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【摘 要】拓展性课程有别于基础性课程，是对人的和谐、自主、有差异发展目标的完善与提升。在拓展性课程的内容选择上，要体现以教材实践活动为基础，以数学能力发展和数学活动经验积累为重点，并将教学内容与数学游戏有机整合的基本取向。在教学策略上，要突出材料设计蕴含丰富的实践探究性和驱动力；目标设计有高弹性和大跨度；学习方式体现实践活动和过程经历。从而以体现拓展性课程的兴趣性、活动性、层次性和选择性。
【关键词】拓展性课程 内容选择 教学策略
当前，随着课程改革的不断深入，“课程拓展”“课程整合”等已经成为完善与深化课程建设的重要理念，尤其是对落实“学科核心素养”的关注和实践，使得学科教学的目标进一步指向于学生的基本素养与整体发展，教育行政部门也从课程建设的层面提出了相应的规定和要求。
小学数学课程，总体而言，思维要求比较高，知识结构严谨抽象，注重方法与能力，因而常常给人一种“坚精”和“高冷”的感觉，这种“印象”对于发展学生的数学素养、丰富学生对数学的积极情感体验是不利的。笔者以为，数学学科是具有多面性与丰富性的，教学还应该展现它“有趣”和“柔软”的一面，而数学拓展性课程的教学恰是提高数学兴趣、关注数学经验和落实“核心素养”的有效载体与途径。
一、拓展性课程的内容选择与价值取向
“拓展性课程应涉及三级课程的所有学科和学习领域。学校应依据培养学生思想品格、核心素养和各科课程标准的目标要求，把国家课程和地方课程的部分内容开发为拓展性课程，把大部分校本课程开设为拓展性课程。”1因此，根据省教育厅的文件精神，开发小学数学拓展性课程是必要的。同时，在内容的选择上应该关注以下几个方面。
（一）以教材实践活动为基点，进行适度拓展
从拓展性课程的三个组块看，小学的重点是体艺特长类和实践活动类课程，因此，数学拓展性课程的基础是将教材的实践活动内容教学好。教材中的很多实践活动内容，其发展兴趣、提升能力和积累经验方面的价值，远高于知识技能方面的价值。例如，五年级上册第50页的“掷一掷”，教材通过几个情境图引领学生经过“初步实践：知道两数之和的可能与不可能（认知初构）—再次实践：认知与结果产生冲突（认知塌陷）—三次实践：统计发现并用可能性解释（认知再构）”的过程，在这个过程中，学生所有的获得都基于自身的实践，显然，这样的实践活动有别于传统的知识技能教学。
再比如六年级上册第80页的“确定起跑线”，教材引领学生从现象中提出问题：为什么运动员站在不同的起跑线上？距离相差多少呢？继而引领学生进行实践测量和计算，得到相差的距离并发现一般的规律。
这一系列的能力拓展是必不可少的，教材并不强调结果的记忆与固化，这是非常好的，因此不必将目标定位于“得出结果，掌握一般规律”，而应重在拓展课堂的时间与空间，以及学习方式。设想：如果在教学中我们将所需数据全盘给出，让学生在教室里看图计算，填表观察并得出规律，那么就与一节圆周长的练习课无甚区别了。如果这样，那么“相关数据怎么去得到？哪里有？直径等长度的测量应该怎么操作？测量工具怎么使用……”这些拓展性的能力一概没有得到培养。因此，避免将实践活动当作知识技能教学是第一步。
（二）以数学能力发展和数学活动经验积累为重点组织内容
一般来说，对学生拓展性课程内容的学习情况宜采用灵活多样的考查方式进行评价，而不应成为期末学业考试的必考内容，否则就容易使主动、积极的实践性学习降格为被动的巩固与训练，不仅会降低学生学习的兴趣，甚至会加重学生的负担。这与我们实践课程改革、构建学科拓展性课程的初衷是相悖的。因此，数学拓展性课程的内容选择不应增加知识，而应解决问题，应以能力发展和经验积累为重点。例如，四年级学生以“周长和面积”作为知识的基点，进行课程内容的拓展，可以让学生解决以下的问题：你能在方格纸上画出一个和图1周长相同但面积更大的图形吗？你能找到面积最大的图形吗？
