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摘 要：从立体几何中点、线、面的位置关系及两类数量的计算来阐述正方体在其中所担任的重要角色。
关键词：正方体；定势；反例质疑；创设问题。
一、正方体是反例质疑的好助手
立体几何中的起始章节概念较密集，定义、定理、公理较多，加之学生已学过的平面几何知识对要学习立几知识产生定势作用，所以在教学中，经常发现学生概念不清，对定义、定理理解不透，把在平面几何中学到的定理、性质照搬到立体几何中，不加思索地处理立体几何中的问题，结果导致这样或那样的错误。有的学生明知某个问答题的提法不正确，但由于举不出反例，倒过去又去证明命题，结果也未能凑效。有时学生希望自己想象的某一个结论是正确的，贸然的把这个结论用在对问题的证明上，结果导致错误。怎样消除学生头脑中一些糊涂的想法呢？又怎样引导学生正确理解和解答立体几何中的一些问题呢？在立体几何的教学中，正方体是反例质疑的好助手。利用正方体进行反例质疑，同时也引导学生利用正方体来举出反例，这样学生对以前认为正确的结论现在否定了，有的疑问也打消了，对概念、定理的认识和理解又深入了一步，对培养学生的空间想象能力和抽象思维能力大有益处。现将在教学中收集的一些问题用提出问题的方式给予学生，将它用质疑的方法穿插到教学过程中去，对教学起到积极的作用。
下列各问题的说法是否正确？若不正确试举出反例（以下10题共用右图）。
1.两个平面如果有三个公共点，那么这两个平面重合。
答：不正确。如图正方体中，A、M、B是平面AC和平面AB1的三个公共点，但平面AC和平面AB1不重合。
（注意：区别“不在同一直线上的三点可以确定一个平面”。）
2.垂直于同一直线的两条直线平行.
答：不正确。如图正方体中，
A1A⊥AB，BC⊥AB，但A1A与BC
不平行，是异面直线；A1A⊥AB，
AD⊥AB，但A1A与AD不平行，
是相交直线。
（注意：在同一平面内，垂直于
同一直线的两条直线平行。）
3.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。
答：不正确。如图正方体中，D1D?奂平面AD1， CD?奂平面AC，但是DD1与CD不是异面直线而是相交直线；又如A1D1?奂平面 AD1， BC 平面AC，但是A1D1∥BC。
4.分别在两个平行平面内的两条直线一定平行。
答：不正确。如图正方体中，平面A1C1∥平面AC，A1D1 A1C1,
AB 平面AC，但是A1D1与AB不平行。
5.同时和一个平面相交成等角的两条直线互相平行。
答：不正确。如图正方体中，A1D和C1B与平面AC相交所成的角相等，但A1D和C1B不平行。
6.如果一条直线平行一个平面，那么这条直线就和这个平面内的任何直线平行。
答:不正确。如图正方体中，A1B1∥平面AC,BC?奂平面AC,
但A1B1和BC是异面直线.
7.在空间，过已知直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线。
答：不正确。如图正方体中，BC、BB1两条直线过B点，但
BC⊥CD,BB1⊥CD.
8.在空间，过已知直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线。
答：不正确。如图正方体中，B是直线AB上一点，BC⊥AB，BB1⊥AB。
9.如果一个平面内的两条直线都平行于另一个平面，那么这两条直线互相平行。
答：不正确。如图正方体中，A1B1?奂平面A1C1, B1C1?奂平面A1C1且A1B1∥平面AC，B1C1∥平面AC，但是A1B1和B1C1不是平行直线而是相交直线。
10.平行于同一直线的两个平面互相平行。
答：不正确。如图正方体中，CC1∥平面AB1，CC1∥平面AD1，
但是平面AB1与平面AD1不是平行平面，而是相交平面。
二、正方体是创设问题的宝垒
《立体几何》中直线和平面这一章是以研究空间点、线、面的位置关系为线索贯穿于整章内容，在研究点、线、面的位置关系问题时，所有问题都可以放在正方体中研究。另外，直线和平面这一章中的两类数量即角度（线线角、线面角、二面角）和距离（两点距、点线距、点面距、线线距、面面距）的计算几乎覆盖于整章的计算题目，而正方体可派生出所有这类计算方面的问题。
例如：如图正方体ABCD-A1B1C1D1中
1.求AA1与B1C所成的角.
2.求AD1与A1C1所成的角.
3.求AD1与面ABCD所成的角.
4.求BD1与面ABCD所成的角.
5.求面ABC1D1与面ABCD所成的角.
6.求面ABC1D1与面AA1DD1所成的角.
7.M是AA1的中点，求平面MBD与平面BDC1所成的角.
8.求A1D与AD1的交点P与B点之间的距离.
9.求点A到直线B1C的距离.
10.求点A到直线BC1的距离.
11.求点D1到面A1DB1C的距离.
12.求点A1到面AB1D1的距离.
13.求点D1到面BCB1C1的距离.
14.求异面直线BD与A1C1之间的距离.
15.E为CC1的中点，F是BD1的中点，求异面直线BD1与CC1之间的距离.(提示：可以证明EF是BD1与CC1的公垂线)
16.求点D1到面BDE的距离.（提示：VE-BDD1=VD1-BDE）
17.求面AA1DD1与面BB1CC1之间的距离.
