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【摘要】“两位数乘两位数笔算练习课”是一节部级优课。本文借助TPACK框架，对该课的教学内容、教学方法、技术应用及教学效果等进行了分析，旨在深度挖掘本课亮点，提出更优的解决方案，使部级优课发挥更大的示范作用。
【关键词】TPACK;数学思维;问题设计;小学数学
在信息技术已经高度融入生活的今天，与时俱进的课堂需要教师具备TPACK能力，即具有较高的整合技术的学科教学知识能力，TPACK是Technological Pedagogical and Content Knowledge的缩写。TPACK是教师创造性地将内容知识（Content Knowledge，CK）、教法知识（Pedagogical Knowledge，PK）和技术知识（Technological Knowledge，TK）三种关键知识融合起来，并超越三者的一种知识形态和教学基本素养，这需要教师具备深刻理解学科内容、教法和技术这三种知识要素，并将之有效融入课堂的意识和实施能力。教育部组织的“一师一优课、一课一名师”网上“晒课”活动不但产生了庞大的优质教育资源，而且在活动中强化了教师的TPACK能力。
“两位数乘两位数笔算练习课”是2018年度教育部“一师一优课、一课一名师”活动的一节部级优课。本文从教学内容、教学方法、技术应用及教学效果等方面对其进行了分析，旨在从TPACK视角挖掘亮点，提出更优的解决方案，使部级优课发挥更大的示范作用。
一、从教学内容（CK）到学情分析的升维分析
俗话说：“新手看树木，高手看森林。”看懂系统，才有可能破局。升维思考，即在整体中看局部的系统思维。如果一个教学设计者具有系统分析的网状思维，那么其所设计的教学方案显然将会比只有点状思维的设计者设计的方案要优秀得多。
1.关于教学内容分析
“两位数乘两位数笔算练习课”是小学数学三年级下册第四单元中的内容。部级优课“两位数乘两位数笔算练习课”的设计者从整个小学数学学科学习角度分析了该课内容，梁老师在教材分析中的叙述堪称经典：“‘两位数乘两位数的笔算’不仅是本单元的教学重点，也是全册教材的一个重点，在小学阶段‘数与代数’的学习中有着举足轻重的作用”，三句话将本节教学内容在教科书体系中的地位与作用表达得非常清晰。随后梁老师还对教学内容与其前后章节所涉及知识点的联系进行了分析，关注到对学生思维方法的培养，注重发展学生自主选择合适计算策略的意识，这都是非常值得肯定的。我们将该课教学内容在教材中的位置进行了图示化分析，如图1所示。
学生掌握了两位数乘两位数的计算方法，不但可以解决与之有关的实际问题，为以后学习三位数乘两位数打下基础，而且能为除数是两位数的除法和混合运算的学习做好准备，同时也能为解决生活中遇到的乘数是更多位数的乘法问题奠定基础。
2.关于学习者分析
教师不仅分析了学生已有的知识基础，還从年龄特点分析了学生在计算中容易出错的习惯性行为，如学生自主选择合适的计算策略的意识比较薄弱，同时缺乏运用计算个位的乘积或估算等方法，缺乏自觉判断计算结果合理性的意识。通过学习单，教师采用了讲、练、议相结合的形式，充分调动了学生的思维参与、情感参与，难易程度适宜的编题活动又激发了学生的兴趣、态度等非智力因素，从而很好地完成了本课的教学任务，获得了良好成果。
笔者将学生的认知结构及思维发展过程用可视化工具表达了出来，如图2所示。
二、从教学方法（PK）到教学目标的跃迁
1.教学目标的精准定位
（1）符合新课程改革的理念。该课的教学目标主体始终是学生，一直将学生放在主体位置。这是非常值得肯定的，这也是“以学生为中心”的教学设计的第一关键特征。
