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数学给予人抽象概括的能力，不仅可以使人有条理地在简约状态下进行思考，而且抽象概括本身就有发现真理的功能，这种功能实质上是数学思想方法作为一种思维工具在发挥作用，这是数学给人思维素养的最重要的成分。数学思想方法是人们对数学知识内容本质的认识，是人们学习和应用数学知识过程中思维活动的向导。而数学思想方法的形成又有赖于合理有效的数学学习过程。数学教育家弗赖登塔尔说过：“与其说让学生学习公理体系，不如说让学生学习公理化；与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习形式化。一句话，与其说让学生学习数学，不如说让学生学习数学化。”这里的所谓数学化，是指通过学习数学知识、技能和方法，逐渐形成自己的数学思想和方法，学会用数学的眼光看待事物，学会用数学的方法解决问题。这就要求教师具有正确的数学教学观。
《数学课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，向学生提供充分从事数学活动的机会。这里一是指在教学中应注意在从具体到抽象的学习过程中，让学生对数学知识的来龙去脉有着清晰的认识，而非横空出世；二是指在教师的合理引导下发挥学生主观能动性，体验数学的再创造过程，从而自我建构数学知识，形成数学思想方法的活动。前者重在教师的主导作用，学生在教师的引导下参与教学活动，体验、发现、归纳，即在已有的生活经验基础上逐渐由具体到抽象；后者主要指学生在数学学习过程中通过反思逐步积累数学的知识与方法，并能用数学的方法认识和解决实际问题。因此，前者是后者的基础，后者是前者的提升。
由此，数学教学就必须避免以掌握一些解题诀窍为教学目标，从而导致死记硬背、生吞活剥地记住一些概念、定理为目标。教师的任务不是把现成的知识灌输给学生，而是既要结合学生熟悉的事物善于深入浅出地引发数学问题、讲解数学问题，把数学与生活紧密地结合起来，又要营造一个激励探索和理解的气氛，让学生在观察体验、动手实践的基础上学会把眼前的问题与自己已有的知识体验之间发生关联，从中有效地学习方程思想、数形结合思想、分类思想，学习建模思想、转化思想、整体思想和概率统计思想等方法。
一、让学生在数学化的活动中感悟数学思想方法
案例1：从找位子游戏中学习模型化
为什么要建立直角坐标系？直角坐标系中的点为什么需要用两个数据？这两个数据为什么有顺序？如何表达这种顺序？这“一对数”如何与“两个数”区别开来？义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）七年级（下）第六章第一课时《有序数对》的学习，就是要引导学生解决这样的问题。当然，教材提供了很好的线索，如电影院里座位的号码。但此情境让农村教师为难了。孩子没有上过电影院，对几排几号没有经验。善于想办法的小孙老师便设计了下面的找朋友游戏。
游戏规则：（1）第一排的学生参加游戏；（2）把第二排规定为第一排，往后依次类推。教室各排从左到右依次为1号，2号……（3）教师手中准备这样几种座位票：有排无号，有号无排，有排有号，排号互换，无排无号等；（4）参加游戏的学生从教师手中抽取座位票，然后寻找座位票上的位置。找到对应位置的同学就是自己的朋友。找不到位置的学生，请他们谈谈找不到的原因。如果要找到位置，还需补上什么条件？
