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摘要：正弦函数的非线性、周期性、对称性特征在高中物理中的应用面很广，本文通过对其特征的阐释，分析了正弦函数应用于物理的障碍，并结合特征和学生的理解障碍提出了有效的教学建议.
关键词：正弦函数；特征；障碍；教学建议
函数图象能够生动形象地表示物理过程、反映物理规律，并且有助于培养学生的思维能力，提高学生对知识的掌握程度以及迁移能力.尤其是正弦图象类题型已经成为高中物理的重点内容，同时也是高考中热点考查问题.例如，正弦交流电的电动势和电流瞬时值问题，机械振动的位移时间关系以及机械波的波动图象等等.然而很多学生面对图象题的时候，并不十分清楚其所表示的物理规律的内涵.
本文就正弦函数图象的特征进行阐述，分析了正弦函数应用于物理的障碍，并提出有效的教学建议，以期对高中生分析和应用此类相关问题起到重要的启发作用.
1正弦函数图象的特征
11非线性
高中阶段的物理图象可以分为线性图象和非线性图象，对于线性图象的分析一般来说较为简单，而且已经有一套行之有效的办法.但是，从本质上来说，线性图象只是非线性图象的特例，非线性图象相对于线性图象来说，较为复杂.非线性图象由于物理量变化的非单调性，斜率的变化，拐点的出现等等都会对物理过程分析带来障碍，这恰恰也是高考中的重要考点.正弦图象的非线性特征是学生理解和分析的难点，我们在学会应用线性图象的同时，就简单推广到非线性的问题导致理解错误，因而应该培养学生应用非线性图象解决物理问题的能力.所以，关注正弦函数的非线性及其处理有重要的意义.
12周期性
周期性是正弦函数的一个重要特征.在高中物理中，周期性的物理问题占有很重要的地位，正弦函数的周期性更是重点和热点，涉及到的内容有简谐运动、波动、交流电等问题.学生理解的难点在于简谐运动的周期；波动的周期性和波传播的双向可能性；正弦交变电流的周期性引起的电场力或电场力做功的周期性.这些问题都与正弦图象有密不可分的联系，并且运动的周期性会导致多解性，周期性多解问题是高中物理的难点，也是考查的重点，因此掌握解答此类问题的方法和技巧十分重要.
13对称性
以简谐运动为例，质点远离平衡位置的过程中，x增大，F增大，a增大，a与v反向，v减小，动能减小；质点靠近平衡位置的过程中，x减小，F减小，a减小，a与v同向，v增大，动能增大；经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能一定相同.理解正弦图象的对称性能够使学生对物理过程的分析更加简洁清晰，利用对称性往往能为分析多过程问题提供一种便捷途径，尤其是在周期性的物理过程当中，更能体现出学生对于物理问题的理解程度和对物理过程的整体把握能力.
2正弦函数应用于物理的障碍分析
21学生对于非线性当作线性处理的理解存在障碍
正弦图象所反映的物理过程一般较为复杂，例如物体做简谐运动位移随时间的变化关系，单摆作微角摆动时为简谐振动，也就是说，单摆的微角摆动具有简谐振动的特征，振动周期T=2πLg.事实上，当单摆的摆角小于5°时，常常是采用将其振动的非线性方程线性化的方法，克服了数学上的困难，并且描述了周期是一个与振幅大小无关的常数.根据牛顿第二定律，对于摆长为L，质量为m，处在均匀重力场中的单摆，其振动方程为
d2θdt2 gLsinθ=0
当摆角小于5°时，可用θ代替sinθ，单摆的振动方程可线性化为
d2θdt2 glθ=0
解此θ的线性方程可以得到单摆的振动周期T=2πlg.高中学生对于上述把非线性当作线性处理的过程有理解障碍是必然的，但是笔者认为，基于高中学生的认知水平，他们能够理解的是，单摆在运动过程中受到的回复力是非线性力mgsinθ，其随时间的变化关系是正弦函数，是非线性的.在单摆的初始摆角小于5°的情况下，可以使此回复力线性化为mgθ.所以，教材中也并未要求学生掌握单摆周期公式的推导，只是要求学生通过实验验证了单摆的周期与振幅、质量、摆长无关.但是这种把非线性当做线性处理的方法，对于学生理解非线性函数图象是非常有帮助的.
