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一、有理数
要点1有理数的概念
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1.有理数:为了表示具有相反意义的量,须要引进正数数和负数数.引进正数和负数之后,我们学习的数就扩充到了有理数.
2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.因此,原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素.
3.相反数:只有符号不同的两个数称互为相反数.它们在数轴上位于原点两侧,到原点的距离相等.特别须要注意的是,零的相反数仍然是零.
4.绝对值:数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.记做|a|.有理数的绝对值的性质:(1)一个正数的绝对值是它本身;(2)零的绝对值是零;(3)一个负数的绝对值是它的相反数.绝对值具有非负性质,即|a|≥0.
5.倒数:1除以一个不为零的数的商,叫做这个数的倒数.注意,0没有倒数.
例1 若a与2 互为相反数,则|a+2|等于( ).
A.0B.-2C.2D.4
解析:由相反数的概念知a、b两数互为相反数,则a+b=0,可知a+2=0, 再由绝对值的特征可得本题选A.
点拨:本题中的数a与2互为相反数,可得到a+2=0,数0的绝对值是0.解得本题主要是运用相反数的概念、绝对值的概念.可见,掌握这两个概念是解决本题的关键.
要点2有理数的大小比较
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比较有理数的大小的方法主要有:(1)正数大于负数,正数大于0,0大于负数;(2)在数轴上表示的两个有理数,右边的点表示的数总是比左边的点所表示的数大;(3)两个负数大小的比较,绝对值大的反而小.
例2 数轴上的点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d,已知A在B的右侧,C在B的左侧,D在B、C之间,则下列式子成立的是().
A.a C.c 解析:先根据题意画出数轴,如下图所示:
因为“在数轴上,右边的点所表示的数一定大于左边的点所表示的数”,所以c 点拨:本题借助数轴直观表示出字母的位置,从而作出比较.原点右边的点表示正数,原点左边的点表示负数,原点表示非正非负的中性数“0”.在数轴上,若干个点所表示的数中,右边的点所表示的数一定大于左边的点所表示的数,不管这些点在原点的同侧还是异侧.注意:由于数轴是一条直线,没有端点,可以向两边无限伸展,所以既没有最大的数,也没有最小的数.
要点3有理数的运算
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1.有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.(3)一个数同0相加,仍得这个数.
注意:有理数的加法法则是进行有理数加法的依据.进行加法运算时,首先判断两个加数的符号,再确定用哪一条法则.应用法则过程中,一定要“先符号,后绝对值”.
2.有理数加法的运算律:
(1)加法的交换律:a+b=b+a.
(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
注意:利用有理数的加法运算律,可使计算简化.
3.有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数.
注意:将有理数减法转化为加法过程中,要同时改变两个符号:一个是运算符号,另一个是减数的性质符号,体现了转化的数学思想.
例3 如图所示的运算程序中,若开始输入的x值为48,我们发现第1次输出的结果为24,第2次输出的结果为12,……第2 009次输出的结果为___________.
解析:开始输入的x值为48,我们发现第1次输出的结果为24,第2次输出的结果为12,第3次输出的结果为6,第4次输出的结果为3,从第5次开始,输出的结果为6或3相间出现,故第2 009次输出的结果为3.
点拨:本题考查的是一种程序运算,就是要根据规定的运算程序,寻找运算结果的规律.这类规律运算也是近几年中考的一个靓点.
要点4近似数、有效数字与科学记数法
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1.一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这时,以左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字.
2.把一个大于10的数写成a×10n的形式,其中a是整数位只有一位的数,这种计数法叫做科学计数法.
例4在2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工中,首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.581亿帕的钢材.4.581亿帕用科学计数法表示为________帕(保留两位有效数字).
解析:4.581亿= 458 100 000=4.6×108.
点拨:用10的整数幂的形式,有时可以方便地表示日常生活中遇到的一些较大的数;当有了负整数指数幂的时候,小于1的正数也可以用科学计数法表示.例如:0.00001=10的负5次方,即小于1的正数也可以用科学计数法表示为a乘10 的负n次方的形式,其中a是正整数数位只有一位的数,n是正整数.
二、 整式加减
要点5用字母表示数
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1.用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.
2.用数字代替代数式里的字母,按照代数式的运算关系计算得到的结果,叫做代数式的值.
3.单项式:数与字母的积的代数式叫做单项式.单独一个数或一个字母也是单项式.几个单项式的和叫做多项式.单项式和多项式统称为整式.
例5下列每个图是由若干个圆点组成的形如四边形的图案,当每条边(包括顶点)上有n(n≥2)个圆点时,图案的圆点数为Sn .
按此规律推断Sn关于n的关系式为:_______ .
解析:通过观察前3个图形中的圆点的排列规律,图形上的圆点之和是4的倍数.即Sn=4(n-1)(n≥2).
点拨:观察图形,我们不难发现图形的排列规律:后一个图形的每一条边上比前一个图形的每条边上多一个圆点,4条边多4个圆点,即后一个图形上的圆点比前一个图形上圆点多4个.