与自己有缘的是哪一位呢？学生的好奇心一下子被激发了，孩子们进入教师设计的情境之中。找到朋友的孩子兴高采烈，拿着票而无法找朋友的孩子有的一筹莫展，有的则向教师提出了抗议。于是，在真实情境中，孩子们通过能否找到、找到谁的亲身体验，初步认识到要在平面上确定物体的位置一般需要两个数据，仅一个数据，不能确定朋友；此时又与顺序有关，不同的顺序找到的是不同的朋友。在这样一个智力活动处于激活的状态下，“顺序”、“数对”、把数对中两数分开的“逗号”及形成一对数的“括号”等符号和概念拥有了具体的意义，学生在头脑中形成了表象。于是，在这样一个解决问题的实践活动中，孩子们体验了从具体场景到问题的抽象概括，进而转化为思维的形式化和表达的符号化问题的过程，有序数对模型的最终建立使数学化思维过程真切自然，数学建模的真切性变得触手可摸。
概念是人们对客观事实的反映，不是凭空捏造的。因此，只有真正经历过从具体到抽象的思维过程，知识才能成为融合在学生认知结构中的有机部分，学生才会在解决具体问题的过程中灵活运用。这种把现实生活与数学学习沟通起来，把具体问题与抽象概念联系起来的教学方法，不仅有利于数学思想方法的培养，而且避免了人为编造或过于抽象的数学问题，以至于学生形成“数学是高高在上的”潜在恐惧感，对学生在情感、态度、价值观方面具有良好的教育意义。
案例2：哪家旅行社合算
学习一元二次方程时，教师给出这样一个问题：
某校科技小组的学生在3名教师带领下，准备前往国家森林公园考察，采集标本。当地有甲、乙两家旅行社，其定价都一样并表示对师生都有优惠：甲旅行社表示带队教师免费，学生按8折收费；乙旅行社表示师生一律按7折收费。经核算，甲、乙两旅行社的实际收费正好相同。该科技小组共有多少学生?
教师请一位已完成计算的学生把解法在黑板上演示一下。
解：设科技小组共有x名学生，两家旅行社定价1，则
80%x=70%（x+3）
解得x=21。
答：该科技小组共有21名学生。
“正确。”但是，教师话锋一转，抛出了第二个问题：如果上题中的科技小组增加学生人数，那么去哪家旅行社较合算？
经过思考，学生们七嘴八舌地说上了，气氛逐渐热烈。
“我们认为去乙旅行社较合算。我们试了，当增加1人时：
甲旅行社80%（21+1）=17.6
乙旅行社70%（21+3+1）=17.5
17.6＞17.5
所以，选乙旅行社合算。”
“我们也选乙旅行社，但我们认为增加1人不放心，我们一共试了20人，得到这个结论。”
师：以上两个小组说得很好，通过试一些特殊情况猜想到去乙旅行社更合算，这是一种很好的思维方式，特别在小范围很有效。但人数增加为200人，情况还是这样吗？学生们还有其他看法吗？
照理，就特殊情况而得的猜想，应该有严密的证明、说理过程。若用传统的“请学生们证明”可能就会出现无从说起的局面。而“增加更多的人”的提问方式，显得有实际意义，“入口”小，学生容易接受，因而也就有了一定的挑战性。
沉默了一会儿，小王打破了僵局。
“我也选乙旅行社。但我一个也不需要试。我认为增加的全是学生。而学生在甲旅行社打8折，乙旅行社打7折，因此选乙旅行社一定没错。”
一片哗然。对呀！就是！我怎么没想到？……
师：同学们，你们认为小王同学的发言有说服力吗？
“有说服力。比前面两个同学的发言更全面，更有说服力。”
师：如果其他条件不变，选甲旅行社比选乙旅行社合算，那么学生人数有什么变化？
教师提出了第三个问题。
生：学生人数小于21人时，选甲旅行社合算。
师：为什么?