22学生易忽视正弦函数图象的周期性
在解决关于正弦图象的问题时，例如简谐运动、波动、交流电等问题，学生往往考虑不周，导致漏解，从而在解题的完备性方面有所欠缺.这类问题在高考题中时常会出现，学生之所以经常会忽视正弦函数的周期性，源于学生对物理规律的理解程度不够，分析与综合能力较弱以及对物理问题的思维层次不高，应当引起重视.
例1 如图1所示，在xOy平面内有一列沿x轴正方向传播的简谐横波，频率为2.5Hz.在t=0时，xP=2m的P点位于平衡位置，速度沿-y方向；xQ=6m的Q点位于平衡位置下方最大位移处.求：波的传播速度v.
解析简谐波沿x正向传播，P点位于平衡位置，速度向下，Q点位于平衡位置下方最大位移处，学生很容易忽视其周期性，误认为P、Q两点之间距离就是34λ.事实上，考虑周期性，ΔxPQ=nλ 34λ（n=0，1，2，……），波长λ=164n 3m（n=0，1，2，……），波速v=λf=404n 3m/s（n=0，1，2，……）.
23學生对于相位概念的理解有偏差
相位的概念对于理解简谐运动以及交流电的变化等问题具有重要的作用，但是由于相位的概念比较抽象，学生理解起来普遍感到困难，所以在教学中应给予重视.在人教版高中物理教材选修3-4中提到，在物理学中用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态.我们可以用正弦函数图象x=Asin（ωt φ）来描述简谐运动的位移x与时间t之间的定量关系.相当于角度的量（ωt φ）确定时，sin（ωt φ）的值也就确定了，在振幅确定的前提下，做简谐运动的质点的运动状态也就能完全确定了，所以（ωt φ）代表的就是简谐运动的相，又叫相位或位相.同样地，交流电的相可以描述和比较交流电的变化步调.学生理解困难的另一个相关的概念就是相位差，相位差是指对于两个相同频率的简谐运动的相位之差，这种情况下，两种运动的振动步调不一致，相位差能够反映一种运动相对于另一种运动振动步调的超前或者滞后，如例2.
关键词：正弦函数；特征；障碍；教学建议
函数图象能够生动形象地表示物理过程、反映物理规律，并且有助于培养学生的思维能力，提高学生对知识的掌握程度以及迁移能力.尤其是正弦图象类题型已经成为高中物理的重点内容，同时也是高考中热点考查问题.例如，正弦交流电的电动势和电流瞬时值问题，机械振动的位移时间关系以及机械波的波动图象等等.然而很多学生面对图象题的时候，并不十分清楚其所表示的物理规律的内涵.
本文就正弦函数图象的特征进行阐述，分析了正弦函数应用于物理的障碍，并提出有效的教学建议，以期对高中生分析和应用此类相关问题起到重要的启发作用.
1正弦函数图象的特征
11非线性
高中阶段的物理图象可以分为线性图象和非线性图象，对于线性图象的分析一般来说较为简单，而且已经有一套行之有效的办法.但是，从本质上来说，线性图象只是非线性图象的特例，非线性图象相对于线性图象来说，较为复杂.非线性图象由于物理量变化的非单调性，斜率的变化，拐点的出现等等都会对物理过程分析带来障碍，这恰恰也是高考中的重要考点.正弦图象的非线性特征是学生理解和分析的难点，我们在学会应用线性图象的同时，就简单推广到非线性的问题导致理解错误，因而应该培养学生应用非线性图象解决物理问题的能力.所以，关注正弦函数的非线性及其处理有重要的意义.
12周期性
周期性是正弦函数的一个重要特征.在高中物理中，周期性的物理问题占有很重要的地位，正弦函数的周期性更是重点和热点，涉及到的内容有简谐运动、波动、交流电等问题.学生理解的难点在于简谐运动的周期；波动的周期性和波传播的双向可能性；正弦交变电流的周期性引起的电场力或电场力做功的周期性.这些问题都与正弦图象有密不可分的联系，并且运动的周期性会导致多解性，周期性多解问题是高中物理的难点，也是考查的重点，因此掌握解答此类问题的方法和技巧十分重要.