一种创造性的面积估算方法得以产生，一种跨界式的思维得以训练，这种方法的价值不在于是否“实用”，而在于思维方式的创新，本来“面积”与“概率”是两个领域的内容，在这样的思考与实践中实现了完美的融合。像这样的拓展性内容，丰富了经验，发展了能力，学会了解决问题，又不增加知识，是很好的课程选择。
（三）将教学内容与数学游戏有机整合构建内容
笔者以为，数学拓展性课程内容的选择，应建立大数学、大教育的理念，目的是埋下种子，而不必过于追求即时的收获。数学玩具、数学游戏、数学绘本是數学拓展性课程内容选择的重要源泉。七巧板、魔方、鲁班锁、华容道、数独以及很多数学绘本，都隐含着大量的数学知识和数学原理，对激发学生学习数学的兴趣，自觉运用数学知识解决问题，促进学生数学推理能力和空间想象能力的提高，形成对数学的正确理解和积极情感，都有非常重要的意义。必须明确的是，在数学拓展性课程中，这些不应仅仅成为问题提出的情境或引子，而应该是学习的主体，解决问题的形式和途径，以及探索发现的源泉。
我们认为，数学拓展性课程的价值取向应该是“兴趣”“过程”和“体验”，即立足于培养学生学习数学、研究数学的兴趣；立足于让学生在过程经历中积累数学活动经验，发展能力；立足于促进学生形成良好的数学观和数学意识，具有积极的数学情感体验；立足于拓宽学生的数学视野，融通数学知识间的“壁垒”，体会数学的联系性、基础性和普遍性。
二、拓展性课程内容的教学策略
数学拓展性课程展现的是数学的“软实力”，教学时教师务必转变观念。功在课前，研究组织内容和设计学习任务；隐在课中，突出学生的实践和活动，突出学习的自主和体验，不轻易干预；导在学后，必要时作适度指导，并引导学生提出新问题。
（一）材料设计
教学材料设计要蕴含丰富的实践探究性和驱动力，要有利于学生以内容为载体去进行操作、尝试、试误并产生顿悟，而不是承载过多的知识与技能。要将课内的知识与课外的内容、游戏等融合起来，拓展和延伸数学学习的时间和空间，课内重在提出问题，引发兴趣，激发思维，而不是试图解决所有的问题。例如，《神奇的汉诺塔游戏》提出了以下的问题：在印度有一个古老的游戏（见下图），每次只能搬动一个圆饼放到别的杆子上，并且在搬动过程中大的圆饼不能放在小的圆饼之上。传说有预言：当有人将下图中左边杆子上的64个圆饼利用中间的杆子全部移到右边的杆子上，并且从小到大的顺序不变时，世界末日即来临。你认为这个预言可信吗？你估计完成这个任务可能需要多少时间？
这个问题带来了强烈的探究欲望、认知冲突和丰富的实践探究空间，里面隐含了大量的数学规律和计算模型，这正是内容本身给学生带来的兴趣与震撼。那么，我们是否要在课内刻意把所有的规律、模型都找到呢？如果这样，我们可能又在向知识技能教学的思路靠拢！这个内容真正的目标价值在哪里呢？笔者以为，不是发现了多少规律，记住了多少计算模型，而是在研究实践中找到正确有效的方法以及学习活动本身所带来的乐趣，有了这样的乐趣体验，喜欢数学的情感种子在学生的内心就不会泯灭。
（二）目标设计
要有高弹性和大跨度的目标设计，而不是教学要求整齐划一。拓展性课程内容的教学目标设计，应有别于基础性课程，是对人和谐、自主、有差异发展目标的完善和提升，而不是增加更多的知识。应更关注目标的整体与整合，要将学生的学习过程中的兴趣、投入、能力、方法等作为目标的重点，而不应过多地关注掌握了多少技巧，或是有没有提炼出规律并能否按规律快速操作。例如，“魔方”是一种非常好的益智玩具，并且大量融合了空间想象、观察比较、逻辑推理等高阶数学思维元素于一体，作为数学拓展性课程内容是非常好的。因此在教学目标的制定上，应关注学习的兴趣，应立足于学生在玩的过程中领悟、发现规律和方法，立足于学生相互交流和启发，立足于学生在玩的过程中感受快乐。应允许有的孩子只是喜欢玩，有的孩子不仅喜欢玩，还能边玩边研究，而有的孩子在玩的过程中还能收获丰硕的成果。总之，目标要立足于数学学习的情感和高阶思维的发展，要给学生提供广大而自由的发展空间，教师要真正转变为一个组织者和指导者，而不是教给学生多少魔方的规律，让学生掌握多少玩魔方的“套路”。我们认为，在数学拓展性课程的教学中，兴趣和积极的数学情感体验高于一切。应该让学生在这样的课堂上“玩数学，疯狂地玩数学”。
