师》，２００４．１０，有删改）
师：成倒数的两个数可以是哪些数？
生：可以是分数、小数、整数。
師：如果是整数，应该有几个整数?
生：两个整数。不，不对！应该是一个整数。
师：谁能举个例子?
生：４×1／4＝１。
生：１２×1/12＝１。
师：他刚才说两个整数，有可能吗?
生：不可能，比如５×５＝２５。
生：那１×１不是等于１吗?
师：那你是什么意思?
生：乘积是１的两个数互为倒数(１除外)。
师：请大家找一找，课本上这句话的旁边有“１除外”吗?
学生打开课本，没有这句话。
师：１×１＝１符合这句话吗?那你有什么新的想法?
生：１的倒数是１。
师：你叫什么名字?(生：王晨)
教师在“１的倒数是１”的右边板书：王晨的发现。
师：显然，１是一个特殊的数，还有没有特殊的数?
生齐答：０。
生：０除外。
师：课本在倒数的意义中，为什么不加“０除处”？
生：０乘任何数都是０，不可能得到乘积是１。
师：你有什么想法?
生：…… （一时语塞）
师：我板书两个字，你肯定说得出了。（板书：没有）
生：０没有倒数。
师：这个结论也有老师一半的智慧哦！（教师的幽默引来学生善意的笑声）你叫什么名字?（生：池静宜）
这时，有学生提议：让池静宜来写。
师：你的字一定很漂亮，好吧，请！
该生上黑板板书：０没有倒数。池静宜突然停笔，面对老师问：老师，你的名字要写吗?（学生都笑了）
师：不要了。谢谢你！你的字真漂亮。
教师创设一种民主、平等、和谐的对话交流的动态情境，课堂成了一方感情交流的天地，师生之间弥漫、充盈着一种开放的、多元的、浸润的、积极互动的精神氛围。“在这里，学生的教师和教师的学生不复存在，代之而起的是教师式学生和学生式教师。教师不再仅仅去教，而且也通过对话被教；学生在被教的同时，也同时在教。”教师和学生分享彼此的思考、见解和知识，交流彼此的情感、观念与理念，实现思维交锋碰撞、精神相遇相通、生命共融共识。
教育的真义就是让人在相互沟通中分享人类作为一种种群世代积淀下的“集体经验”，分享彼此因为存在、生活和思考而获得的对于自然世界、现实生活、社会关系的“私人经验”。而教育对话恰使沟通与分享成为可能。在对话中，“我”表达自己的理解、坦露自己的观念、展现自己的思想，期待能被人接纳；而与此同时，“我”又从“你”和“他”的表达中获得成长所必备的知识经验、人生阅历和生活智慧，从而最大限度地将其转化为自我的人生财富。
实现师生之间的对话，重要的是要建立民主、平等的对话机制。对于教师而言，它首先意味着“蹲下”；意味着“倾听”、意味着“理解”、意味着“走近”和“走进”。只有让自己的心灵和孩子站在同一起跑线，才能真正听懂他们的声音，欣赏到他们眼中美妙的画卷。它需要教师放下“尊严”、远离“成熟”、摆脱“偏见”，用一颗童稚的心触摸孩子的世界，用一种欣赏的目光打量孩子的天空，永远提醒自己，教育面对的不是“物”，而是活生生的，有着独立人格、独特个性，有着丰富阅历的生命个体，这是师生之间进行对话的关键。
一、 实现数学与现实世界沟通
１．向生活世界延伸
小灵通资费标准
月租费：每月月租１８元。
营业区内：打区内电话前３分钟０．２元，超过３分钟部分每分钟０．１元。（不足１分钟按１分钟计算）
营业区间：每分钟０．５元。（不足１分钟按１分钟计算）
国内长途：每６秒０．０７元。（不足６秒按６秒计算）
这些是学生几乎每天都在经历的事情，但电话计费问题却很少有学生去深思。面对“资费标准”所提出的大量信息，教师让学生去探索、猜测、分析、研究，让学生通过自己的生活经验，利用已学过的数学知识来解决一连串的复杂问题，学生感到有趣、有理、有用，甚至叹息“相见恨晚”，这正是生活数学的魅力。
数学与生活有着千丝万缕的联系。生活的边界就是教育的边界。“学校必须呈现现在的生活即对儿童来说是真实而生气勃勃的生活。像他在家里，在邻里间，在运动场上所经历的生活那样。”如果教学脱离了学生的生活世界，将孩子真实的理解与体验遮挡在心灵之外，变成蒙蔽孩子心灵的帷幕，逐渐导致人的心灵和生活的荒漠化，人就不能被称为一个“整体的人”。因此，数学教学的重要使命是从学生的生活经验和已有的体验开始；从直观的和容易引起想像的问题出发，让数学背景包含在学生熟悉的事物和具体的情境之中，并与学生已经了解或学习过的数学知识相联系，特别是与学生生活中积累的常识性知识和那些学生已经具有的但未经训练或不那么严格的数学知识体验相关联，在数学与生活之间架起一座桥梁，唤醒学生的学习潜能，放飞学生想像的翅膀，还学生一个新奇、美丽、富有童真和灵性的数学课堂。
２．向自然世界拓展
《圆的认识》教学案例。（引自《江苏教育》２００２．１０Ｂ）
●在平静的水面上扔进一颗小石子，荡起的一圈圈波纹都是什么形状的?你能利用身边的工具将它画下来吗?