（2）遵循《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求。设计者结合本节课的实际情况，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面确定了本节课的学习目标，培养了学生的数学核心素养。例如，在知识与技能目标的制订上，设计者将本节课涉及的数学知识与技能分别写出，采用了可检测性语言进行描述，具体内容如下。
目标1：进一步理解两位数乘两位数的算理，熟练掌握两位数乘两位数（进位）的笔算方法。
目标2：学会用两位数乘两位数（进位）的计算方法解决简单的实际问题，能合理灵活地选择方法解决问题。
目标3：学会用估算和计算个位乘积等方法判断结果的合理性，发展思维的灵活性，养成细心计算的习惯。
2.科学取向的目标分析
在经验取向与科学取向的博弈中，科学取向的教学设计日渐势强。科学取向的教学设计，需要教师依照一定的教与学理论进行教学目标的定位，下面仅基于布卢姆（Bloom）认知目标分类框架对该课的教学目标进行分析，具体内容见表1。
该课为巩固练习课，目标的知识维度主要是程序性知识，符合小学三年级学生的认知特点及学科教学特点。而认知过程的维度，涉及记忆、理解、应用、分析、评价五个层面，其中理解、应用、分析、评价目标较多，体现教师注重对学生解决问题能力的培养。其中，记忆、理解、应用属于低级思维能力发展目标，也属于浅层次学习能力;分析、评价、创造属于高级思维能力发展目标，也属于深层次学习能力。该课的教学目标贯穿了认知过程的六个维度。
3.思辨：教学过程中的知识增长引擎
（1）从旧知到新知：在开始的基础练习导入环节，教师先让学生通过一道笔算题（见图3），回顾竖式计算的顺序和方法，以加深学生对竖式含义的理解。这属于回忆旧知引发新知的学习过程，为本课后面的内容学习奠定了必要的基础，达成教学目标1。
（2）从理解到应用：该课中教师组织学生开展了四次有梯度的学习活动，从基础的笔算（见图3）到“巧编算式”的探究活动（见图4），再到灵活选择方法来解决问题（见图5），最后到探索规律的活动（见图6），立足“通法”、兼顾“巧法”的数学解题原则徐徐展开。教师智慧的问题设计不断引发学生思考，通过“说一说”将学生对计算策略的选择思维显性化;同时，教师巧妙地将学生从对事实性知识进行识记带领到对概念性知识进行归纳、理解，如有的学生提出用排除法判断对错。 例如，用PPT的动画功能先遮挡63×45竖式的中间过程，让学生进行辨析（见图4），学生思考后尝试运用估算或计算个位的乘积来快速判断，这有利于发展学生的思辨能力。又如，在拓展练习中，学生在交流中碰撞出思维的火花，发现了“头同尾和十”的乘法中蕴含的规律，再利用此规律直接写出其他各题的得数。在探索规律的活动中，学生逐步感悟到推理的数学思想。通过这一系列学习活动，学生在提升学习兴趣的同时，也培养了数学思维能力。
（3）从分析到创造：本课“巧编算式”环节，是最大亮点，也是培养学生开放性思维的过程，教师让学生经历生成素材→尝试估算→笔算比较→纠错总结等环节。梁老师顺应了学生好奇、善于挑战的心理需求，巧妙地设计了一连串的问题链（见图7），不仅为学生搭建了分析问题的脚手架，还预留出评价、创造的空间，让学生在编题的过程中，不仅强化了估算意识，还培养了灵活选择计算策略的意识，属于对高级思维能力的培养。这些问题链逐层递进，让练习课练出新意，走向深入。
如图7所示，梁老师让学生利用43×65中的“3、4、5、6”这四个数字，编出比43×65的积要大的两位数乘两位数的算式。学生的学习兴趣高涨，主动尝试编算式，并自觉地选择估算的策略，然后快速编出算式“53×64”和“63×54”。由此学生初步感悟到当不需要知道准确值时，可以灵活运用估算直接快速判断。然后，梁老师通过一系列追问“63×45真的比43×65的积要大吗？53×64和63×54，哪个算式的积最大？用估算好判断吗？估算不好判断，怎么办？”引发学生深入思考。