（三）学习方式
要体现以实践活动和过程经历为主的学习方式，而不是教师把控课堂教学，学生只是坐而听讲。拓展性课程的教学效益在于领悟和默会知识的积累，在于数学活动经验的积累，以及自己的发现和分享。而这一切，都不应该也不可能仅仅通过讲解、提问和讨论来实现，其前提是基于实践，基于过程，基于发现。例如，《棋盘中的奥秘》：小明和小红在棋盘上玩游戏，小明走黑棋，小红走白棋，只可以往上、往左或沿对角线走，但一次只能走一格，从A点出发，谁先到B点获胜。问怎样走才能获胜？
这无疑是一个富含数学策略和逻辑推理的好问题。教师在教学中提供给学生操作的棋盘和材料，要求學生同桌两人对弈，边玩边思考：怎样才能获胜？一定时间尝试以后，要求学生：你认为只要走到哪几个位置就一定能获胜了？把那几个位置在透明棋盘上圈出来。交流时，教师把学生的透明棋盘重叠起来呈现，结果大家的发现是相同的（如图4）。在这个过程中，学生经历了“盲目实践—试误调整—相互启发—领悟要点”的过程，这是一个学生摸索的过程，而不是教师暗示引导的过程。接下来的问题是：要到达这几个点，关键点又在哪里呢？在问题的驱动下，学生再次探索，遂找到所有的获胜关键点（如图5）。我们认为，如果教学中教师过多地引导学生观察讨论，概括出这些制胜关键点，从表面上看，似乎大家都掌握了，但从本质上来说，牺牲了学生的自主探究和反思顿悟，违背了拓展性课程的基本教法和学法，变成了形式化的“找规律”教学，这是得不偿失的。
数学拓展性课程是为了让学生更好地学习、理解和感受数学而设计的，要“突出拓展性课程的兴趣性、活动性、层次性和选择性，满足学生的个性化学习需求”，这是数学拓展性课程内容构建和教学实施必须要坚守的。
（浙江省杭州市基础教育研究室 310000）
【关键词】拓展性课程 内容选择 教学策略
当前，随着课程改革的不断深入，“课程拓展”“课程整合”等已经成为完善与深化课程建设的重要理念，尤其是对落实“学科核心素养”的关注和实践，使得学科教学的目标进一步指向于学生的基本素养与整体发展，教育行政部门也从课程建设的层面提出了相应的规定和要求。
小学数学课程，总体而言，思维要求比较高，知识结构严谨抽象，注重方法与能力，因而常常给人一种“坚精”和“高冷”的感觉，这种“印象”对于发展学生的数学素养、丰富学生对数学的积极情感体验是不利的。笔者以为，数学学科是具有多面性与丰富性的，教学还应该展现它“有趣”和“柔软”的一面，而数学拓展性课程的教学恰是提高数学兴趣、关注数学经验和落实“核心素养”的有效载体与途径。
一、拓展性课程的内容选择与价值取向
“拓展性课程应涉及三级课程的所有学科和学习领域。学校应依据培养学生思想品格、核心素养和各科课程标准的目标要求，把国家课程和地方课程的部分内容开发为拓展性课程，把大部分校本课程开设为拓展性课程。”1因此，根据省教育厅的文件精神，开发小学数学拓展性课程是必要的。同时，在内容的选择上应该关注以下几个方面。
（一）以教材实践活动为基点，进行适度拓展
从拓展性课程的三个组块看，小学的重点是体艺特长类和实践活动类课程，因此，数学拓展性课程的基础是将教材的实践活动内容教学好。教材中的很多实践活动内容，其发展兴趣、提升能力和积累经验方面的价值，远高于知识技能方面的价值。例如，五年级上册第50页的“掷一掷”，教材通过几个情境图引领学生经过“初步实践：知道两数之和的可能与不可能（认知初构）—再次实践：认知与结果产生冲突（认知塌陷）—三次实践：统计发现并用可能性解释（认知再构）”的过程，在这个过程中，学生所有的获得都基于自身的实践，显然，这样的实践活动有别于传统的知识技能教学。
