摘要:本文主要以几个关于自然数的简单的例子,说明《初等代数研究》在中学代数教学中的作用,表明在师范专科学校开设此门课的必要性。
　　关键词:自然数 序数理论 归纳公理
　　
　　《初等代数研究》是师范专科学校数学教育类学生的专业必修课,对于这门课的开设在某些高等院校有些争议,争议在于它是否有助于学生毕业之后从事的中学教学工作。通过对这门课的教授,我认为这门课是有益于中学教学的,如何证明我的观点呢,我想以最简单的关于自然数的问题来说明一下。
　　数域是初等代数的主要研究对象,而数域的研究是从自然数开始的,自然数是人类认识最早的数,对于自然数和自然数集大家很熟悉,那么何为自然数?这个问题很简单,大家都能回答,但为何类似1、2、3……这样的数称为自然数呢?大家也许会觉得这个问题很奇怪,因为书上给的定义就是这样的。
　　当我们作为一名学生时,可以只知道自然数是指类似1、2、3……这样的数,但作为一位未来的中学数学教师,仅仅具备中学代数所涉及的这些知识,那是远远不够的。
　　要回答以上的问题就需要知道自然数的起源,《初等代数研究》就给我们提供了学习的机会。该书开头第一章就介绍了自然数的产生背景,给出了定义自然数的两种理论:基数理论和序数理论;介绍了关于自然数的运算及性质。通过这章的学习我们可以很快地解决上一段中提出的问题。
　　问:为何类似1、2、3……n这样的数称为自然数?
　　答:用自然数的基数理论或序数理论均可回答。序数理论:定义集合N的元素叫做自然数,如果N的元素之间有一个基本关系“后继”(用:“+”),并满足以下公理:
　　Ⅰ 1∈N;
　　Ⅱ 对于任何a∈N,有唯一的a+∈N;
　　Ⅲ 对于任何a∈N,a+不是1;
　　Ⅳ 对于任何a、b∈N,若a+与b+相同,则a=b;
　　Ⅴ (归纳公理)若M?哿N,且(1)1∈M;(2)对任意a∈M,有a+∈M,则M=N。
　　通过以上的理论可以很容易得到自然数列1、2、3……n。既然说到自然数,下面就再通过几个例子来说明学习《初等代数研究》的重要性。
　　例1请证明为何1+1=2,2+3=5?
　　大家看到这个问题可能会觉得可笑,认为这么简单的问题不需要证明,大家也都知道,但数学是严谨的,任何答案都要有依据,要经过严密的证明。怎么证明呢?通过自然数的序数理论很显然能够得出1+1=1+=2;为何2+3=5,因为2+3=2+2+=(2+2)+=(2+1+)+=((2+1)+)+=(3+)+=4+=5。(依据自然数的加法定义)
　　例2证明:n是大于2的自然数,求证:2n>2n+1。
　　证明:利用数学归纳法
　　(1)当n=3时,左边=8,右边=7,8>7;
　　(2)假设n=k(k≥3,k是自然数),结论成立,2k>2k+1;
　　则当n=k+1时,左边=2k+1=2k×2>(2k+1)×2=4k+2,
　　而(4k+2)-(2k+3)=2k-1>0(k≥3),所以2k+1>2(k+1)+1。
　　所以对于任意n≥3,n∈N,结论成立。
　　数学归纳法可以用来证明关于自然数的命题,但怎么能说明数学归纳法是正确的呢?
　　例3请证明数学归纳法的正确性。
　　数学归纳法:设p(n)是关于自然数的命题,若
　　(1)p(n)在n=1时成立;
　　(2)在p(k)(k是任意自然数)成立的假定下可以推出p(k+1)成立,则p(n)对一切自然数n均成立。
　　证明:(利用归纳公理)设使得p(n)成立的所有自然数n构成集合M,则M?哿N,且由已知可得:(1)1∈M;(2)对于任意k∈M,k+∈M,所以由自然数的归纳公理,可得M=N。
　　以上只是从最简单的自然数理论来说明学习《初等代数研究》在中学数学中的作用,为了更好地掌握并处理中学代数教材,我们应该知道书中未作证明或证明不完整的數学命题怎样做出严格证明。运用初等的方法来处理初等数学的问题,从而结合中学的教学实际,提高学生的理解力和教师的教学能力。
　　
　　参考文献:
　　[1] 余元希、田万海、毛宏德著,《初等代数研究》,高等教育出版社,2005.4
　　[2] 贾世代、刘元宗著,《初等数学研究与教学法》,河南大学出版社,1995.3