学生语言行为活跃程度与教师的提问技巧和教学设计等有很大的关系。从课例录像中我们发现，大部分学生的语言行为发生在课堂中的小组讨论及其成果汇报过程中。有研究表明，学习策略的学习受儿童心理發展水平、学习动机差异及所接受的训练等因素影响。梁老师带领学生在交流对话中发现规律并应用规律，营造了民主、灵动的课堂氛围，使学生的解题能力和数学思维力都得到了提升。相信其中的一些思维方式也会帮助学生逐渐形成一种元认知知识，即学习方法的习得。这种由简单到复杂、由低级思维向高级思维发展的训练和学习方式，符合数学学习的认知规律，是科学、合理、有效的设计。
从信息加工理论看来，学习者是信息的主动加工者，学习者必须选择组织相关信息，通过自己已有的知识对信息进行解释，从而理解信息。因此，教师应给学生预留出加工信息的空间，营造有效、高效的学习环境和氛围，设计开放性的问题讨论环节，激发学生的灵感，以便学生厘清思路，检查和修正自身的理解。梁老师在学习任务和设问方面的完美设计，让学生在思辨中寻找规律，在练习中掌握知识，值得广大数学教师学习借鉴。
三、简单就是美：技术应用（TK）的跳脱可能
技术媒体辅助教学，历来具有最优化原则。本节课中教师使用了PPT的最简单功能：播放、分批动画（见表2），尤其是让学生猜出正确的答案环节，可以快速地反馈学生的回答是否正确。同时，梁老师还利用磁性黑板贴出预先准备的部分板书内容，节约了大量的课堂时间;请学生到讲台分享其解题思路，也使得重要教学内容视觉停留的需求被满足。从教学效果来看，学生的思维活跃，用数学语言表达解题思路清晰，也能够灵活选择方法快速解决问题，教学目标的达成度很高。从教师素养来看，梁老师的学科功底深厚，教学态度亲切，教学实施如行云流水，节奏明快。
但教学是一门遗憾的艺术，没有最好，只有更好。尽管这是一节部级优课，如硬件条件允许，但也有需要改进的地方。比如，我们是否可以利用交互式电子白板简单的拖曳功能将学习思路可视化，从而使课堂中的互动更加充分呢？是否可以用智慧教室的移动终端记录每位学生的学习数据，从而最大可能地满足学生的个性化学习需求呢？例如，在“连一连”（见图8）的环节，如果将互动技术融入课堂，将课件讲授环节改为一个游戏化的环节发布至每位学生的平板终端，学生通过拖曳就能验证自己的猜测是否正确，这样就会使这节课更为灵动。在智慧教室环境下，师生之间的互动将升维成每位学生与游戏化课件之间、学生与学生之间的互动，每位学生都有参与的机会，他们的获得感和幸福感将成倍增长。
在当今时代，技术的应用问题无可回避，同时也强调“恰当、有效、交互、创新、生成”等要素。一方面，教师需要将TK、PK、CK这三种知识要素经常在自己脑中交互、融合，如此才能找到这三者的有效结合点，跳脱出原来的演示行为习惯。在新技术的支持下，一个简单的应用就会推动课堂发生大改变而进入深度互动的样态中，这也是一种升维思考。另一方面，技术是教师素养的放大镜，基本功扎实的教师，有了技术就等于如虎添翼;反之，技术的介入会使其缺点更加凸显。所以，我们在夯实基本功的前提下，不得不考究如何利用简单的技术给课堂带来更多的可能性。
综上所述，该课的执教教师善用设问与教法引导学生进行探索与发现，善用评价与沟通鼓励学生表达自己的所得，善用技术呈现教学资源。内容知识、教法知识、技术知识三者彼此渗透，相互融合，千变万化，基于TPACK框架对丰富多彩的教学样态进行分析，即便是针对一个知识点、一个教学片段，不同的人也将会有不同的认知。技术与教学融合的关键在于教师，教师是课堂的灵魂，而学生则是课堂中的精灵，只要教师给学生预留出空间，学生一定会给教师惊喜！如何以系统的思维分析教材、以科学的取向定位教学目标，如何用简单的技术创设一个互动的知识共建的环境，顺应并促进学生的思维发展，则是每位教师需要不断分析与尝试的。
【参考文献】
梁艳薇.巧设练习 激活思维：“两位数乘两位数笔算练习课”教学思考[J].数学学习与研究，2019（07）：146+149.
