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1一个中心：方程模型与图形结构要匹配
1.1杜绝显性不当的方程模型
例1如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，1），而点C（m，0）是x轴上的一个动点.若使△ABC的面积等于2，则m=.
错解如图1，过点A作x轴的平行线AE，过点B作y轴的平行线ED，交AE于点E，交x轴于点D，则四边形ACDE为直角梯形，且S△ABC=S梯形DCAE-S△BAE-S△BDC，由此得12×2×（1 m-2）-12×1×m-2-12×1×1=2，解得m1=-1，m2=5.
1.2谨防隐性不当的方程模型
例2如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P以3cm/s的速度从点A沿AC向点C运动，同时点Q以4cm/s的速度从点B沿BC向点C运动.设点P运动的时间为t，是否存在这样的t，使PQ垂直平分斜边上的中线CD？若存在，求出t的值；若不存在，试说明理由.
图4错解如图4，分别连接DP、DQ，若存在时间t，使PQ垂直平分中线CD，则Rt△PCQ≌Rt△PDQ，故S△PCQ=S△PDQ；再过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，则易知DE、DF均为Rt△ABC的中位线，且DE=4，DF=3；从而由S△ADP S△BDQ S四边形PCQD=S△ABC得，
12×3t×4 12×4t×3 （8-4t）（6-3t）
=12×8×6，①
解得t1=1，t2=2（使点P、Q重合，舍去）.
辨析上述解法似乎很严谨，其实不然.因为由S△ADP S△BDQ S四边形PCQD=S△ABC得到方程①，其根据是S△PCQ=S△PDQ，但S△PCQ=S△PDQ時，并不一定有PQ垂直平分CD，所以方程①的解有可能使PQ垂直平分CD，也可能使PQ不垂直平分CD.因此，该方程模型与PQ垂直平分CD的图形结构是否匹配，难以确定.故这种情况下，对方程的解必须进行检验，否则无法确定最终的结果.事实上，经检验知，上述的t=1使四边形PCQD变成了矩形，其邻边的长分别为3、4（见图4），此时PQ（即EF）只平分CD，而与CD不垂直，故例2无解.
上述两个案例表明：在列方程解几何题时，不管图形如何变化，其方程模型都必须与图形的结构特征完全匹配.因此，方程模型与图形结构是否匹配的问题，应是列方程解几何题时需要认真思索的一个主要问题.当方程模型存在不当之处时，就要设法进行调整，使它与图形的结构完全匹配；当方程模型与图形的结构是否匹配难以确定时，就应对方程的解进行检验.
2两个基本点：防增解、防漏解
在有些情况下，由于某种原因，也可能出现所列方程与图形结构不完全匹配的情况.因此，还必须注意以下两点：
2.1防增解
例3如图5，已知点A（23，0），B（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且图5∠AOP=45°，则点P的坐标是.
错解1如图6，在Rt△AOB中，由勾股定理易知AB=4.再连接PA、PB，又易知△PAB为等腰直角三角形，于是PA=PB=AB×sin45°=22.
设P（m，m），且作PC⊥x轴，垂足为C，则PC=m，AC=23-m.在Rt△APC中，由勾股定理知m2 （23-m）2=（22）2①，解得m1=3 1，m2=3-1.
一方面，若设E（m，-m），并过点E作EF⊥x轴，垂足为F，则EF=m，AF=23-m.在Rt△AEF中，由EF2 AF2=EA2仍得①式，从而仍有m1=3 1，m2=3-1.再根据点E（m，-m）与点P（m，m）坐标间的关系，不难看出，此思路及解法1所得结果分别是图8中P、E两点的横坐标.
另一方面，若设E（-m，m），且过点E作EG⊥y轴，垂足为G，则GE=-m，GB=2-m.在Rt△BGE中，由GE2 GB2=EB2仍得②式，从而仍有m1=1 3，m2=1-3.可见，此思路及解法2所得结果分别是图8中P、E两点的纵坐标.
