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【关键词】 小学数学 关键字词 教学策略
【文献编码】 doi:10.3969/j.issn.0450-9889（A）.2011.11.024
课例回放
教学内容：人教版小学数学第十册第六单元《认识众数》
（在学习了众数的意义以及找众数的方法后，进入到练习时间。）
师：请同学们翻开课本第123页的“做一做”，试着独立完成前三个问题。（生动笔练习，师巡视。）
做一做
五（1） 班全体同学左眼视力情况如下：
5.0 4.9 5.3 5.2 4.7 5.2 4.8 5.1 5.3 5.2
4.8 5.0 4.5 5.1 4.9 5.1 4.7 5.0 4.8 5.1
5.0 4.8 4.9 5.1 4.5 5.1 4.6 5.1 4.7 5.1
5.0 5.1 5.1 4.9 5.0 5.1 5.2 5.1 4.6 5.0
（1） 根据上面的数据完成下面的统计表。
（2） 这组数据的中位数，众数各是多少？
（3） 你认为用哪一个数据代表全班同学视力的一般水平比较合适？
全班交流，师分别指名回答。
（前两个小问题学生的答案都很一致，第（3）题则出现了分歧。）
生1：这组数据的众数是5.1，视力为5.1的有12个人，我认为用众数代表全班同学视力的一般水平比较合适。（该生一说完，立刻有不少学生举手表示反对。）
生2：我不同意你的看法！我认为用中位数代表全班同学视力的一般水平比较合适。因为这里说的是这组数据的“一般水平”，众数能反映的是一组数据的“集中情况”，而不是“一般水平”！（这个答案明显得到了较多同学的认同。）
生3：我也认为应该用中位数。因为众数5.1和最低视力水平4.5相差比较远，相对来说中位数5.0更合适一些。
生4：可是这节课学习的是众数啊，这个练习肯定是为了众数而设计的嘛！
生5：我们要看题目的关键词。这道题明明问的就是“一般水平”，上个学期学习中位数时课本就说了，中位数能代表一组数据的“一般水平”！
（学生的争辩激烈起来，但是认可用中位数的人明显占了上风，他们觉得自己抓住了“关键字词”，是占足了理的。而赞成用众数的学生只能用“这节课学习的内容是众数，所以课后练习就应该是练习用众数的”这个理由来支持自己的观点，却难免显得不够理直气壮。）
师（略显尴尬）：好了，同学们先安静。虽然这里的确提到了“一般水平”，但是在这组数据中，众数占的比例较大，说明有较多同学的视力在这个水平，所以应该用众数来代表这组数据的一般水平。
生（小声议论）：啊？众数也能代表一般水平吗？
……
（在不少学生的质疑声中，年轻的教师快速进入到下一个环节……）
诊断•探讨
笔者认为，这是一个典型的因为教师对教材的理解出现偏差而造成学生认知错误的课例。中位数和众数的知识都是课改后新选入教材的。相对于学生接触较多的平均数来说，中位数和众数显得不太好理解，运用起来更显生硬。
众所周知，在日常教学中，教师们都会为了提高学生的审题和理解能力，有意识地训练学生从书本概念或练习题目中寻找并分析“关键字词”。例如，在教材中关于梯形的概念是：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。在这一句话中，有经验的教师都会引导学生抓住“只”字。因为“有”和“只有”是不同的含义，而梯形概念往往会出现在判断题或填空题中考查学生，其考点就是看学生有没有分清“有一组对边平行”和“只有一组对边平行”这两句话的具体内涵。看似相差无几，实则大相径庭。不知多少粗心的学生会在这里被绊一下，所以更让无数的教师加紧操练，以书为上，唯恐对课本概念中出现的“关键字词”有所疏漏，最后误人子弟。教师们的出发点是好的，这一做法看起来过于应试，但实实在在也是能提高学生的分析理解能力和数学素养的。然而，这一做法如果用在教学平均数、中位数和众数这几个统计量上，是否完全得当呢？让我们一起来分析一下。
《数学课程标准》中明确指出：要让学生“通过丰富的实例，理解平均数、中位数、众数的意义，会求数据的平均数、中位数、众数，并解释结果的实际意义；根据具体的问题，能选择适当的统计量表示数据的不同特征”。为了达到这一要求，不少教师在教学这几个统计量的意义和作用时，都会以书为本，要求学生把课本中的具体语句画出来。以下是课本对这三个统计量作用的阐述：
平均数能较好地反映一组数据的总体情况。（人教版小学数学第六册P43）
中位数的优点是不受偏大或偏小数据的影响，因此，有时用它代表全体数据的一般水平更合适。（人教版小学数学第九册P105）
众数能够反映一组数据的集中情况。（人教版小学数学第十册P123）
通过对课本和教学参考书的分析理解，结合统计学的知识，笔者尝试推敲，得出这样的结论：
（1） 课本中出现的“总体情况”“一般水平”和“集中情况”绝对不是玩文字游戏，而是分别根据三个统计量的特点不同而运用的一种恰当的表达方式，虽说在文中不能互换，但是也并不能把这三个词视为三个统计量的“代名词”。
