摘要逆向思维是发散思维的一种重要形式,它是从习惯性思维的反方向进行思考和分析问题,表现为逆用定义、定理、公式、法则等,反向进行证明,从反方向形成结论。逆向思维是摆脱思维定势,突破旧有思维框架,发现新知识的重要思维方式。
　　关键词逆向思维 思维定势 逆向运用 反证法
　　中图分类号:G633.6文献标识码:A
　　
　　1 利用逆向思维探索命题的证法
　　
　　在数学教学中,存在某些数学问题的证明,若正向思维去探求它的证明,很难找到证明思路。如果采用逆向思维的方式,以结论作为思考问题的出发点,利用已知条件进行合理的推理,导出矛盾的事实,由此推出结论成立,这样往往可以使问题简化。也就是通常所谓的反证法。
　　例如:若方程,,中至少有一个方程有实数根,求m的取值范围。
　　分析:三个方程中至少有一个方程有实数根的可能性有七种。显然过程非常麻烦,并且稍不留心,就会有遗漏。此时,如果运用逆向思维,“至少有一个方程有实数根”的反面是“三个方程都无实数根”,问题会大大简化。
　　解:若三个方程都无实数根,则由判别式定理得
　　解得
　　故当时,三个方程都无实数根,则当或时,三个方程中至少有一个有实数根。
　　在数学教学中,像这样的问题会经常遇到,从正面考虑很难甚至无法解决时,从反面入手,往往可以把问题解决掉。
　　
　　2 慎重处理定理、定义的逆向运用
　　
　　逆向思维是正向思维的补充,在数学教材中,通常总是采用定义来阐述某个数学概念。数学概念的灵活运用,是应用数学知识和方法分析解决问题的基础,特别是定义的逆向运用更培养学生能力。在思维和解题训练中,必须把定义放在重要的位置。
　　例如: 已知实数x ,y,z满足,证明x=y
　　分析:两个方程三个未知数,直接证明显然有麻烦,甚至得不到答案。而由已知条件不难发现和,我们会想到韦达定理和一元二次方程根的情况。
　　解:由已知得和根据韦达定理的逆定理,x,y是一元二次方程的两实根。,又,所以。即,从而,即=0,所以方程有两个相等的实根,则x=y。
　　
　　3 加强公式、法则的逆向运用
　　
　　数学公式的双向性学生很容易理解,但很多学生只习惯从左到右运用公式、法则,而对于逆向运用却不习惯。因此在教学中,应加强公式法则的逆向运用,使学生明白只有灵活地运用,做题才能得心应手。
　　例如:求的展开式中各项的所有有理项系数的和
　　分析:我们会想到把这个二项式展开,然后把所有的有理项系数相加,得到答案,但无疑是麻烦的。若从反面考虑,不展开二项式,给字母赋值,令x=y=1代入求得二项式展开式各项系数和,再从中提取有理数部分,就可求得所有有理项系数的和。
　　解:在原式中令x=y=1,得到原式展开式中各项系数和为=是一个无理数。故展开式中各项的所有有理项系数和为零。
　　
　　4 利用逆向思维探索问题的结论
　　
　　虽然思维定势在基础知识的获得,基本问题的解决和基本技能的培养方面有着非常重要的作用,但也容易在解题中形成机械模仿,被动记忆,表现出思维的懒惰性、呆板性、依赖性。因此在平时教师应当有意识地选择一些常规方法不宜解决或解法很繁杂,但用某些特殊方法容易解决的例题,帮助学生克服思维定势,培养学生思维的灵活性。
　　例如:将函数sin的图像作如下变换:先向右平移个单位;再把所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变;最后把所有点的纵坐标变为原来的,横坐标不变。结果得到函数的图像,求sin的表达式。
　　分析:这个问题如果正向推导,其解答过程比较复杂。我们采用逆向思维的方式,从结论出发,逆向推导待定表达式,可以得到一种简捷的解法。
　　解:先把把所有点的纵坐标变为原来的4倍,横坐标不变。得到;再把再把所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到;最后把图像上所有点向左平移个单位,得到即为所求。
　　以上就是逆向思维的几个方面。数学知识是数学思维活动的结果。因此,数学教学的任务,不仅要使学生掌握教学大纲所规定的数学知识和数学能力,而且要使学生发展数学思维能力。加强思维能力的训练,有助于理解知识、培养能力和发展智力。