以上分析表明，方程①、方程②均与图8的结构特征相匹配，它们的解分别是图8中P、E两个点的横（或纵）坐标.但图5中并无图8中的点E，故这两个方程模型所蕴涵的图形信息都比图5多一种情况，它们都把解的外延扩大了，这就是产生增解的原因.既然增解是由所列的方程引发的，那就应调整思路而改用其它的方程模型.显然，例3若采用下列解法3求解，就不会产生增解.
解法3如图6，与思路1同法求出AB=4，PA=PB=22，并设P（m，m）.
因为S△PAO S△POB=S△BAO S△BAP，所以12×23×m 12×2×m=12×2×23 12×（22）2，解得m=1 3，从而P（1 3，1 3）.
2.2防漏解
例4在平面直角坐标系xOy中，已知A是直线y=kx 3上的一个动点，点B的坐标为（10，0）.若在直线y=kx 3上只存在一点A，使∠OAB=90°，则k=.
图9错解如图9，设A（x，kx 3），并连接OA、BA，再作AD⊥x轴，垂足为D.
由于∠OAB=90°，易知Rt△AOD∽Rt△BAD，故ADBD=ODAD，又得AD2=BD×OD，从而有（kx 3）2=x（10-x），即（k2 1）x2 （6k-10）x 9=0①，因只有一个点A，使∠OAB=90°，故方程①的判别式等于零，即（6k-10）2-36（k2 1）=0，解得k=815.
辨析值得注意的是，在上述解法中，ADBD=ODAD与AD2=BD×OD并非等价关系，前者不允许AD=0，后者允许AD=0，而方程①是根据后者得到的.因此，在考察方程①的解与点A的位置关系时，不可忽视AD=0这一因素. 事实上，当方程①有两个不相等的实数解时，如果k的值使方程①有一个解所对应的AD≠0，而另一个解所对应的AD=0，那么在这两个解所对应的两个点A中，只能有一个使∠OAB=90°，也符合题目的要求.这是因为：一方面，对于满足AD≠0的那个点A，方程①所依赖的等量关系AD2=BD×OD可化为ADBD=ODAD，而此时AD⊥OB（见图9），故易知Rt△AOD∽Rt△BAD，從而这个点A使∠OAB=∠OAD ∠DAB=∠OAD ∠DOA=90°；另一方面，对于满足AD=0的那个点A，由AD2=BD×OD知，BD、OD中必有其一为0，从而这个点A必与点O或点B重合，这时∠OAB均不存在，从而只有前一个点A使∠OAB=90°，故符合题目要求.
必须指出，如果像上述错解那样，只考虑方程①有两个相等实数解的情况，是无法涉及到AD=0这个情况的.理由是：当方程①有两个相等的实数解时，这两个解所对应的两个AD必重合，此时若使AD=0，则意味着点A在x轴上，而点O、B也都在x轴上，从而使∠OAB≠90°，这与题设条件“在直线y=kx 3上只存在一点A，使∠OAB=90°”矛盾.因此，由于无法考虑AD=0的因素，此时导致漏解的现象就在所难免了.
那么，成为漏解的k值又是多少呢？由前面的分析知道：对于这个漏掉的k值来说，它必使方程①有一个解所对应的AD≠0，而另一个解所对应的AD=0.（见图10.注：图10中有两个点A，一个使AD≠0，另一个使AD=0）.图10在这一情况下，由A（x，kx 3）知，与AD=0相对应的那个解必使kx 3=0，再将该式代入方程（kx 3）2=x（10-x）中，得x=0或x=10.而把x=0代入kx 3=0，得k×0 3=0，显然无解；把x=10代入kx 3=0，得10k 3=0，故k=-310.
综上所述，最终的结果应该是k=815或k=-310.
对例4的探究过程表明：一方面，题设条件“若在直线y=kx 3上只存在一点A，使∠OAB=90°”蕴涵着图9与图10两种结构特征；另一方面，方程①的数量关系既与图9的结构特征相对应（方程①有两个相等的实数根时），又与图10的结构特征相对应（方程①有两个不相等的实数根时）.可见，题设条件所属的情况与方程①的数量关系是完全匹配的.但例4的上述错解只考虑了图9的结构特征，而忽略图10的情况，故必然要产生漏解.因此，只有善于联想，缜密思索，并深入挖掘方程模型所蕴含的丰富信息，才能有效地防范漏解现象的发生.