要点6整式加减
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1.同类项:(1)几个单项式是否为同类项,就看它们是否具备两个条件:①所含字母相同;②相同字母的指数也分别相同.(2)合并同类项:是指把多项式中的同类项合并成一项,法则是把同类项的系数相加,字母及其指数不变.
2.去括号与添括号:去括号与添括号时,若括号前面是“+”号,去掉或添上“+”号,则括号内各项都不变号;若括号前面是“-”号,去掉或添上“-”号,则括号内各项都要改变符号.
3.整式加减:就是去(添)括号,合并同类项的过程.
例6已知x2+3x+5的值为7,则代数式3x2+9x-2的值为().
A.0B.2C.4D.6
解析:∵x2+3x+5=7,
∴3x2+9x-2=3x2+9x+15-17,
3(x2+3x+5)-17=3×7-17=4,故选C.
点拨:已知x2+3x+5的值,求3x2+9x-2的值,须先求x的值,用初一知识无法解决.若将求值式变形得出代数式x2+3x+5,再将其作整体代入,问题可化难为易.
三、一元一次方程
要点7 一元一次方程的解法
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1.一元一次方程的概念;
2.解一元一次方程的5个步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
例7 解方程:-=3.
解析:将原一元一次方程中的系数化为整数,得-=3.
去分母,得5x-10-2(x+1)=3,
去括号,得 5x-10-2x-2=3,
移项,合并同类项,得3x=15,
系数化为1,得x=5.
点拨:(1)解一元一次方程,只要通过去分母、去括号、移项、合并同类项,总能使原方程化成最简方程 ax=b(a≠0)的形式,然后方程两边同除以未知数的系数a,从而得到原方程的解为x= .
(2)在解方程过程中,去分母时不要漏乘不含分母的项,要把分子上的多项式看做一个整体加上括号;去括号时,如果括号前边是“-”号,则括号里的每一项都要改变符号;移项时,一定要改变所移项的符号;还要注意解方程时不可以写成一连串连等的形式.
(3)在解一元一次方程时,验根可帮助发现解题中的错误,应引起重视.
要点8一元一次方程的应用
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列一元一次方程解应用题,必须认真做到“设、列、解、验、答”五个步骤:“设”——审清题意,明确等量关系,恰当地设立未知数来表示某个未知量.“列”——根据问题中的等量关系列出方程.“解”——解方程.检验方程的解,并判断方程的解是否符合应用题的实际意义.“验”——双重检验,检验根的正确性,检验解的合理性.“答”——写出应用题的答案.
例8如图是2009年6月份的日历,如图中那样,用一个圈竖着圈住3个数.如果被圈的3个数的和为39,则这3个数中最大的1个为________.
解析:设中间的一个数为x,则最大的1个数为x+7,最小的一个数为x-7.由题意得:(x-7)+x+(x+7)=39,解得x=13,x+7=20,故最大的一个数为20.
点拨:这个问题来源于生活中常见的日历,着重考查学生的推理观察、归纳的能力,学生只要认真观察,不难发现,任意圈出一竖列上相邻的3个数依次大7.本题首先从特殊情形获得启发,然后推出一般的结论,这种由特殊到一般的思维方法是命题考查的热点之一.
四、图形的认识初步
要点9几何图形展开与折叠
知识链接:常见几何体的展开图.
例9 一个正方形的每一个面上都写有一个汉字,其平面展开图如图所示,那么在该正方形中,与“爱”相对的字是().
A.家B.乡C.孝D.感
解析:本题以热爱家乡为素材,考查正方体的表面展开图.解题时可亲自动手剪一剪、折一折,即可得到与“爱”相对的字是“乡”,另外也可对展开图加以分析,根据展开图对面之间不能有公共边或公共的顶点,可知“爱”的对面不可能是“我” 或“家”,折叠起来后“孝”“感” 与“爱”相邻,所以“爱”的对面不可能是“孝”“感”,所以与“爱”相对的字是“乡”,故选B.
点拨:根据正方体的展开图确定其相对面,可以通过动手折叠来得出结果,也可以直接根据展开图进行分析找相对的面.这种分析的方法较多,最简单的做法是:一个面跳过它邻面的一个面一定是它的对面,若跳过它的邻面的地方没有面,则在其垂直方向上的一个面一定是它的对面.
要点10从不同方向看(视图)
知识链接:从3个方向上看一个立体图形,得到3个不同方向上的平面图形(三视图).
例10下图所示的是由几个小立方体所搭成的几何图形的俯视图,小正方体中的数字表示该位置小立方体的个数,请画出该几何体的主视图和左视图.
解析:根据每个小方格中的数字,可以抽象出如左边的实物图,再根据实物图画出几何体的主视图和左视图.
点拨:观察所给俯视图及图中的数字,按照小立方体的排列方法可以抽象出几何体的形状,再根据这个实物画出它的主视图和左视图.
要点11点、线、面、体
知识点链接:1.点、线、面、体是构成几何图形的基本元素;2.直线、射线、线段的画法;3.角的画法;4.确定直线的条件.
例11已知线段AB=8cm,在直线AB上有一点C,且BC=3cm,求线段AC的长.