●这是一个常见的自然现象，但你思考过没有，为什么荡起的波纹会这样?会不会出现其他形状?其中的奥秘又是什么呢?
●找个平静的水面，亲自动手去试一试。认真观察，将你的发现和思考记录下来，并与其他同学交流，好吗?
平常的自然现象，却蕴藏着生动而富有探索价值的数学规律。试想，当一个个绝妙的水纹展现在学生们面前的时候，他们的感官、他们的心灵、他们的精神世界经受的又是怎样的一次巨大的冲击。其实，数学与自然世界的联系又何止一个水纹，来自不同数学领域的对象和形状出现在许多自然现象中：在植物园内，无论是叶面的花纹、花瓣的完美星形，还是松果的螺旋形生长规律，乃至红杉树的树枝、树皮的生长模式，我们都能找到对称、镶嵌、渐伸线、三重联结等数学概念的实例；面对奇迹纷呈的动物王国，我们可以通过大量的计算和数学工作去解释圆形织网蛛、龟壳上片状组织构造、蜜蜂筑巢等奇特的现象，用最有效的形式探究昆虫和兽类，只需花费最少能量和材料，从而把自然界和数学联系起来。
自然世界中的一切具有无尽的教育价值。教师应学会善于取材，让学生的心灵直接面对广阔的自然世界，在“司空见惯”和“理所当然”中产生有意义的问题，在探究问题中揭示数学的实质。
二、 实现数学与发现、发展知识的人和历史沟通
《圆的周长》教学片段
师：圆周率是圆的周长与其直径之比，为了回答这个比值等于多少，一代代中外数学家锲而不舍，不断探索，付出了艰辛的劳动，其中我国的数学家作出过卓越贡献。（向学生提供如下阅读材料）
最初一些文明古国均取π＝３，如我国《周髀算经》就说“径一周三”，后人称之为“古率”。人们通过实践逐步认识到用古率计算圆周长和圆面积时，所得到的值均小于实际值，于是不断利用经验数据修正π值，例如古埃及人和巴比伦人分别得到π＝３．１６０５和π＝３．１２５。后来古希腊数学家阿基米德利用圆内接和外切正多边形来求圆周率的近似值，得到当时关于π的最好估值约为：３．１４０９＜π＜３．１４２９；此后古希腊的托勒玫约在公元１５０年左右又进一步求出π＝３．１４１６６６。我国魏晋时代数学家刘徽用圆的内接正多边形的“弧矢割圆术”计算π值。当边数为１９２时，得到３．１４１０２４＜π＜３．１４２７０４。后来把边数增加到３０７２时，进一步得到π＝３．１４１５９，这比托勒玫的结果又有了进步。待到南北朝时，祖冲之更上一层楼，计算出π的值在３．１４１５９２６与３．１４１５９２７之间。求出了精确到七位小数的π值。我国以这一精度，在长达一千年的时间中，一直处于世界领先地位，这一记录直到公元１４２９年左右才被中亚细亚的数学家阿尔·卡西打破，他准确地计算到小数点后第十六位。
一次跨越时间和空间的旅行，过去若干世纪中发展起来的大量的关于圆周率的贡献让学生难以置信。通过这些史料的学习，使学生知道数学知识的产生首先源于人类生活的需要，体会数学在人类发展史上的作用，激励学生去探索。
就数学而言，数学有两个侧面：一个是形式层面的数学，即静态的知识；一个是发现层面的数学，即动态的思维。一般说来，作为呈现给学生学习的材料，往往都是高度概括和抽象化的静态知识，而隐藏在静态知识背后的关于知识产生和形成时艰难的探索历程、精彩的动人故事、神奇的传播途径等数学背景知识，是很难一一列入教材的。而这些更能激发学生对知识的好奇、敬畏和探究欲望。我们有理由向学生展现数学在经历漫长的发展过程后，凝聚并积淀下的一代代人创造和智慧的结晶，引领学生通过学习感受数学的博大与精深，领略人类的智慧与文明。“课程”原本就是基于教育过程的一种“文化创造”。在这种文化活动过程中，一方面，作为学习者个体，无论在精神上、人格上、文化上都通过经验的积累而获得身心发展；另一方面，“文化”也借助每一个人类共同体成员而得到传递和创造。
三、 实现数学与其他学科沟通
下面是一位老师执教《７的乘法口诀》的教学片断。
师：７是一个很神奇的数，我国古代有很多问题就与“７”有关。
多媒体配乐朗诵：
枫桥夜泊
［唐］张继
月落乌啼霜满天，
江枫渔火对愁眠。
姑苏城外寒山寺，
夜半钟声到客船。
师：这首诗有多少字呢？你能用一句口诀把它算出来吗？