再比如六年级上册第80页的“确定起跑线”，教材引领学生从现象中提出问题：为什么运动员站在不同的起跑线上？距离相差多少呢？继而引领学生进行实践测量和计算，得到相差的距离并发现一般的规律。
这一系列的能力拓展是必不可少的，教材并不强调结果的记忆与固化，这是非常好的，因此不必将目标定位于“得出结果，掌握一般规律”，而应重在拓展课堂的时间与空间，以及学习方式。设想：如果在教学中我们将所需数据全盘给出，让学生在教室里看图计算，填表观察并得出规律，那么就与一节圆周长的练习课无甚区别了。如果这样，那么“相关数据怎么去得到？哪里有？直径等长度的测量应该怎么操作？测量工具怎么使用……”这些拓展性的能力一概没有得到培养。因此，避免将实践活动当作知识技能教学是第一步。
（二）以数学能力发展和数学活动经验积累为重点组织内容
一般来说，对学生拓展性课程内容的学习情况宜采用灵活多样的考查方式进行评价，而不应成为期末学业考试的必考内容，否则就容易使主动、积极的实践性学习降格为被动的巩固与训练，不仅会降低学生学习的兴趣，甚至会加重学生的负担。这与我们实践课程改革、构建学科拓展性课程的初衷是相悖的。因此，数学拓展性课程的内容选择不应增加知识，而应解决问题，应以能力发展和经验积累为重点。例如，四年级学生以“周长和面积”作为知识的基点，进行课程内容的拓展，可以让学生解决以下的问题：你能在方格纸上画出一个和图1周长相同但面积更大的图形吗？你能找到面积最大的图形吗？
一种创造性的面积估算方法得以产生，一种跨界式的思维得以训练，这种方法的价值不在于是否“实用”，而在于思维方式的创新，本来“面积”与“概率”是两个领域的内容，在这样的思考与实践中实现了完美的融合。像这样的拓展性内容，丰富了经验，发展了能力，学会了解决问题，又不增加知识，是很好的课程选择。
（三）将教学内容与数学游戏有机整合构建内容
笔者以为，数学拓展性课程内容的选择，应建立大数学、大教育的理念，目的是埋下种子，而不必过于追求即时的收获。数学玩具、数学游戏、数学绘本是數学拓展性课程内容选择的重要源泉。七巧板、魔方、鲁班锁、华容道、数独以及很多数学绘本，都隐含着大量的数学知识和数学原理，对激发学生学习数学的兴趣，自觉运用数学知识解决问题，促进学生数学推理能力和空间想象能力的提高，形成对数学的正确理解和积极情感，都有非常重要的意义。必须明确的是，在数学拓展性课程中，这些不应仅仅成为问题提出的情境或引子，而应该是学习的主体，解决问题的形式和途径，以及探索发现的源泉。
我们认为，数学拓展性课程的价值取向应该是“兴趣”“过程”和“体验”，即立足于培养学生学习数学、研究数学的兴趣；立足于让学生在过程经历中积累数学活动经验，发展能力；立足于促进学生形成良好的数学观和数学意识，具有积极的数学情感体验；立足于拓宽学生的数学视野，融通数学知识间的“壁垒”，体会数学的联系性、基础性和普遍性。
二、拓展性课程内容的教学策略
数学拓展性课程展现的是数学的“软实力”，教学时教师务必转变观念。功在课前，研究组织内容和设计学习任务；隐在课中，突出学生的实践和活动，突出学习的自主和体验，不轻易干预；导在学后，必要时作适度指导，并引导学生提出新问题。
（一）材料设计
教学材料设计要蕴含丰富的实践探究性和驱动力，要有利于学生以内容为载体去进行操作、尝试、试误并产生顿悟，而不是承载过多的知识与技能。要将课内的知识与课外的内容、游戏等融合起来，拓展和延伸数学学习的时间和空间，课内重在提出问题，引发兴趣，激发思维，而不是试图解决所有的问题。例如，《神奇的汉诺塔游戏》提出了以下的问题：在印度有一个古老的游戏（见下图），每次只能搬动一个圆饼放到别的杆子上，并且在搬动过程中大的圆饼不能放在小的圆饼之上。传说有预言：当有人将下图中左边杆子上的64个圆饼利用中间的杆子全部移到右边的杆子上，并且从小到大的顺序不变时，世界末日即来临。你认为这个预言可信吗？你估计完成这个任务可能需要多少时间？