（2） 笔者认为，一组数据的一般水平可以用不止一个的统计量来反映（或代表）。只是当这组数据中出现了偏大或偏小的数据时，可以优先考虑用中位数来代表它的一般水平。然而，绝对不能理解为：只要说到“一般水平”，就是直指中位数。其实，平均数也是可以反映出一组数据的一般水平的。
（3） 众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小仅与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，它的众数即是在统计分布上具有明显集中趋势点的数值。这也是一个值得关注的统计量，当集中的情况较明显时，众数也可以代表整组数据的一般水平。
（4） 《教师教学用书》中这样阐述：在这部分知识的教学中，要注意讲清上述三个量的联系与区别，使学生知道它们都是描述一组数据集中趋势的统计量，但描述的角度和适用范围有所不同，在具体的问题中究竟采用哪种统计量来描述一组数据的集中趋势，要根据数据的特点及我们所关心的问题来确定。
综上所述，平均数、中位数和众数这三个统计量的意义和作用在一定程度上是有共同点的。事实上，在人们的日常统计运用中，这三个量都是结合着用，共同为分析数据而服务。因此，我们不能泾渭分明地认为某个统计量就只能反映某个单一的问题。而且，所谓的“总体情况”“一般水平”等词，也都是表述上的一个说法而已，在内涵上是有交集的，在一些情况下也可以表示同样的意思。然而，在教学中如果教师不深入了解统计常识，不注重对具体统计量意义的分析，而仅仅是让学生勾画所谓的“关键字词”，就会容易致使学生出现死记硬背、断章取义的结果：平均数——总体情况；中位数——一般水平；众数——集中情况。更何况在一些所谓的课外习题集、练习册中常会出现这样的一些填空或选择题，如：“平均数能反映一组数据的（ ）情况。”“中位数代表的是一组数据的（ ）水平。”此类题目没有对统计的数据特征进行必要的描述，答案直指所谓的“关键字词”，这样一来也在无形中将这几个词相对应地印刻在了学生的脑海中，所以也就不难想象为什么会出现开篇课例中的情况了。如果要从这样的课堂追溯回去，我们必定可以看到在教学中位数时，教师是如何为了与“平均数”这个旧知区分开来，而让学生牢记“一般水平”这个“关键词”的。
事实证明，当数学教学不注重知识的外在意义和内在联系，只针对只字片语进行机械记忆时，其结果必定是错漏百出，经不起推敲。作为数学教师，如果不能对数学的学科知识体系有一个整体的认识，在教学上只是“走一步看一步”，就容易“目光短浅”，出现知识性的错误。
（责编 林 剑）
【文献编码】 doi:10.3969/j.issn.0450-9889（A）.2011.11.024
课例回放
教学内容：人教版小学数学第十册第六单元《认识众数》
（在学习了众数的意义以及找众数的方法后，进入到练习时间。）
师：请同学们翻开课本第123页的“做一做”，试着独立完成前三个问题。（生动笔练习，师巡视。）
做一做
五（1） 班全体同学左眼视力情况如下：
5.0 4.9 5.3 5.2 4.7 5.2 4.8 5.1 5.3 5.2
4.8 5.0 4.5 5.1 4.9 5.1 4.7 5.0 4.8 5.1
5.0 4.8 4.9 5.1 4.5 5.1 4.6 5.1 4.7 5.1
5.0 5.1 5.1 4.9 5.0 5.1 5.2 5.1 4.6 5.0
（1） 根据上面的数据完成下面的统计表。
（2） 这组数据的中位数，众数各是多少？
（3） 你认为用哪一个数据代表全班同学视力的一般水平比较合适？
全班交流，师分别指名回答。
（前两个小问题学生的答案都很一致，第（3）题则出现了分歧。）
生1：这组数据的众数是5.1，视力为5.1的有12个人，我认为用众数代表全班同学视力的一般水平比较合适。（该生一说完，立刻有不少学生举手表示反对。）
生2：我不同意你的看法！我认为用中位数代表全班同学视力的一般水平比较合适。因为这里说的是这组数据的“一般水平”，众数能反映的是一组数据的“集中情况”，而不是“一般水平”！（这个答案明显得到了较多同学的认同。）
生3：我也认为应该用中位数。因为众数5.1和最低视力水平4.5相差比较远，相对来说中位数5.0更合适一些。
生4：可是这节课学习的是众数啊，这个练习肯定是为了众数而设计的嘛！
生5：我们要看题目的关键词。这道题明明问的就是“一般水平”，上个学期学习中位数时课本就说了，中位数能代表一组数据的“一般水平”！
（学生的争辩激烈起来，但是认可用中位数的人明显占了上风，他们觉得自己抓住了“关键字词”，是占足了理的。而赞成用众数的学生只能用“这节课学习的内容是众数，所以课后练习就应该是练习用众数的”这个理由来支持自己的观点，却难免显得不够理直气壮。）
师（略显尴尬）：好了，同学们先安静。虽然这里的确提到了“一般水平”，但是在这组数据中，众数占的比例较大，说明有较多同学的视力在这个水平，所以应该用众数来代表这组数据的一般水平。
生（小声议论）：啊？众数也能代表一般水平吗？