1.1杜绝显性不当的方程模型
例1如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，1），而点C（m，0）是x轴上的一个动点.若使△ABC的面积等于2，则m=.
错解如图1，过点A作x轴的平行线AE，过点B作y轴的平行线ED，交AE于点E，交x轴于点D，则四边形ACDE为直角梯形，且S△ABC=S梯形DCAE-S△BAE-S△BDC，由此得12×2×（1 m-2）-12×1×m-2-12×1×1=2，解得m1=-1，m2=5.
1.2谨防隐性不当的方程模型
例2如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P以3cm/s的速度从点A沿AC向点C运动，同时点Q以4cm/s的速度从点B沿BC向点C运动.设点P运动的时间为t，是否存在这样的t，使PQ垂直平分斜边上的中线CD？若存在，求出t的值；若不存在，试说明理由.
图4错解如图4，分别连接DP、DQ，若存在时间t，使PQ垂直平分中线CD，则Rt△PCQ≌Rt△PDQ，故S△PCQ=S△PDQ；再过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，则易知DE、DF均为Rt△ABC的中位线，且DE=4，DF=3；从而由S△ADP S△BDQ S四边形PCQD=S△ABC得，
12×3t×4 12×4t×3 （8-4t）（6-3t）
=12×8×6，①
解得t1=1，t2=2（使点P、Q重合，舍去）.
辨析上述解法似乎很严谨，其实不然.因为由S△ADP S△BDQ S四边形PCQD=S△ABC得到方程①，其根据是S△PCQ=S△PDQ，但S△PCQ=S△PDQ時，并不一定有PQ垂直平分CD，所以方程①的解有可能使PQ垂直平分CD，也可能使PQ不垂直平分CD.因此，该方程模型与PQ垂直平分CD的图形结构是否匹配，难以确定.故这种情况下，对方程的解必须进行检验，否则无法确定最终的结果.事实上，经检验知，上述的t=1使四边形PCQD变成了矩形，其邻边的长分别为3、4（见图4），此时PQ（即EF）只平分CD，而与CD不垂直，故例2无解.
上述两个案例表明：在列方程解几何题时，不管图形如何变化，其方程模型都必须与图形的结构特征完全匹配.因此，方程模型与图形结构是否匹配的问题，应是列方程解几何题时需要认真思索的一个主要问题.当方程模型存在不当之处时，就要设法进行调整，使它与图形的结构完全匹配；当方程模型与图形的结构是否匹配难以确定时，就应对方程的解进行检验.
2两个基本点：防增解、防漏解
在有些情况下，由于某种原因，也可能出现所列方程与图形结构不完全匹配的情况.因此，还必须注意以下两点：
2.1防增解
例3如图5，已知点A（23，0），B（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且图5∠AOP=45°，则点P的坐标是.
错解1如图6，在Rt△AOB中，由勾股定理易知AB=4.再连接PA、PB，又易知△PAB为等腰直角三角形，于是PA=PB=AB×sin45°=22.
设P（m，m），且作PC⊥x轴，垂足为C，则PC=m，AC=23-m.在Rt△APC中，由勾股定理知m2 （23-m）2=（22）2①，解得m1=3 1，m2=3-1.
一方面，若设E（m，-m），并过点E作EF⊥x轴，垂足为F，则EF=m，AF=23-m.在Rt△AEF中，由EF2 AF2=EA2仍得①式，从而仍有m1=3 1，m2=3-1.再根据点E（m，-m）与点P（m，m）坐标间的关系，不难看出，此思路及解法1所得结果分别是图8中P、E两点的横坐标.
另一方面，若设E（-m，m），且过点E作EG⊥y轴，垂足为G，则GE=-m，GB=2-m.在Rt△BGE中，由GE2 GB2=EB2仍得②式，从而仍有m1=1 3，m2=1-3.可见，此思路及解法2所得结果分别是图8中P、E两点的纵坐标.
以上分析表明，方程①、方程②均与图8的结构特征相匹配，它们的解分别是图8中P、E两个点的横（或纵）坐标.但图5中并无图8中的点E，故这两个方程模型所蕴涵的图形信息都比图5多一种情况，它们都把解的外延扩大了，这就是产生增解的原因.既然增解是由所列的方程引发的，那就应调整思路而改用其它的方程模型.显然，例3若采用下列解法3求解，就不会产生增解.