这个问题带来了强烈的探究欲望、认知冲突和丰富的实践探究空间，里面隐含了大量的数学规律和计算模型，这正是内容本身给学生带来的兴趣与震撼。那么，我们是否要在课内刻意把所有的规律、模型都找到呢？如果这样，我们可能又在向知识技能教学的思路靠拢！这个内容真正的目标价值在哪里呢？笔者以为，不是发现了多少规律，记住了多少计算模型，而是在研究实践中找到正确有效的方法以及学习活动本身所带来的乐趣，有了这样的乐趣体验，喜欢数学的情感种子在学生的内心就不会泯灭。
（二）目标设计
要有高弹性和大跨度的目标设计，而不是教学要求整齐划一。拓展性课程内容的教学目标设计，应有别于基础性课程，是对人和谐、自主、有差异发展目标的完善和提升，而不是增加更多的知识。应更关注目标的整体与整合，要将学生的学习过程中的兴趣、投入、能力、方法等作为目标的重点，而不应过多地关注掌握了多少技巧，或是有没有提炼出规律并能否按规律快速操作。例如，“魔方”是一种非常好的益智玩具，并且大量融合了空间想象、观察比较、逻辑推理等高阶数学思维元素于一体，作为数学拓展性课程内容是非常好的。因此在教学目标的制定上，应关注学习的兴趣，应立足于学生在玩的过程中领悟、发现规律和方法，立足于学生相互交流和启发，立足于学生在玩的过程中感受快乐。应允许有的孩子只是喜欢玩，有的孩子不仅喜欢玩，还能边玩边研究，而有的孩子在玩的过程中还能收获丰硕的成果。总之，目标要立足于数学学习的情感和高阶思维的发展，要给学生提供广大而自由的发展空间，教师要真正转变为一个组织者和指导者，而不是教给学生多少魔方的规律，让学生掌握多少玩魔方的“套路”。我们认为，在数学拓展性课程的教学中，兴趣和积极的数学情感体验高于一切。应该让学生在这样的课堂上“玩数学，疯狂地玩数学”。
（三）学习方式
要体现以实践活动和过程经历为主的学习方式，而不是教师把控课堂教学，学生只是坐而听讲。拓展性课程的教学效益在于领悟和默会知识的积累，在于数学活动经验的积累，以及自己的发现和分享。而这一切，都不应该也不可能仅仅通过讲解、提问和讨论来实现，其前提是基于实践，基于过程，基于发现。例如，《棋盘中的奥秘》：小明和小红在棋盘上玩游戏，小明走黑棋，小红走白棋，只可以往上、往左或沿对角线走，但一次只能走一格，从A点出发，谁先到B点获胜。问怎样走才能获胜？
这无疑是一个富含数学策略和逻辑推理的好问题。教师在教学中提供给学生操作的棋盘和材料，要求學生同桌两人对弈，边玩边思考：怎样才能获胜？一定时间尝试以后，要求学生：你认为只要走到哪几个位置就一定能获胜了？把那几个位置在透明棋盘上圈出来。交流时，教师把学生的透明棋盘重叠起来呈现，结果大家的发现是相同的（如图4）。在这个过程中，学生经历了“盲目实践—试误调整—相互启发—领悟要点”的过程，这是一个学生摸索的过程，而不是教师暗示引导的过程。接下来的问题是：要到达这几个点，关键点又在哪里呢？在问题的驱动下，学生再次探索，遂找到所有的获胜关键点（如图5）。我们认为，如果教学中教师过多地引导学生观察讨论，概括出这些制胜关键点，从表面上看，似乎大家都掌握了，但从本质上来说，牺牲了学生的自主探究和反思顿悟，违背了拓展性课程的基本教法和学法，变成了形式化的“找规律”教学，这是得不偿失的。
数学拓展性课程是为了让学生更好地学习、理解和感受数学而设计的，要“突出拓展性课程的兴趣性、活动性、层次性和选择性，满足学生的个性化学习需求”，这是数学拓展性课程内容构建和教学实施必须要坚守的。
（浙江省杭州市基础教育研究室 310000）