生齐：四七二十八。
师：每句７个字，这首诗又叫七言诗。
……
教師结合教学内容和学生所处的文化环境，巧妙地将古诗欣赏引进到课堂中，不仅能有效地吸引学生的好奇心，激发蕴含在学习个体身上的灵感和潜力，增强数学促进学生发展的功能，而且学生在解决问题和欣赏活动中能够初步体验到数学与其他学科之间的联系。环节虽小，但呈现的信息颇丰，折射的文化韵味浓浓，令听课教师遐思万千。
数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是学习其他学科的重要基础。数学课程应当是一个回荡着多元声音的生机勃勃的领域。新教材十分注重数学与其他学科的整合，根据学生的年龄特征、知识基础和生活经验，安排了大量涉及到地理、历史、自然、社会等多学科简单常识的素材。教学中，我们需要打破分科主义的封地，促进跨越学科边界的对话，增强学生对数学本身的感受、领悟和欣赏，求得学生认识的整体性发展。
四、 实现师生之间、生生之间的相互沟通
《倒数的认识》教学片断。（引自《小学数学教师》，２００４．１０，有删改）
师：成倒数的两个数可以是哪些数？
生：可以是分数、小数、整数。
師：如果是整数，应该有几个整数?
生：两个整数。不，不对！应该是一个整数。
师：谁能举个例子?
生：４×1／4＝１。
生：１２×1/12＝１。
师：他刚才说两个整数，有可能吗?
生：不可能，比如５×５＝２５。
生：那１×１不是等于１吗?
师：那你是什么意思?
生：乘积是１的两个数互为倒数(１除外)。
师：请大家找一找，课本上这句话的旁边有“１除外”吗?
学生打开课本，没有这句话。
师：１×１＝１符合这句话吗?那你有什么新的想法?
生：１的倒数是１。
师：你叫什么名字?(生：王晨)
教师在“１的倒数是１”的右边板书：王晨的发现。
师：显然，１是一个特殊的数，还有没有特殊的数?
生齐答：０。
生：０除外。
师：课本在倒数的意义中，为什么不加“０除处”？
生：０乘任何数都是０，不可能得到乘积是１。
师：你有什么想法?
生：…… （一时语塞）
师：我板书两个字，你肯定说得出了。（板书：没有）
生：０没有倒数。
师：这个结论也有老师一半的智慧哦！（教师的幽默引来学生善意的笑声）你叫什么名字?（生：池静宜）
这时，有学生提议：让池静宜来写。
师：你的字一定很漂亮，好吧，请！
该生上黑板板书：０没有倒数。池静宜突然停笔，面对老师问：老师，你的名字要写吗?（学生都笑了）
师：不要了。谢谢你！你的字真漂亮。
教师创设一种民主、平等、和谐的对话交流的动态情境，课堂成了一方感情交流的天地，师生之间弥漫、充盈着一种开放的、多元的、浸润的、积极互动的精神氛围。“在这里，学生的教师和教师的学生不复存在，代之而起的是教师式学生和学生式教师。教师不再仅仅去教，而且也通过对话被教；学生在被教的同时，也同时在教。”教师和学生分享彼此的思考、见解和知识，交流彼此的情感、观念与理念，实现思维交锋碰撞、精神相遇相通、生命共融共识。
教育的真义就是让人在相互沟通中分享人类作为一种种群世代积淀下的“集体经验”，分享彼此因为存在、生活和思考而获得的对于自然世界、现实生活、社会关系的“私人经验”。而教育对话恰使沟通与分享成为可能。在对话中，“我”表达自己的理解、坦露自己的观念、展现自己的思想，期待能被人接纳；而与此同时，“我”又从“你”和“他”的表达中获得成长所必备的知识经验、人生阅历和生活智慧，从而最大限度地将其转化为自我的人生财富。
实现师生之间的对话，重要的是要建立民主、平等的对话机制。对于教师而言，它首先意味着“蹲下”；意味着“倾听”、意味着“理解”、意味着“走近”和“走进”。只有让自己的心灵和孩子站在同一起跑线，才能真正听懂他们的声音，欣赏到他们眼中美妙的画卷。它需要教师放下“尊严”、远离“成熟”、摆脱“偏见”，用一颗童稚的心触摸孩子的世界，用一种欣赏的目光打量孩子的天空，永远提醒自己，教育面对的不是“物”，而是活生生的，有着独立人格、独特个性，有着丰富阅历的生命个体，这是师生之间进行对话的关键。