容梅，林君芬，王陆.交互技术打造高效互动课堂：新理念、新技术和新实践的三方对话[J]. 教育信息技术，2013（03）：3-10.
【关键词】TPACK;数学思维;问题设计;小学数学
在信息技术已经高度融入生活的今天，与时俱进的课堂需要教师具备TPACK能力，即具有较高的整合技术的学科教学知识能力，TPACK是Technological Pedagogical and Content Knowledge的缩写。TPACK是教师创造性地将内容知识（Content Knowledge，CK）、教法知识（Pedagogical Knowledge，PK）和技术知识（Technological Knowledge，TK）三种关键知识融合起来，并超越三者的一种知识形态和教学基本素养，这需要教师具备深刻理解学科内容、教法和技术这三种知识要素，并将之有效融入课堂的意识和实施能力。教育部组织的“一师一优课、一课一名师”网上“晒课”活动不但产生了庞大的优质教育资源，而且在活动中强化了教师的TPACK能力。
“两位数乘两位数笔算练习课”是2018年度教育部“一师一优课、一课一名师”活动的一节部级优课。本文从教学内容、教学方法、技术应用及教学效果等方面对其进行了分析，旨在从TPACK视角挖掘亮点，提出更优的解决方案，使部级优课发挥更大的示范作用。
一、从教学内容（CK）到学情分析的升维分析
俗话说：“新手看树木，高手看森林。”看懂系统，才有可能破局。升维思考，即在整体中看局部的系统思维。如果一个教学设计者具有系统分析的网状思维，那么其所设计的教学方案显然将会比只有点状思维的设计者设计的方案要优秀得多。
1.关于教学内容分析
“两位数乘两位数笔算练习课”是小学数学三年级下册第四单元中的内容。部级优课“两位数乘两位数笔算练习课”的设计者从整个小学数学学科学习角度分析了该课内容，梁老师在教材分析中的叙述堪称经典：“‘两位数乘两位数的笔算’不仅是本单元的教学重点，也是全册教材的一个重点，在小学阶段‘数与代数’的学习中有着举足轻重的作用”，三句话将本节教学内容在教科书体系中的地位与作用表达得非常清晰。随后梁老师还对教学内容与其前后章节所涉及知识点的联系进行了分析，关注到对学生思维方法的培养，注重发展学生自主选择合适计算策略的意识，这都是非常值得肯定的。我们将该课教学内容在教材中的位置进行了图示化分析，如图1所示。
学生掌握了两位数乘两位数的计算方法，不但可以解决与之有关的实际问题，为以后学习三位数乘两位数打下基础，而且能为除数是两位数的除法和混合运算的学习做好准备，同时也能为解决生活中遇到的乘数是更多位数的乘法问题奠定基础。
2.关于学习者分析
教师不仅分析了学生已有的知识基础，還从年龄特点分析了学生在计算中容易出错的习惯性行为，如学生自主选择合适的计算策略的意识比较薄弱，同时缺乏运用计算个位的乘积或估算等方法，缺乏自觉判断计算结果合理性的意识。通过学习单，教师采用了讲、练、议相结合的形式，充分调动了学生的思维参与、情感参与，难易程度适宜的编题活动又激发了学生的兴趣、态度等非智力因素，从而很好地完成了本课的教学任务，获得了良好成果。
笔者将学生的认知结构及思维发展过程用可视化工具表达了出来，如图2所示。
二、从教学方法（PK）到教学目标的跃迁
1.教学目标的精准定位
（1）符合新课程改革的理念。该课的教学目标主体始终是学生，一直将学生放在主体位置。这是非常值得肯定的，这也是“以学生为中心”的教学设计的第一关键特征。
（2）遵循《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求。设计者结合本节课的实际情况，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面确定了本节课的学习目标，培养了学生的数学核心素养。例如，在知识与技能目标的制订上，设计者将本节课涉及的数学知识与技能分别写出，采用了可检测性语言进行描述，具体内容如下。
