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摘要:本文谈论了数学美的几个特点——数学的和谐性、奇异性、扭曲性等。
关键词:数学美 和谐性 奇异性 扭曲性
爱美之心,人皆有之,人们执着地追求美。除了艺术美,大自然的美外,人们是否想到科学也有美,数学也有美呢?下面笔者根据多年的教学经验主要讨论一下数学美的几个特点:
一、数学美的和谐性
数学的和谐不仅是数学的特点,原子的特点,也是生命的特点,人的特点。——高尔基
宇宙概念常常在哲学家脑子里面表现为和谐,因为宇宙是和谐的。数学的严谨自然流露出它的和谐,为了追求和谐数学家们一直在努力,以消除其中不和谐的东西,比如悖论,他是指一个自相矛盾,对广泛认同的见解的一个反例。古希腊毕达哥拉斯学派认为:宇宙间的一切现象都归结为数和整数之比。但毕达哥拉斯定理(即我国的勾股定理)的发现,使当时人们在数的认识上产生了疑惑。两直角边都是1的直角三角形的斜边是几?依照该学派的观点,设它的长为m/n,这时m,n既约,则m,n至少其一为奇数。由毕达哥拉斯定理可得12+12=m2/n2。故m2=2n2。因为2n2是偶数,则m必为偶数,n是奇数。设m=2p,则4p2=2n2,n2=2p2,从而n是偶数。这与前设矛盾。
这是希伯斯最早发现的直角三角形弦与勾(股)不可通约的例子,被称为数学史上的第一次危机。这一次引起毕达哥拉斯学派的恐慌,但是它却导致了一类新数(无理数)的发现,乃至欧几里德《几何原本》的公理体系与亚里斯多德的逻辑体系的形成。
二、数学美的奇异性
英国哲学家培根说过:“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇特,美在于奇特而令人惊异。”
让我们来看看数学的这些奇异美,领略一下其中的奥妙,看上去他们似乎“离经判道”,有悖于人们期待的规律。方程3x2-y2=2有无数组有理解,但是x2-3y2=2却无有理解;方程x2+y2=1有无数组有理解,但是x2+y2=3却没有有理解。
上述陈述中的两个方程看上去相差无几,但结果却是“差之毫厘,谬以千里”。
一元三次方程解法复杂,公元4世纪,希腊人已经知道某些特殊三次方程的解法:公元十一世纪阿拉伯学者海亚姆也系统地研究过三次方程的解法,但是一般三次方程的求根公式则是1545年意大利的卡尔达诺在他的《大法》一书中给出的。尔后卡尔达诺的学生费拉里给出了一元四次方程的求根公式。
人们希望能寻着二次、三次、四次方程的成果去寻找n(n≥5)次方程的求根公式,(这是代数学逻辑发展的必然和探求其内在美完整性的需要)。然而事与愿违,经过许多数学家近三百年的努力结果仍然是渺茫。
年轻的数学家阿贝尔总结了前人的教训,开始反思这个问题,他在拉格朗日、鲁菲尼等人的成果基础上证明了一般五次和五次以上代数方程的解不能用公式给出。由此开辟了研究近世代数包括群论的崭新学科。
三、数学美的扭曲
数学并不应当纯粹建立在无矛盾性这一点上。——布尔巴基
“断臂女神”维娜斯的雕像,是古希腊艺术家的杰作,1820年从希腊弥罗岛一座倒塌的神庙里发掘出来时,已经残缺,而且任何将雕像复原的方案,都不能被人们接受,而这残缺的艺术佳作,不仅以其优雅造型显示女性的丰腴、典雅、专注、宁静的美,同时也因其残缺而给人留下了另一种美感——残缺的美,这其实是美的一种扭曲。数学中也存在这样的例子,请看下面的例子:
某工会有20张剧票,该厂有三个车间(甲、乙、丙),各有人数103、63、34。工会依人数比例欲将票发至各车间,计算结果显示如下:
按常规,甲、乙、丙三车间各分得剧票10、6和4张(分配比例中丙车间的尾数最大,按整数分配的要求,剩余一张理应分配给该车间。)
当听说工会又多了一张剧票时,人们只好重新计算一番。
仍然按照常规分法,这时三车间各得剧票11、7、3,这下问题来了,20张票时,丙车间得四张,而21张时丙车间反而得3张,如此分法岂有合理可言?