……
（在不少学生的质疑声中，年轻的教师快速进入到下一个环节……）
诊断•探讨
笔者认为，这是一个典型的因为教师对教材的理解出现偏差而造成学生认知错误的课例。中位数和众数的知识都是课改后新选入教材的。相对于学生接触较多的平均数来说，中位数和众数显得不太好理解，运用起来更显生硬。
众所周知，在日常教学中，教师们都会为了提高学生的审题和理解能力，有意识地训练学生从书本概念或练习题目中寻找并分析“关键字词”。例如，在教材中关于梯形的概念是：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。在这一句话中，有经验的教师都会引导学生抓住“只”字。因为“有”和“只有”是不同的含义，而梯形概念往往会出现在判断题或填空题中考查学生，其考点就是看学生有没有分清“有一组对边平行”和“只有一组对边平行”这两句话的具体内涵。看似相差无几，实则大相径庭。不知多少粗心的学生会在这里被绊一下，所以更让无数的教师加紧操练，以书为上，唯恐对课本概念中出现的“关键字词”有所疏漏，最后误人子弟。教师们的出发点是好的，这一做法看起来过于应试，但实实在在也是能提高学生的分析理解能力和数学素养的。然而，这一做法如果用在教学平均数、中位数和众数这几个统计量上，是否完全得当呢？让我们一起来分析一下。
《数学课程标准》中明确指出：要让学生“通过丰富的实例，理解平均数、中位数、众数的意义，会求数据的平均数、中位数、众数，并解释结果的实际意义；根据具体的问题，能选择适当的统计量表示数据的不同特征”。为了达到这一要求，不少教师在教学这几个统计量的意义和作用时，都会以书为本，要求学生把课本中的具体语句画出来。以下是课本对这三个统计量作用的阐述：
平均数能较好地反映一组数据的总体情况。（人教版小学数学第六册P43）
中位数的优点是不受偏大或偏小数据的影响，因此，有时用它代表全体数据的一般水平更合适。（人教版小学数学第九册P105）
众数能够反映一组数据的集中情况。（人教版小学数学第十册P123）
通过对课本和教学参考书的分析理解，结合统计学的知识，笔者尝试推敲，得出这样的结论：
（1） 课本中出现的“总体情况”“一般水平”和“集中情况”绝对不是玩文字游戏，而是分别根据三个统计量的特点不同而运用的一种恰当的表达方式，虽说在文中不能互换，但是也并不能把这三个词视为三个统计量的“代名词”。
（2） 笔者认为，一组数据的一般水平可以用不止一个的统计量来反映（或代表）。只是当这组数据中出现了偏大或偏小的数据时，可以优先考虑用中位数来代表它的一般水平。然而，绝对不能理解为：只要说到“一般水平”，就是直指中位数。其实，平均数也是可以反映出一组数据的一般水平的。
（3） 众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小仅与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，它的众数即是在统计分布上具有明显集中趋势点的数值。这也是一个值得关注的统计量，当集中的情况较明显时，众数也可以代表整组数据的一般水平。
（4） 《教师教学用书》中这样阐述：在这部分知识的教学中，要注意讲清上述三个量的联系与区别，使学生知道它们都是描述一组数据集中趋势的统计量，但描述的角度和适用范围有所不同，在具体的问题中究竟采用哪种统计量来描述一组数据的集中趋势，要根据数据的特点及我们所关心的问题来确定。
综上所述，平均数、中位数和众数这三个统计量的意义和作用在一定程度上是有共同点的。事实上，在人们的日常统计运用中，这三个量都是结合着用，共同为分析数据而服务。因此，我们不能泾渭分明地认为某个统计量就只能反映某个单一的问题。而且，所谓的“总体情况”“一般水平”等词，也都是表述上的一个说法而已，在内涵上是有交集的，在一些情况下也可以表示同样的意思。然而，在教学中如果教师不深入了解统计常识，不注重对具体统计量意义的分析，而仅仅是让学生勾画所谓的“关键字词”，就会容易致使学生出现死记硬背、断章取义的结果：平均数——总体情况；中位数——一般水平；众数——集中情况。更何况在一些所谓的课外习题集、练习册中常会出现这样的一些填空或选择题，如：“平均数能反映一组数据的（ ）情况。”“中位数代表的是一组数据的（ ）水平。”此类题目没有对统计的数据特征进行必要的描述，答案直指所谓的“关键字词”，这样一来也在无形中将这几个词相对应地印刻在了学生的脑海中，所以也就不难想象为什么会出现开篇课例中的情况了。如果要从这样的课堂追溯回去，我们必定可以看到在教学中位数时，教师是如何为了与“平均数”这个旧知区分开来，而让学生牢记“一般水平”这个“关键词”的。
事实证明，当数学教学不注重知识的外在意义和内在联系，只针对只字片语进行机械记忆时，其结果必定是错漏百出，经不起推敲。作为数学教师，如果不能对数学的学科知识体系有一个整体的认识，在教学上只是“走一步看一步”，就容易“目光短浅”，出现知识性的错误。
（责编 林 剑）