目标1：进一步理解两位数乘两位数的算理，熟练掌握两位数乘两位数（进位）的笔算方法。
目标2：学会用两位数乘两位数（进位）的计算方法解决简单的实际问题，能合理灵活地选择方法解决问题。
目标3：学会用估算和计算个位乘积等方法判断结果的合理性，发展思维的灵活性，养成细心计算的习惯。
2.科学取向的目标分析
在经验取向与科学取向的博弈中，科学取向的教学设计日渐势强。科学取向的教学设计，需要教师依照一定的教与学理论进行教学目标的定位，下面仅基于布卢姆（Bloom）认知目标分类框架对该课的教学目标进行分析，具体内容见表1。
该课为巩固练习课，目标的知识维度主要是程序性知识，符合小学三年级学生的认知特点及学科教学特点。而认知过程的维度，涉及记忆、理解、应用、分析、评价五个层面，其中理解、应用、分析、评价目标较多，体现教师注重对学生解决问题能力的培养。其中，记忆、理解、应用属于低级思维能力发展目标，也属于浅层次学习能力;分析、评价、创造属于高级思维能力发展目标，也属于深层次学习能力。该课的教学目标贯穿了认知过程的六个维度。
3.思辨：教学过程中的知识增长引擎
（1）从旧知到新知：在开始的基础练习导入环节，教师先让学生通过一道笔算题（见图3），回顾竖式计算的顺序和方法，以加深学生对竖式含义的理解。这属于回忆旧知引发新知的学习过程，为本课后面的内容学习奠定了必要的基础，达成教学目标1。
（2）从理解到应用：该课中教师组织学生开展了四次有梯度的学习活动，从基础的笔算（见图3）到“巧编算式”的探究活动（见图4），再到灵活选择方法来解决问题（见图5），最后到探索规律的活动（见图6），立足“通法”、兼顾“巧法”的数学解题原则徐徐展开。教师智慧的问题设计不断引发学生思考，通过“说一说”将学生对计算策略的选择思维显性化;同时，教师巧妙地将学生从对事实性知识进行识记带领到对概念性知识进行归纳、理解，如有的学生提出用排除法判断对错。 例如，用PPT的动画功能先遮挡63×45竖式的中间过程，让学生进行辨析（见图4），学生思考后尝试运用估算或计算个位的乘积来快速判断，这有利于发展学生的思辨能力。又如，在拓展练习中，学生在交流中碰撞出思维的火花，发现了“头同尾和十”的乘法中蕴含的规律，再利用此规律直接写出其他各题的得数。在探索规律的活动中，学生逐步感悟到推理的数学思想。通过这一系列学习活动，学生在提升学习兴趣的同时，也培养了数学思维能力。
（3）从分析到创造：本课“巧编算式”环节，是最大亮点，也是培养学生开放性思维的过程，教师让学生经历生成素材→尝试估算→笔算比较→纠错总结等环节。梁老师顺应了学生好奇、善于挑战的心理需求，巧妙地设计了一连串的问题链（见图7），不仅为学生搭建了分析问题的脚手架，还预留出评价、创造的空间，让学生在编题的过程中，不仅强化了估算意识，还培养了灵活选择计算策略的意识，属于对高级思维能力的培养。这些问题链逐层递进，让练习课练出新意，走向深入。
如图7所示，梁老师让学生利用43×65中的“3、4、5、6”这四个数字，编出比43×65的积要大的两位数乘两位数的算式。学生的学习兴趣高涨，主动尝试编算式，并自觉地选择估算的策略，然后快速编出算式“53×64”和“63×54”。由此学生初步感悟到当不需要知道准确值时，可以灵活运用估算直接快速判断。然后，梁老师通过一系列追问“63×45真的比43×65的积要大吗？53×64和63×54，哪个算式的积最大？用估算好判断吗？估算不好判断，怎么办？”引发学生深入思考。