生：因为前面算出当学生人数为21人时费用相等，学生越多，去乙旅行社越合算。那么，反之，学生越少，去甲旅行社越合算，否则不是矛盾了吗？
学生的生活经验和直觉不自觉地发挥了作用。
师：能从反面思考解决问题，很好。那么，再提第四个问题：教师人数变为2人，打折情况不变，又如何呢？
条件的不断变化，促使学生不断变换思考角度。
生1：我通过方程先算出两家旅行社实际收费一样的情况，再讨论其余情况。学生人数应是14人。
生2：我利用了第一个问题的结论。既然教师3人、学生21人时收费一样，那么教师为2人时，可按比例算，即：教师人数/学生人数=3/21=1/7，那么，教师2人时，应该有：2/学生人数=1/7，所以，学生人数14人时两家收费一样。
这后一种解法的思想方法教师事先根本就没想到，突如其来，令教师感到压力，但直觉告诉教师，孩子的想法是正确的。
（沉默了一会儿）
师：这位学生的发言很好！独立思考，很新颖！是否正确，老师需要同学们的帮助，共同探讨。
当学生终于通过方程80%x=70%（x+3）研究得出，方程本身可以写成（x+3）/x=80%/70%，即收费相等时师生总人数与学生人数之比为8∶7，那么就是教师与学生人数之比为1∶7时，两旅行社的收费相等。由此，还得出只要去两旅行社费用一样，那么，无论教师如何变化，我们都有相应的办法求出学生人数的结论。
此时的学生除了对生2的直觉大为钦佩外，又有了知识上的收获。
在接下来的课中，教师联系学生的解法，对本堂课提出的问题和每个问题的解决方法作了小结。
……
与其给人死板的知识，不如给人以生动、活泼的思想方法，如此才能点石成金。教师把一道封闭的应用题改编成一道开放性生活问题，模拟实际情况，精心设计四个问题，激发了学生的好胜心。在设计解决问题的方案过程中，学生俨然是个当家人，感到肩负重担，解决问题的愿望迫切，使创造性思维火花得到进发。
值得赞扬的还有教师对纷繁的问题和解法所作的及时小结。学生在解决问题过程产生出来的方法有时是不自觉的，教师的及时肯定和归纳性总结非常有利于在学生头脑中形成明确的、稳固的思想方法，有利于学生自觉运用这些思想方法。
教学实验研究表明，当学生进行整体思维时，他得到整个经验和情感的支持，从而较能调动他的思维积极性。采取分列式思维的学生，总是把重点放在一系列子问题上，他们也把子问题联系在一起考虑，但这时十分重视其逻辑顺序。他们在对一个问题行将结束时才对所学内容有较为完整的看法。这两种学生到最后都达到了同样的理解水平。因此，教学中不同学生的不同思维风格都应予以尊重，也应在表示肯定的同时，提倡互相学习。
从本案例的教学氛围来讲，可以看到课堂上师生关系平等融洽，给学生心理上以安全感。而在学生思维活跃的情况下，教师也就时刻都有可能接受学生的挑战。就这堂课而言，教师也遇到了挑战，突如其来的用比例方式完成的回答，令教师一时思维“短路”。按当时的情境，若为维护教师所谓的权威，固执地驳斥学生的发言，告诉他们用方程来解就行了，将会扼杀多少学生的积极性。可见，学生学习数学化的过程、学习数学思想方法的过程，也是教师教学的艺术化的过程。
二、从现象到本质——数学思想方法的提炼是重要的数学化过程
案例3：妈妈的留言条
在上《用字母表示数》一课时，刘老师先让学生一起看短文：
周末，妈妈早晨上班时，嘱咐读七年级的小明打扫一下家里的卫生，小明按妈妈的要求做完事后，坐在窗边想着他想买的玩具，可又愁没钱。他计上心来，在妈妈回家前在桌上留了一张纸条，然后躲在房里看妈妈的动静。
妈妈看见小明的纸条上是这样写的：“拖地：3元；叠被：1元；抹窗户：5元；丢垃圾袋：1元，共计10元。”妈妈看后，一言不发。提笔在纸条后加上几行字：“吃饭：x元；穿衣：y元；带去看病：z元；关心：a元……共计b元。”写完就到厨房做饭去了，小明溜出来一看，心生惭愧，赶紧收起了纸条。
师：妈妈写的x，y，z，a，b表示什么？小明为什么心生惭愧？如果你是小明，你会怎么做？
生1：x，y，z，a，b表示钱数。小明想到妈妈为自己所做的一切而心生惭愧。如果我是小明，我会帮妈妈做家务。
生2：如果妈妈这样写，我会还给妈妈b元钱。
生3：妈妈的付出不是能用数字计算的，妈妈这样写的时候，并没有想向小明要钱的意思，我认为x，y，z，a，b表示0。