为此科学家们不得不重新审视传统的分配方法,比如有人提出合理的分配应使分配方案中票数与人数比例差额之和尽量小者为最佳。比如按11,7,3 分配票据,上述和差为:|11/103-7/63| + |7/63-3/34|+ |11/103-4/34| =0.0458,而若按11、6、4分配票据上述和差为:|11/103-6/63| + |6/63-3/34|+ |11/103-4/34| =0.0448,后者小于前者,相比较而言后者更合理一些,这时自然不会出现前面的怪异现象了。
此例有其深刻的历史背景,源于1790年美国财政部长汉米尔顿给出的国会议员分配方法,对于这类问题,数学家仍有深入的讨论与对策。
对于数学美的讨论,可以启迪人们的思维,开阔人们的视野,激发人们的激情,同时又可预示数学发展的前景,指明人们的研究方法和方向。物理学巨匠爱因斯坦的科学研究,也从数学美中受益匪浅,他认为:“理论科学家在探索理论时,就不得不愈来愈从纯粹数学的形式去考虑。因为实验家的物理经验不能把他提高到最抽象的领域中去 。”
对数学的研究,人们都会不自觉地使用美学的规律,可以这样说:“数学的发展是对于数学美追求的结晶,纵观数学发展史,这个结论是不难获得的。”
杨振宁也曾说过:“任何科学领域都存在美,只要你能用心挖掘到他的美,你就有可能攀登科学顶峰。”
参考文献:
[1] 张奠宙,《20世纪数学神话》,知识出版社,1984
[2] 吴文俊,《现代数学新进展》,安徽科学技术出版社,1988
[3] 徐立治,《数学方法论选讲》,华中工学院出版社,1986
[4] 梁柯,《数学美揽胜》,广西接力出版社,1993
关键词:数学美 和谐性 奇异性 扭曲性
爱美之心,人皆有之,人们执着地追求美。除了艺术美,大自然的美外,人们是否想到科学也有美,数学也有美呢?下面笔者根据多年的教学经验主要讨论一下数学美的几个特点:
一、数学美的和谐性
数学的和谐不仅是数学的特点,原子的特点,也是生命的特点,人的特点。——高尔基
宇宙概念常常在哲学家脑子里面表现为和谐,因为宇宙是和谐的。数学的严谨自然流露出它的和谐,为了追求和谐数学家们一直在努力,以消除其中不和谐的东西,比如悖论,他是指一个自相矛盾,对广泛认同的见解的一个反例。古希腊毕达哥拉斯学派认为:宇宙间的一切现象都归结为数和整数之比。但毕达哥拉斯定理(即我国的勾股定理)的发现,使当时人们在数的认识上产生了疑惑。两直角边都是1的直角三角形的斜边是几?依照该学派的观点,设它的长为m/n,这时m,n既约,则m,n至少其一为奇数。由毕达哥拉斯定理可得12+12=m2/n2。故m2=2n2。因为2n2是偶数,则m必为偶数,n是奇数。设m=2p,则4p2=2n2,n2=2p2,从而n是偶数。这与前设矛盾。
这是希伯斯最早发现的直角三角形弦与勾(股)不可通约的例子,被称为数学史上的第一次危机。这一次引起毕达哥拉斯学派的恐慌,但是它却导致了一类新数(无理数)的发现,乃至欧几里德《几何原本》的公理体系与亚里斯多德的逻辑体系的形成。
二、数学美的奇异性
英国哲学家培根说过:“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇特,美在于奇特而令人惊异。”
让我们来看看数学的这些奇异美,领略一下其中的奥妙,看上去他们似乎“离经判道”,有悖于人们期待的规律。方程3x2-y2=2有无数组有理解,但是x2-3y2=2却无有理解;方程x2+y2=1有无数组有理解,但是x2+y2=3却没有有理解。