解法3如图6，与思路1同法求出AB=4，PA=PB=22，并设P（m，m）.
因为S△PAO S△POB=S△BAO S△BAP，所以12×23×m 12×2×m=12×2×23 12×（22）2，解得m=1 3，从而P（1 3，1 3）.
2.2防漏解
例4在平面直角坐标系xOy中，已知A是直线y=kx 3上的一个动点，点B的坐标为（10，0）.若在直线y=kx 3上只存在一点A，使∠OAB=90°，则k=.
图9错解如图9，设A（x，kx 3），并连接OA、BA，再作AD⊥x轴，垂足为D.
由于∠OAB=90°，易知Rt△AOD∽Rt△BAD，故ADBD=ODAD，又得AD2=BD×OD，从而有（kx 3）2=x（10-x），即（k2 1）x2 （6k-10）x 9=0①，因只有一个点A，使∠OAB=90°，故方程①的判别式等于零，即（6k-10）2-36（k2 1）=0，解得k=815.
辨析值得注意的是，在上述解法中，ADBD=ODAD与AD2=BD×OD并非等价关系，前者不允许AD=0，后者允许AD=0，而方程①是根据后者得到的.因此，在考察方程①的解与点A的位置关系时，不可忽视AD=0这一因素. 事实上，当方程①有两个不相等的实数解时，如果k的值使方程①有一个解所对应的AD≠0，而另一个解所对应的AD=0，那么在这两个解所对应的两个点A中，只能有一个使∠OAB=90°，也符合题目的要求.这是因为：一方面，对于满足AD≠0的那个点A，方程①所依赖的等量关系AD2=BD×OD可化为ADBD=ODAD，而此时AD⊥OB（见图9），故易知Rt△AOD∽Rt△BAD，從而这个点A使∠OAB=∠OAD ∠DAB=∠OAD ∠DOA=90°；另一方面，对于满足AD=0的那个点A，由AD2=BD×OD知，BD、OD中必有其一为0，从而这个点A必与点O或点B重合，这时∠OAB均不存在，从而只有前一个点A使∠OAB=90°，故符合题目要求.
必须指出，如果像上述错解那样，只考虑方程①有两个相等实数解的情况，是无法涉及到AD=0这个情况的.理由是：当方程①有两个相等的实数解时，这两个解所对应的两个AD必重合，此时若使AD=0，则意味着点A在x轴上，而点O、B也都在x轴上，从而使∠OAB≠90°，这与题设条件“在直线y=kx 3上只存在一点A，使∠OAB=90°”矛盾.因此，由于无法考虑AD=0的因素，此时导致漏解的现象就在所难免了.
那么，成为漏解的k值又是多少呢？由前面的分析知道：对于这个漏掉的k值来说，它必使方程①有一个解所对应的AD≠0，而另一个解所对应的AD=0.（见图10.注：图10中有两个点A，一个使AD≠0，另一个使AD=0）.图10在这一情况下，由A（x，kx 3）知，与AD=0相对应的那个解必使kx 3=0，再将该式代入方程（kx 3）2=x（10-x）中，得x=0或x=10.而把x=0代入kx 3=0，得k×0 3=0，显然无解；把x=10代入kx 3=0，得10k 3=0，故k=-310.
综上所述，最终的结果应该是k=815或k=-310.
对例4的探究过程表明：一方面，题设条件“若在直线y=kx 3上只存在一点A，使∠OAB=90°”蕴涵着图9与图10两种结构特征；另一方面，方程①的数量关系既与图9的结构特征相对应（方程①有两个相等的实数根时），又与图10的结构特征相对应（方程①有两个不相等的实数根时）.可见，题设条件所属的情况与方程①的数量关系是完全匹配的.但例4的上述错解只考虑了图9的结构特征，而忽略图10的情况，故必然要产生漏解.因此，只有善于联想，缜密思索，并深入挖掘方程模型所蕴含的丰富信息，才能有效地防范漏解现象的发生.