生4：x，y，z，a，b表示很大很大的数，因为妈妈给予我的太多太多。
生5：如果我是小明，我从现在起就刻苦学习，长大了用2x，2y，2z，2a，2b……的代价报答妈妈。
生6：我认为x，y，z，a，b……我长大了要以nx，ny，nz，na，nb（n是一个很大的数）多的爱回报妈妈以及所有爱我和关心我的人（他把字母表示数巧妙地用在了他的语言中，让其他学生羡慕不已）。
师：大家归纳一下，短文中的字母表示什么？
教师与学生一起归纳，并指明，用字母表示数是一种重要的数学方法。
“用字母表示数”是学生从算术学习到代数学习的重要跨越。该教学设计由生活情境入手，实例自然，有利于调动学生数学学习的内在动机，符合学生对数学的认识从具体到抽象的规律性，因而有利于发展数学化的思维。但是，在以实际问题作为背景去组织教学的同时，应防止另外一种倾向，即只满足于联系实际，而忽视了应有的思想方法的提升。我们应认识到，思想方法的提升实际上也是一个学习“数学化”的过程，而后者显然有着更为普遍和重要的意义。
比如，后面的教学中在初步建立起“符号可以被用来表示数”这样一种认识后，我们就可引导学生思考这样的问题：符号a可以代表哪些数？进而，－a是否一定代表负数？是否一定比a小？等等。类似的，在学会了用式表示运算律以后，我们又可提出如下的问题：“x+y=y+x”与“2+5=5+2”相比哪个具有更大的表现力？等等。因此，我们不能满足于教会学生正确地进行表示，还应当引导学生对数和字母进行比较，从而准确地把握两者的异同。而如果缺少必要的理论分析，就很难帮助学生较好地去实现数学思想方法的飞跃。
案例4：是你教给我的方法
这是一次数学竞赛时的故事。
学生小郑走出考场后．就兴奋地对胡老师说：“老师，这次一道有关绝对值的题目，你给我们做过，记得那时我做不出来，后来你教给我了方法，印象特别深。”当时胡老师也很兴奋，连忙找来试卷，然后打开近一年前的兴趣小组辅导备课笔记进行比较。
竞赛的题目是：设x是实数，y=|x-1|+|x+1|，下列四个结论：A．y没有最小值；B．只有一个x使y取到最小值；C．有有限个（不止一个）x使y取到最小值；D．有无穷多个x使y取到最小值。其正确的是（ ）。
而胡老师曾给学生做过的题目是解方程：|x-1|+|x+1|=3。两道题目虽有类似之处，都含有两个绝对值，但形式不一，一个是函数形式，一个是方程形式，而且时间相隔很长。为什么小郑做到这道题时，马上会联想起以前老师给他做过的那一道题目呢？一是由于小郑开始不会做，因此留下的印象特别深。更重要的是，当初胡老师给学生讲评时，并不是就事论事，而是就事论理，引导学生理解绝对值的几何意义，突出了数形结合的解题功能，使学生明白，所求的即是数轴上代表的那一点到代表－1和1的距离的和为3。同时，胡老师还对这道题目进行变式，如果方程|x-1|+|x+1|=2，方程的解会发生什么变化，让学生进一步领悟数形结合的解题本质。
胡老师深有体会地说，时隔那么多年，虽然教学中的很多事情会淡忘，但这件事情对他本人却是深有教益。题目中含有两个绝对值，而去掉绝对值的一般方法要到高中才学习，故此题对初中生来说，很难直接去掉两个绝对值的符号。学生能解答此题，完全得益于数学思想方法的升华。
这里的教学思想方法就是数形结合的思想方法。数形结合是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来研究数学问题，使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化。正因为把|x-1|+|x+1|=3这样一个抽象难懂的式子，在数轴上表示－1和1的点的距离之和之后，使代数问题的信息转换到了直观图形的问题上，解决起来当然容易多了。而巧妙的方法也给学生留下了深刻的印象。这正所谓“心中有数但不能得意忘形”。
数学思想方法蕴涵于数学基础知识之中，相对来说，它是隐性的、抽象的。为了更好地实现数学思想方法的教学，培养学生的数学化思想，教师要具备较高的数学思想方法素养，认真学习，掌握数学思想方法在整个数学发展中的地位，努力把初等数学和现代数学的基本思想方法有机地结合起来。