上述陈述中的两个方程看上去相差无几,但结果却是“差之毫厘,谬以千里”。
一元三次方程解法复杂,公元4世纪,希腊人已经知道某些特殊三次方程的解法:公元十一世纪阿拉伯学者海亚姆也系统地研究过三次方程的解法,但是一般三次方程的求根公式则是1545年意大利的卡尔达诺在他的《大法》一书中给出的。尔后卡尔达诺的学生费拉里给出了一元四次方程的求根公式。
人们希望能寻着二次、三次、四次方程的成果去寻找n(n≥5)次方程的求根公式,(这是代数学逻辑发展的必然和探求其内在美完整性的需要)。然而事与愿违,经过许多数学家近三百年的努力结果仍然是渺茫。
年轻的数学家阿贝尔总结了前人的教训,开始反思这个问题,他在拉格朗日、鲁菲尼等人的成果基础上证明了一般五次和五次以上代数方程的解不能用公式给出。由此开辟了研究近世代数包括群论的崭新学科。
三、数学美的扭曲
数学并不应当纯粹建立在无矛盾性这一点上。——布尔巴基
“断臂女神”维娜斯的雕像,是古希腊艺术家的杰作,1820年从希腊弥罗岛一座倒塌的神庙里发掘出来时,已经残缺,而且任何将雕像复原的方案,都不能被人们接受,而这残缺的艺术佳作,不仅以其优雅造型显示女性的丰腴、典雅、专注、宁静的美,同时也因其残缺而给人留下了另一种美感——残缺的美,这其实是美的一种扭曲。数学中也存在这样的例子,请看下面的例子:
某工会有20张剧票,该厂有三个车间(甲、乙、丙),各有人数103、63、34。工会依人数比例欲将票发至各车间,计算结果显示如下:
按常规,甲、乙、丙三车间各分得剧票10、6和4张(分配比例中丙车间的尾数最大,按整数分配的要求,剩余一张理应分配给该车间。)
当听说工会又多了一张剧票时,人们只好重新计算一番。
仍然按照常规分法,这时三车间各得剧票11、7、3,这下问题来了,20张票时,丙车间得四张,而21张时丙车间反而得3张,如此分法岂有合理可言?
为此科学家们不得不重新审视传统的分配方法,比如有人提出合理的分配应使分配方案中票数与人数比例差额之和尽量小者为最佳。比如按11,7,3 分配票据,上述和差为:|11/103-7/63| + |7/63-3/34|+ |11/103-4/34| =0.0458,而若按11、6、4分配票据上述和差为:|11/103-6/63| + |6/63-3/34|+ |11/103-4/34| =0.0448,后者小于前者,相比较而言后者更合理一些,这时自然不会出现前面的怪异现象了。
此例有其深刻的历史背景,源于1790年美国财政部长汉米尔顿给出的国会议员分配方法,对于这类问题,数学家仍有深入的讨论与对策。
对于数学美的讨论,可以启迪人们的思维,开阔人们的视野,激发人们的激情,同时又可预示数学发展的前景,指明人们的研究方法和方向。物理学巨匠爱因斯坦的科学研究,也从数学美中受益匪浅,他认为:“理论科学家在探索理论时,就不得不愈来愈从纯粹数学的形式去考虑。因为实验家的物理经验不能把他提高到最抽象的领域中去 。”
对数学的研究,人们都会不自觉地使用美学的规律,可以这样说:“数学的发展是对于数学美追求的结晶,纵观数学发展史,这个结论是不难获得的。”
杨振宁也曾说过:“任何科学领域都存在美,只要你能用心挖掘到他的美,你就有可能攀登科学顶峰。”
参考文献:
[1] 张奠宙,《20世纪数学神话》,知识出版社,1984
[2] 吴文俊,《现代数学新进展》,安徽科学技术出版社,1988
[3] 徐立治,《数学方法论选讲》,华中工学院出版社,1986
[4] 梁柯,《数学美揽胜》,广西接力出版社,1993