参考文献
[1][美]G.波利亚：《怎样解题》。
[2] 《中学数学》1985年出版。
[3]《中学数学教学参考》1985年出版。
[4]中等职业学校教材《数学》第三册。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
关键词：正方体；定势；反例质疑；创设问题。
一、正方体是反例质疑的好助手
立体几何中的起始章节概念较密集，定义、定理、公理较多，加之学生已学过的平面几何知识对要学习立几知识产生定势作用，所以在教学中，经常发现学生概念不清，对定义、定理理解不透，把在平面几何中学到的定理、性质照搬到立体几何中，不加思索地处理立体几何中的问题，结果导致这样或那样的错误。有的学生明知某个问答题的提法不正确，但由于举不出反例，倒过去又去证明命题，结果也未能凑效。有时学生希望自己想象的某一个结论是正确的，贸然的把这个结论用在对问题的证明上，结果导致错误。怎样消除学生头脑中一些糊涂的想法呢？又怎样引导学生正确理解和解答立体几何中的一些问题呢？在立体几何的教学中，正方体是反例质疑的好助手。利用正方体进行反例质疑，同时也引导学生利用正方体来举出反例，这样学生对以前认为正确的结论现在否定了，有的疑问也打消了，对概念、定理的认识和理解又深入了一步，对培养学生的空间想象能力和抽象思维能力大有益处。现将在教学中收集的一些问题用提出问题的方式给予学生，将它用质疑的方法穿插到教学过程中去，对教学起到积极的作用。
下列各问题的说法是否正确？若不正确试举出反例（以下10题共用右图）。
1.两个平面如果有三个公共点，那么这两个平面重合。
答：不正确。如图正方体中，A、M、B是平面AC和平面AB1的三个公共点，但平面AC和平面AB1不重合。
（注意：区别“不在同一直线上的三点可以确定一个平面”。）
2.垂直于同一直线的两条直线平行.
答：不正确。如图正方体中，
A1A⊥AB，BC⊥AB，但A1A与BC
不平行，是异面直线；A1A⊥AB，
AD⊥AB，但A1A与AD不平行，
是相交直线。
（注意：在同一平面内，垂直于
同一直线的两条直线平行。）
3.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。
答：不正确。如图正方体中，D1D?奂平面AD1， CD?奂平面AC，但是DD1与CD不是异面直线而是相交直线；又如A1D1?奂平面 AD1， BC 平面AC，但是A1D1∥BC。
4.分别在两个平行平面内的两条直线一定平行。
答：不正确。如图正方体中，平面A1C1∥平面AC，A1D1 A1C1,
AB 平面AC，但是A1D1与AB不平行。
5.同时和一个平面相交成等角的两条直线互相平行。
答：不正确。如图正方体中，A1D和C1B与平面AC相交所成的角相等，但A1D和C1B不平行。
6.如果一条直线平行一个平面，那么这条直线就和这个平面内的任何直线平行。
答:不正确。如图正方体中，A1B1∥平面AC,BC?奂平面AC,
但A1B1和BC是异面直线.
7.在空间，过已知直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线。
答：不正确。如图正方体中，BC、BB1两条直线过B点，但
BC⊥CD,BB1⊥CD.
8.在空间，过已知直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线。
答：不正确。如图正方体中，B是直线AB上一点，BC⊥AB，BB1⊥AB。
9.如果一个平面内的两条直线都平行于另一个平面，那么这两条直线互相平行。
答：不正确。如图正方体中，A1B1?奂平面A1C1, B1C1?奂平面A1C1且A1B1∥平面AC，B1C1∥平面AC，但是A1B1和B1C1不是平行直线而是相交直线。
10.平行于同一直线的两个平面互相平行。
答：不正确。如图正方体中，CC1∥平面AB1，CC1∥平面AD1，
但是平面AB1与平面AD1不是平行平面，而是相交平面。
二、正方体是创设问题的宝垒
《立体几何》中直线和平面这一章是以研究空间点、线、面的位置关系为线索贯穿于整章内容，在研究点、线、面的位置关系问题时，所有问题都可以放在正方体中研究。另外，直线和平面这一章中的两类数量即角度（线线角、线面角、二面角）和距离（两点距、点线距、点面距、线线距、面面距）的计算几乎覆盖于整章的计算题目，而正方体可派生出所有这类计算方面的问题。
例如：如图正方体ABCD-A1B1C1D1中
1.求AA1与B1C所成的角.
2.求AD1与A1C1所成的角.
3.求AD1与面ABCD所成的角.
4.求BD1与面ABCD所成的角.
5.求面ABC1D1与面ABCD所成的角.
6.求面ABC1D1与面AA1DD1所成的角.
7.M是AA1的中点，求平面MBD与平面BDC1所成的角.
8.求A1D与AD1的交点P与B点之间的距离.
9.求点A到直线B1C的距离.
10.求点A到直线BC1的距离.
11.求点D1到面A1DB1C的距离.
12.求点A1到面AB1D1的距离.
13.求点D1到面BCB1C1的距离.
14.求异面直线BD与A1C1之间的距离.
15.E为CC1的中点，F是BD1的中点，求异面直线BD1与CC1之间的距离.(提示：可以证明EF是BD1与CC1的公垂线)
16.求点D1到面BDE的距离.（提示：VE-BDD1=VD1-BDE）
17.求面AA1DD1与面BB1CC1之间的距离.
参考文献
[1][美]G.波利亚：《怎样解题》。
[2] 《中学数学》1985年出版。
[3]《中学数学教学参考》1985年出版。
[4]中等职业学校教材《数学》第三册。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。