《数学课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，向学生提供充分从事数学活动的机会。这里一是指在教学中应注意在从具体到抽象的学习过程中，让学生对数学知识的来龙去脉有着清晰的认识，而非横空出世；二是指在教师的合理引导下发挥学生主观能动性，体验数学的再创造过程，从而自我建构数学知识，形成数学思想方法的活动。前者重在教师的主导作用，学生在教师的引导下参与教学活动，体验、发现、归纳，即在已有的生活经验基础上逐渐由具体到抽象；后者主要指学生在数学学习过程中通过反思逐步积累数学的知识与方法，并能用数学的方法认识和解决实际问题。因此，前者是后者的基础，后者是前者的提升。
由此，数学教学就必须避免以掌握一些解题诀窍为教学目标，从而导致死记硬背、生吞活剥地记住一些概念、定理为目标。教师的任务不是把现成的知识灌输给学生，而是既要结合学生熟悉的事物善于深入浅出地引发数学问题、讲解数学问题，把数学与生活紧密地结合起来，又要营造一个激励探索和理解的气氛，让学生在观察体验、动手实践的基础上学会把眼前的问题与自己已有的知识体验之间发生关联，从中有效地学习方程思想、数形结合思想、分类思想，学习建模思想、转化思想、整体思想和概率统计思想等方法。
一、让学生在数学化的活动中感悟数学思想方法
案例1：从找位子游戏中学习模型化
为什么要建立直角坐标系？直角坐标系中的点为什么需要用两个数据？这两个数据为什么有顺序？如何表达这种顺序？这“一对数”如何与“两个数”区别开来？义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）七年级（下）第六章第一课时《有序数对》的学习，就是要引导学生解决这样的问题。当然，教材提供了很好的线索，如电影院里座位的号码。但此情境让农村教师为难了。孩子没有上过电影院，对几排几号没有经验。善于想办法的小孙老师便设计了下面的找朋友游戏。
游戏规则：（1）第一排的学生参加游戏；（2）把第二排规定为第一排，往后依次类推。教室各排从左到右依次为1号，2号……（3）教师手中准备这样几种座位票：有排无号，有号无排，有排有号，排号互换，无排无号等；（4）参加游戏的学生从教师手中抽取座位票，然后寻找座位票上的位置。找到对应位置的同学就是自己的朋友。找不到位置的学生，请他们谈谈找不到的原因。如果要找到位置，还需补上什么条件？
与自己有缘的是哪一位呢？学生的好奇心一下子被激发了，孩子们进入教师设计的情境之中。找到朋友的孩子兴高采烈，拿着票而无法找朋友的孩子有的一筹莫展，有的则向教师提出了抗议。于是，在真实情境中，孩子们通过能否找到、找到谁的亲身体验，初步认识到要在平面上确定物体的位置一般需要两个数据，仅一个数据，不能确定朋友；此时又与顺序有关，不同的顺序找到的是不同的朋友。在这样一个智力活动处于激活的状态下，“顺序”、“数对”、把数对中两数分开的“逗号”及形成一对数的“括号”等符号和概念拥有了具体的意义，学生在头脑中形成了表象。于是，在这样一个解决问题的实践活动中，孩子们体验了从具体场景到问题的抽象概括，进而转化为思维的形式化和表达的符号化问题的过程，有序数对模型的最终建立使数学化思维过程真切自然，数学建模的真切性变得触手可摸。
概念是人们对客观事实的反映，不是凭空捏造的。因此，只有真正经历过从具体到抽象的思维过程，知识才能成为融合在学生认知结构中的有机部分，学生才会在解决具体问题的过程中灵活运用。这种把现实生活与数学学习沟通起来，把具体问题与抽象概念联系起来的教学方法，不仅有利于数学思想方法的培养，而且避免了人为编造或过于抽象的数学问题，以至于学生形成“数学是高高在上的”潜在恐惧感，对学生在情感、态度、价值观方面具有良好的教育意义。
案例2：哪家旅行社合算
学习一元二次方程时，教师给出这样一个问题：
某校科技小组的学生在3名教师带领下，准备前往国家森林公园考察，采集标本。当地有甲、乙两家旅行社，其定价都一样并表示对师生都有优惠：甲旅行社表示带队教师免费，学生按8折收费；乙旅行社表示师生一律按7折收费。经核算，甲、乙两旅行社的实际收费正好相同。该科技小组共有多少学生?