13对称性
以简谐运动为例，质点远离平衡位置的过程中，x增大，F增大，a增大，a与v反向，v减小，动能减小；质点靠近平衡位置的过程中，x减小，F减小，a减小，a与v同向，v增大，动能增大；经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能一定相同.理解正弦图象的对称性能够使学生对物理过程的分析更加简洁清晰，利用对称性往往能为分析多过程问题提供一种便捷途径，尤其是在周期性的物理过程当中，更能体现出学生对于物理问题的理解程度和对物理过程的整体把握能力.
2正弦函数应用于物理的障碍分析
21学生对于非线性当作线性处理的理解存在障碍
正弦图象所反映的物理过程一般较为复杂，例如物体做简谐运动位移随时间的变化关系，单摆作微角摆动时为简谐振动，也就是说，单摆的微角摆动具有简谐振动的特征，振动周期T=2πLg.事实上，当单摆的摆角小于5°时，常常是采用将其振动的非线性方程线性化的方法，克服了数学上的困难，并且描述了周期是一个与振幅大小无关的常数.根据牛顿第二定律，对于摆长为L，质量为m，处在均匀重力场中的单摆，其振动方程为
d2θdt2 gLsinθ=0
当摆角小于5°时，可用θ代替sinθ，单摆的振动方程可线性化为
d2θdt2 glθ=0
解此θ的线性方程可以得到单摆的振动周期T=2πlg.高中学生对于上述把非线性当作线性处理的过程有理解障碍是必然的，但是笔者认为，基于高中学生的认知水平，他们能够理解的是，单摆在运动过程中受到的回复力是非线性力mgsinθ，其随时间的变化关系是正弦函数，是非线性的.在单摆的初始摆角小于5°的情况下，可以使此回复力线性化为mgθ.所以，教材中也并未要求学生掌握单摆周期公式的推导，只是要求学生通过实验验证了单摆的周期与振幅、质量、摆长无关.但是这种把非线性当做线性处理的方法，对于学生理解非线性函数图象是非常有帮助的.
22学生易忽视正弦函数图象的周期性
在解决关于正弦图象的问题时，例如简谐运动、波动、交流电等问题，学生往往考虑不周，导致漏解，从而在解题的完备性方面有所欠缺.这类问题在高考题中时常会出现，学生之所以经常会忽视正弦函数的周期性，源于学生对物理规律的理解程度不够，分析与综合能力较弱以及对物理问题的思维层次不高，应当引起重视.
例1 如图1所示，在xOy平面内有一列沿x轴正方向传播的简谐横波，频率为2.5Hz.在t=0时，xP=2m的P点位于平衡位置，速度沿-y方向；xQ=6m的Q点位于平衡位置下方最大位移处.求：波的传播速度v.
解析简谐波沿x正向传播，P点位于平衡位置，速度向下，Q点位于平衡位置下方最大位移处，学生很容易忽视其周期性，误认为P、Q两点之间距离就是34λ.事实上，考虑周期性，ΔxPQ=nλ 34λ（n=0，1，2，……），波长λ=164n 3m（n=0，1，2，……），波速v=λf=404n 3m/s（n=0，1，2，……）.
23學生对于相位概念的理解有偏差
相位的概念对于理解简谐运动以及交流电的变化等问题具有重要的作用，但是由于相位的概念比较抽象，学生理解起来普遍感到困难，所以在教学中应给予重视.在人教版高中物理教材选修3-4中提到，在物理学中用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态.我们可以用正弦函数图象x=Asin（ωt φ）来描述简谐运动的位移x与时间t之间的定量关系.相当于角度的量（ωt φ）确定时，sin（ωt φ）的值也就确定了，在振幅确定的前提下，做简谐运动的质点的运动状态也就能完全确定了，所以（ωt φ）代表的就是简谐运动的相，又叫相位或位相.同样地，交流电的相可以描述和比较交流电的变化步调.学生理解困难的另一个相关的概念就是相位差，相位差是指对于两个相同频率的简谐运动的相位之差，这种情况下，两种运动的振动步调不一致，相位差能够反映一种运动相对于另一种运动振动步调的超前或者滞后，如例2.