曾在网上看到一篇文章，文章名称叫《解决排列组合问题的常用技巧和策略》，该文罗列了解决排列组合问题的１６种常见题型和常用方法. 当时我觉得收益非常大，并且在课堂上逐步的向学生渗透，学生也学得非常好，做题时很快就有思路. 但是一次模拟考试中考了两个题目，学生的得分率很低，让我对我的教学有了更多的思考.
　　 这两个题目是：
　　 １. 设集合Ａ= ｛ｘ，ｙ，ｚ｝，Ｂ ＝ ｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝，问：从集合A到集合Ｂ的不同映射的个数有多少个？
　　 ２. 用5种不同的颜色给图中的４个区域涂色，如果每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，共有多少种不同的涂色方法？
　　 解 １. 首先要弄清映射的意义： Ａ中的任一元素，Ｂ中有唯一一个元素与之对应.
　　 含义有三层：①Ａ中每个元素都“射出”；
　　 ② Ｂ中的元素可以被“射到”，可以不被“射到”；
　　 ③ 可以是“一对一”，可以是“多对一”.
　　 其次是完成一件事的含义：Ａ中的每一个元素全“射出”.
　　 可以分三个步骤（因为有三个元素，一个一个“射出”）：第一步：射出ｘ，有4个目标，所以有4种方法. 第二步射出ｙ，第三步射出ｚ.
　　 所以共有４３ （种）.
　　 ２. 完成一件事情可分两类：第一类是用三种颜色来完成涂色；第二类是用四种颜色来完成涂色．
　　 第一类：因为１区域与３区域不相邻可以用同种颜色，即从5种颜色中取３种涂在１，２，４的位置. 所以有 A = 5·4·3 = 60（种）.
　　 第二类: （用4种）４个区域全不同颜色. 所以有A=5·4·3·2 = 120（种）.
　　 所以共有６０ ＋ １２０ ＝ １８０（种）.
　　 另解 完成一件事分四个步骤：
　　 第一步涂２区域：５种；第二步涂１区域：４种；第三步涂４区域：３种；第四步涂３区域：３种．（因为5种颜色已用过3种，但涂１区域的颜色还能用），
　　 所以共有5 × 4 × 3 × 3 = 180（种）.
　　 我发现解决问题的方法在我所讲的１６种题型中没有涉及，这两个题目涉及解决排列组合问题基本方法是分步计数原理和分类计数原理.
　　 常见到一些同学不注意寻求合理的设计，而是死记（形式上模仿）什么直排法、捆绑法、插空法等，把方法绝对化了，把方法当成了标签，于是，当遇到稍复杂题型或者遇到自己不熟悉的的题型时，往往手足无措．其实，每一个具体的有关排列、组合问题，都有明确的“事”. 其实完成一件事，总有多种不同的方法. 如何做完这件事，首要的任务就是进行合理的设计或构思，分析是要分类还是分步完成？还是要分阶段逐步完成呢？还是把分类和分步结合起来呢？这个问题解决好了，就容易形成正确的算式.
　　 这里和大家一起分析一道较复杂的题目，以说明合理的设计思想在解题中的重要性．
　　
　　 分析５ 如果把原问题改变一下，改成：“ａ 不在第１，２ 位，ｂ 不在第１ 位”，容易求出这时ａ，ｂ 在6个位置中的排法数是A·A种，比较原问题与改后的问题（简称“原题”）， “改题”中ａ，ｂ 在六个位置上的排法数的关系：
　　 改题中任意一种排法都与原题中一种排法对应，例如：
　　 改题中排法：＿ｂ＿ａ＿＿与原题中排法：＿ｂ＿ａ＿＿ 对应．
　　 改题中排法：＿＿ｂａ＿＿与原题中排法：ｂ ＿＿ ａ＿＿ 对应．
　　 可见，改题中排法数不超过原题中排法数．另一方面，原题中的一种排法：ｂ＿ａ ＿＿＿却找不到改题后的一种排法与之对应．注意到这种“找不到改题后的对应排法”的种数仅是ｌ ，由此可知原题ａ，ｂ 的（在六个位置上的）排法数是 AA + 1． 可见，总的排队方法数又是（ AA＋ １） ＝ ４０８ （种）．
　　 通过对该题目的5种不同解法的比较，我们看到，分类计数原理和分步计数原理应该是排列组合这一章的精华所在，而且，若掌握得好，这对学生的分类讨论的数学思想方法的帮助也非常大.
　　 每次遇到题目后，应当首先考虑什么是完成一件事，然后再考虑是用分类还是分步，不同的设计或构思将导致不同的解法，经过精心的设计或构思才能产生正确的算式.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”