教师请一位已完成计算的学生把解法在黑板上演示一下。
解：设科技小组共有x名学生，两家旅行社定价1，则
80%x=70%（x+3）
解得x=21。
答：该科技小组共有21名学生。
“正确。”但是，教师话锋一转，抛出了第二个问题：如果上题中的科技小组增加学生人数，那么去哪家旅行社较合算？
经过思考，学生们七嘴八舌地说上了，气氛逐渐热烈。
“我们认为去乙旅行社较合算。我们试了，当增加1人时：
甲旅行社80%（21+1）=17.6
乙旅行社70%（21+3+1）=17.5
17.6＞17.5
所以，选乙旅行社合算。”
“我们也选乙旅行社，但我们认为增加1人不放心，我们一共试了20人，得到这个结论。”
师：以上两个小组说得很好，通过试一些特殊情况猜想到去乙旅行社更合算，这是一种很好的思维方式，特别在小范围很有效。但人数增加为200人，情况还是这样吗？学生们还有其他看法吗？
照理，就特殊情况而得的猜想，应该有严密的证明、说理过程。若用传统的“请学生们证明”可能就会出现无从说起的局面。而“增加更多的人”的提问方式，显得有实际意义，“入口”小，学生容易接受，因而也就有了一定的挑战性。
沉默了一会儿，小王打破了僵局。
“我也选乙旅行社。但我一个也不需要试。我认为增加的全是学生。而学生在甲旅行社打8折，乙旅行社打7折，因此选乙旅行社一定没错。”
一片哗然。对呀！就是！我怎么没想到？……
师：同学们，你们认为小王同学的发言有说服力吗？
“有说服力。比前面两个同学的发言更全面，更有说服力。”
师：如果其他条件不变，选甲旅行社比选乙旅行社合算，那么学生人数有什么变化？
教师提出了第三个问题。
生：学生人数小于21人时，选甲旅行社合算。
师：为什么?
生：因为前面算出当学生人数为21人时费用相等，学生越多，去乙旅行社越合算。那么，反之，学生越少，去甲旅行社越合算，否则不是矛盾了吗？
学生的生活经验和直觉不自觉地发挥了作用。
师：能从反面思考解决问题，很好。那么，再提第四个问题：教师人数变为2人，打折情况不变，又如何呢？
条件的不断变化，促使学生不断变换思考角度。
生1：我通过方程先算出两家旅行社实际收费一样的情况，再讨论其余情况。学生人数应是14人。
生2：我利用了第一个问题的结论。既然教师3人、学生21人时收费一样，那么教师为2人时，可按比例算，即：教师人数/学生人数=3/21=1/7，那么，教师2人时，应该有：2/学生人数=1/7，所以，学生人数14人时两家收费一样。
这后一种解法的思想方法教师事先根本就没想到，突如其来，令教师感到压力，但直觉告诉教师，孩子的想法是正确的。
（沉默了一会儿）
师：这位学生的发言很好！独立思考，很新颖！是否正确，老师需要同学们的帮助，共同探讨。
当学生终于通过方程80%x=70%（x+3）研究得出，方程本身可以写成（x+3）/x=80%/70%，即收费相等时师生总人数与学生人数之比为8∶7，那么就是教师与学生人数之比为1∶7时，两旅行社的收费相等。由此，还得出只要去两旅行社费用一样，那么，无论教师如何变化，我们都有相应的办法求出学生人数的结论。
此时的学生除了对生2的直觉大为钦佩外，又有了知识上的收获。
在接下来的课中，教师联系学生的解法，对本堂课提出的问题和每个问题的解决方法作了小结。
……
