一个有价值的数学问题的解决，往往需要调动我们全部的智慧去提取已知、捕获念头，分析条件，拟定出有效的解题方案.根据笔者的体验，直觉的念头，直觉的延伸，到依据题设与结论的精细构造，对于问题解决将会起到极大地推进作用.以下以一道竞赛题为例，作具体分析.
　　这是一道非常特别的三角证明题，1963年出现在第5届国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试卷上，近
　　半个世纪来，这道题从未失去它应有的光环.当我们把它重新捡起，分析其中蕴含的丰富的数学思想方法，有着十分重要的意义.
　　通过审题，我们至少关注到以下三点：一是左边3项都是余弦值；二是3个角度之间存在着特殊关系；三是第2项前为负号.由于题目字数较少，因此，题意不难明了.
　　1 直觉变式，着力化归
　　上述直觉与直觉延伸，虽然解决了问题，但过程比较复杂，特别是有关计算还是比较繁琐的.能否有更巧妙的方法呢？
　　2 数形结合，活跃思维
　　进一步审题，我们会有这样的直觉念头：三个角之间有关联，这里面有没有可突破的切口呢？
　　不过，我们由向量可以会想到利用复数解题.这里涉及到怎样构造复数的问题了.复数的计算有一个特殊性，这就是实部与虚部的计算“互不干涉”，本题的计算能否利用这一性质在实部（基于题设中都是余弦三角函数值）上做文章呢？
　　利用向量求解告诉我们解题的关键是：在单位圆上找出均匀分布的7个向量，它们的横坐标之和为0.由此，不难想到单位圆上有多个与上述性质一样的向量，也应当一样得到类似的结论.我们很快就可以得到（※）式和（※※）式.
　　回顾上述解题过程，我们不难发现数学题目只是思维活动的载体，解决问题的过程也就是思维活动的过程.
　　回顾和反思本题解题过程，不难发现，直觉思维不仅能帮助我们正确、合理地运用逻辑推理手段进行思考，还能够引发我们变换思考角度， 实现认识上的飞跃.
　　与此同时，根据所给问题的特点和需要，把题设条件中的相互关系构造出来，往往能化繁为简，化难为易，独辟蹊径，收到简洁明快、出奇制胜的效果.因此，从直觉到构造，可以说是解决较抽象数学问题的一般思想方法.
　　通过上述解题思维的发散，我们更加深刻地理解波利亚所说的话，“在你找到第一个蘑菇时，继续观察，也许就能发现一堆蘑菇.”从这道证明题出发，我们的解题思路不断拓宽，思维不断跃进，是不是一样收获很大？
　　（本文系盐城师范学院自然科学研究项目“从直觉到构造：数学问题解决的突破与实现”【编号：08YCKL069】阶段性研究成果.