学生语言行为活跃程度与教师的提问技巧和教学设计等有很大的关系。从课例录像中我们发现，大部分学生的语言行为发生在课堂中的小组讨论及其成果汇报过程中。有研究表明，学习策略的学习受儿童心理發展水平、学习动机差异及所接受的训练等因素影响。梁老师带领学生在交流对话中发现规律并应用规律，营造了民主、灵动的课堂氛围，使学生的解题能力和数学思维力都得到了提升。相信其中的一些思维方式也会帮助学生逐渐形成一种元认知知识，即学习方法的习得。这种由简单到复杂、由低级思维向高级思维发展的训练和学习方式，符合数学学习的认知规律，是科学、合理、有效的设计。
从信息加工理论看来，学习者是信息的主动加工者，学习者必须选择组织相关信息，通过自己已有的知识对信息进行解释，从而理解信息。因此，教师应给学生预留出加工信息的空间，营造有效、高效的学习环境和氛围，设计开放性的问题讨论环节，激发学生的灵感，以便学生厘清思路，检查和修正自身的理解。梁老师在学习任务和设问方面的完美设计，让学生在思辨中寻找规律，在练习中掌握知识，值得广大数学教师学习借鉴。
三、简单就是美：技术应用（TK）的跳脱可能
技术媒体辅助教学，历来具有最优化原则。本节课中教师使用了PPT的最简单功能：播放、分批动画（见表2），尤其是让学生猜出正确的答案环节，可以快速地反馈学生的回答是否正确。同时，梁老师还利用磁性黑板贴出预先准备的部分板书内容，节约了大量的课堂时间;请学生到讲台分享其解题思路，也使得重要教学内容视觉停留的需求被满足。从教学效果来看，学生的思维活跃，用数学语言表达解题思路清晰，也能够灵活选择方法快速解决问题，教学目标的达成度很高。从教师素养来看，梁老师的学科功底深厚，教学态度亲切，教学实施如行云流水，节奏明快。
但教学是一门遗憾的艺术，没有最好，只有更好。尽管这是一节部级优课，如硬件条件允许，但也有需要改进的地方。比如，我们是否可以利用交互式电子白板简单的拖曳功能将学习思路可视化，从而使课堂中的互动更加充分呢？是否可以用智慧教室的移动终端记录每位学生的学习数据，从而最大可能地满足学生的个性化学习需求呢？例如，在“连一连”（见图8）的环节，如果将互动技术融入课堂，将课件讲授环节改为一个游戏化的环节发布至每位学生的平板终端，学生通过拖曳就能验证自己的猜测是否正确，这样就会使这节课更为灵动。在智慧教室环境下，师生之间的互动将升维成每位学生与游戏化课件之间、学生与学生之间的互动，每位学生都有参与的机会，他们的获得感和幸福感将成倍增长。
在当今时代，技术的应用问题无可回避，同时也强调“恰当、有效、交互、创新、生成”等要素。一方面，教师需要将TK、PK、CK这三种知识要素经常在自己脑中交互、融合，如此才能找到这三者的有效结合点，跳脱出原来的演示行为习惯。在新技术的支持下，一个简单的应用就会推动课堂发生大改变而进入深度互动的样态中，这也是一种升维思考。另一方面，技术是教师素养的放大镜，基本功扎实的教师，有了技术就等于如虎添翼;反之，技术的介入会使其缺点更加凸显。所以，我们在夯实基本功的前提下，不得不考究如何利用简单的技术给课堂带来更多的可能性。
综上所述，该课的执教教师善用设问与教法引导学生进行探索与发现，善用评价与沟通鼓励学生表达自己的所得，善用技术呈现教学资源。内容知识、教法知识、技术知识三者彼此渗透，相互融合，千变万化，基于TPACK框架对丰富多彩的教学样态进行分析，即便是针对一个知识点、一个教学片段，不同的人也将会有不同的认知。技术与教学融合的关键在于教师，教师是课堂的灵魂，而学生则是课堂中的精灵，只要教师给学生预留出空间，学生一定会给教师惊喜！如何以系统的思维分析教材、以科学的取向定位教学目标，如何用简单的技术创设一个互动的知识共建的环境，顺应并促进学生的思维发展，则是每位教师需要不断分析与尝试的。
【参考文献】
梁艳薇.巧设练习 激活思维：“两位数乘两位数笔算练习课”教学思考[J].数学学习与研究，2019（07）：146+149.
容梅，林君芬，王陆.交互技术打造高效互动课堂：新理念、新技术和新实践的三方对话[J]. 教育信息技术，2013（03）：3-10.