与其给人死板的知识，不如给人以生动、活泼的思想方法，如此才能点石成金。教师把一道封闭的应用题改编成一道开放性生活问题，模拟实际情况，精心设计四个问题，激发了学生的好胜心。在设计解决问题的方案过程中，学生俨然是个当家人，感到肩负重担，解决问题的愿望迫切，使创造性思维火花得到进发。
值得赞扬的还有教师对纷繁的问题和解法所作的及时小结。学生在解决问题过程产生出来的方法有时是不自觉的，教师的及时肯定和归纳性总结非常有利于在学生头脑中形成明确的、稳固的思想方法，有利于学生自觉运用这些思想方法。
教学实验研究表明，当学生进行整体思维时，他得到整个经验和情感的支持，从而较能调动他的思维积极性。采取分列式思维的学生，总是把重点放在一系列子问题上，他们也把子问题联系在一起考虑，但这时十分重视其逻辑顺序。他们在对一个问题行将结束时才对所学内容有较为完整的看法。这两种学生到最后都达到了同样的理解水平。因此，教学中不同学生的不同思维风格都应予以尊重，也应在表示肯定的同时，提倡互相学习。
从本案例的教学氛围来讲，可以看到课堂上师生关系平等融洽，给学生心理上以安全感。而在学生思维活跃的情况下，教师也就时刻都有可能接受学生的挑战。就这堂课而言，教师也遇到了挑战，突如其来的用比例方式完成的回答，令教师一时思维“短路”。按当时的情境，若为维护教师所谓的权威，固执地驳斥学生的发言，告诉他们用方程来解就行了，将会扼杀多少学生的积极性。可见，学生学习数学化的过程、学习数学思想方法的过程，也是教师教学的艺术化的过程。
二、从现象到本质——数学思想方法的提炼是重要的数学化过程
案例3：妈妈的留言条
在上《用字母表示数》一课时，刘老师先让学生一起看短文：
周末，妈妈早晨上班时，嘱咐读七年级的小明打扫一下家里的卫生，小明按妈妈的要求做完事后，坐在窗边想着他想买的玩具，可又愁没钱。他计上心来，在妈妈回家前在桌上留了一张纸条，然后躲在房里看妈妈的动静。
妈妈看见小明的纸条上是这样写的：“拖地：3元；叠被：1元；抹窗户：5元；丢垃圾袋：1元，共计10元。”妈妈看后，一言不发。提笔在纸条后加上几行字：“吃饭：x元；穿衣：y元；带去看病：z元；关心：a元……共计b元。”写完就到厨房做饭去了，小明溜出来一看，心生惭愧，赶紧收起了纸条。
师：妈妈写的x，y，z，a，b表示什么？小明为什么心生惭愧？如果你是小明，你会怎么做？
生1：x，y，z，a，b表示钱数。小明想到妈妈为自己所做的一切而心生惭愧。如果我是小明，我会帮妈妈做家务。
生2：如果妈妈这样写，我会还给妈妈b元钱。
生3：妈妈的付出不是能用数字计算的，妈妈这样写的时候，并没有想向小明要钱的意思，我认为x，y，z，a，b表示0。
生4：x，y，z，a，b表示很大很大的数，因为妈妈给予我的太多太多。
生5：如果我是小明，我从现在起就刻苦学习，长大了用2x，2y，2z，2a，2b……的代价报答妈妈。
生6：我认为x，y，z，a，b……我长大了要以nx，ny，nz，na，nb（n是一个很大的数）多的爱回报妈妈以及所有爱我和关心我的人（他把字母表示数巧妙地用在了他的语言中，让其他学生羡慕不已）。
师：大家归纳一下，短文中的字母表示什么？
教师与学生一起归纳，并指明，用字母表示数是一种重要的数学方法。
“用字母表示数”是学生从算术学习到代数学习的重要跨越。该教学设计由生活情境入手，实例自然，有利于调动学生数学学习的内在动机，符合学生对数学的认识从具体到抽象的规律性，因而有利于发展数学化的思维。但是，在以实际问题作为背景去组织教学的同时，应防止另外一种倾向，即只满足于联系实际，而忽视了应有的思想方法的提升。我们应认识到，思想方法的提升实际上也是一个学习“数学化”的过程，而后者显然有着更为普遍和重要的意义。
比如，后面的教学中在初步建立起“符号可以被用来表示数”这样一种认识后，我们就可引导学生思考这样的问题：符号a可以代表哪些数？进而，－a是否一定代表负数？是否一定比a小？等等。类似的，在学会了用式表示运算律以后，我们又可提出如下的问题：“x+y=y+x”与“2+5=5+2”相比哪个具有更大的表现力？等等。因此，我们不能满足于教会学生正确地进行表示，还应当引导学生对数和字母进行比较，从而准确地把握两者的异同。而如果缺少必要的理论分析，就很难帮助学生较好地去实现数学思想方法的飞跃。
案例4：是你教给我的方法
这是一次数学竞赛时的故事。
学生小郑走出考场后．就兴奋地对胡老师说：“老师，这次一道有关绝对值的题目，你给我们做过，记得那时我做不出来，后来你教给我了方法，印象特别深。”当时胡老师也很兴奋，连忙找来试卷，然后打开近一年前的兴趣小组辅导备课笔记进行比较。
竞赛的题目是：设x是实数，y=|x-1|+|x+1|，下列四个结论：A．y没有最小值；B．只有一个x使y取到最小值；C．有有限个（不止一个）x使y取到最小值；D．有无穷多个x使y取到最小值。其正确的是（ ）。
而胡老师曾给学生做过的题目是解方程：|x-1|+|x+1|=3。两道题目虽有类似之处，都含有两个绝对值，但形式不一，一个是函数形式，一个是方程形式，而且时间相隔很长。为什么小郑做到这道题时，马上会联想起以前老师给他做过的那一道题目呢？一是由于小郑开始不会做，因此留下的印象特别深。更重要的是，当初胡老师给学生讲评时，并不是就事论事，而是就事论理，引导学生理解绝对值的几何意义，突出了数形结合的解题功能，使学生明白，所求的即是数轴上代表的那一点到代表－1和1的距离的和为3。同时，胡老师还对这道题目进行变式，如果方程|x-1|+|x+1|=2，方程的解会发生什么变化，让学生进一步领悟数形结合的解题本质。
胡老师深有体会地说，时隔那么多年，虽然教学中的很多事情会淡忘，但这件事情对他本人却是深有教益。题目中含有两个绝对值，而去掉绝对值的一般方法要到高中才学习，故此题对初中生来说，很难直接去掉两个绝对值的符号。学生能解答此题，完全得益于数学思想方法的升华。
这里的教学思想方法就是数形结合的思想方法。数形结合是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来研究数学问题，使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化。正因为把|x-1|+|x+1|=3这样一个抽象难懂的式子，在数轴上表示－1和1的点的距离之和之后，使代数问题的信息转换到了直观图形的问题上，解决起来当然容易多了。而巧妙的方法也给学生留下了深刻的印象。这正所谓“心中有数但不能得意忘形”。
数学思想方法蕴涵于数学基础知识之中，相对来说，它是隐性的、抽象的。为了更好地实现数学思想方法的教学，培养学生的数学化思想，教师要具备较高的数学思想方法素养，认真学习，掌握数学思想方法在整个数学发展中的地位，努力把初等数学和现代数学的基本思想方法有机地结合起来。