解析:题目条件只是告诉我们A、B、C三点在同一直线上,但不能判断点C是在线段AB上,还是在线段AB的延长线上,所以要分类讨论解决问题.
解:有两种情形
(1)当点C在线段AB的延长线上时,如图1,AC=AB+BC=8+3=11(cm);
(2)当点C在线段AB上时,如图2,AC=AB-BC=8-3=5(cm).
所以线段AC的长为11cm或5cm.
点拨:本题在解答的过程中运用了分类的方法.所谓分类就是根据事物的共性和差异性的特点,分别归类,然后再逐一去研究解决.在运用分类思想解决问题时,应明确分类的标准,做到不重不漏.
要点12相交线、角
知识链接:相交线、对顶角;角的概念,角的大小比较,互为余角、补角的概念.
例12如下图,直线AB、CD相交于点O. OE平分∠AOD,若∠BOC=80°,则∠AOE的度数是().
A.40° B.50° C.80° D.100°
解析:由对顶角相等,得∠AOD=∠BOC;又OE平分∠AOD,所以∠AOE=∠AOD=40°.故选A.
点拨:本题主要考查对顶角的性质,由对顶角相等和角的平分线的概念可得出答案.
要点1有理数的概念
知识链接:
1.有理数:为了表示具有相反意义的量,须要引进正数数和负数数.引进正数和负数之后,我们学习的数就扩充到了有理数.
2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.因此,原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素.
3.相反数:只有符号不同的两个数称互为相反数.它们在数轴上位于原点两侧,到原点的距离相等.特别须要注意的是,零的相反数仍然是零.
4.绝对值:数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.记做|a|.有理数的绝对值的性质:(1)一个正数的绝对值是它本身;(2)零的绝对值是零;(3)一个负数的绝对值是它的相反数.绝对值具有非负性质,即|a|≥0.
5.倒数:1除以一个不为零的数的商,叫做这个数的倒数.注意,0没有倒数.
例1 若a与2 互为相反数,则|a+2|等于( ).
A.0B.-2C.2D.4
解析:由相反数的概念知a、b两数互为相反数,则a+b=0,可知a+2=0, 再由绝对值的特征可得本题选A.
点拨:本题中的数a与2互为相反数,可得到a+2=0,数0的绝对值是0.解得本题主要是运用相反数的概念、绝对值的概念.可见,掌握这两个概念是解决本题的关键.
要点2有理数的大小比较
知识链接:
比较有理数的大小的方法主要有:(1)正数大于负数,正数大于0,0大于负数;(2)在数轴上表示的两个有理数,右边的点表示的数总是比左边的点所表示的数大;(3)两个负数大小的比较,绝对值大的反而小.
例2 数轴上的点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d,已知A在B的右侧,C在B的左侧,D在B、C之间,则下列式子成立的是().
A.a
因为“在数轴上,右边的点所表示的数一定大于左边的点所表示的数”,所以c
要点3有理数的运算
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1.有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.(3)一个数同0相加,仍得这个数.
注意:有理数的加法法则是进行有理数加法的依据.进行加法运算时,首先判断两个加数的符号,再确定用哪一条法则.应用法则过程中,一定要“先符号,后绝对值”.
2.有理数加法的运算律:
(1)加法的交换律:a+b=b+a.
(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
注意:利用有理数的加法运算律,可使计算简化.
3.有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数.
注意:将有理数减法转化为加法过程中,要同时改变两个符号:一个是运算符号,另一个是减数的性质符号,体现了转化的数学思想.
例3 如图所示的运算程序中,若开始输入的x值为48,我们发现第1次输出的结果为24,第2次输出的结果为12,……第2 009次输出的结果为___________.
解析:开始输入的x值为48,我们发现第1次输出的结果为24,第2次输出的结果为12,第3次输出的结果为6,第4次输出的结果为3,从第5次开始,输出的结果为6或3相间出现,故第2 009次输出的结果为3.
点拨:本题考查的是一种程序运算,就是要根据规定的运算程序,寻找运算结果的规律.这类规律运算也是近几年中考的一个靓点.
要点4近似数、有效数字与科学记数法
知识链接:
1.一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这时,以左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字.
2.把一个大于10的数写成a×10n的形式,其中a是整数位只有一位的数,这种计数法叫做科学计数法.
例4在2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工中,首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.581亿帕的钢材.4.581亿帕用科学计数法表示为________帕(保留两位有效数字).
解析:4.581亿= 458 100 000=4.6×108.
点拨:用10的整数幂的形式,有时可以方便地表示日常生活中遇到的一些较大的数;当有了负整数指数幂的时候,小于1的正数也可以用科学计数法表示.例如:0.00001=10的负5次方,即小于1的正数也可以用科学计数法表示为a乘10 的负n次方的形式,其中a是正整数数位只有一位的数,n是正整数.
二、 整式加减
要点5用字母表示数
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1.用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.
2.用数字代替代数式里的字母,按照代数式的运算关系计算得到的结果,叫做代数式的值.
3.单项式:数与字母的积的代数式叫做单项式.单独一个数或一个字母也是单项式.几个单项式的和叫做多项式.单项式和多项式统称为整式.
例5下列每个图是由若干个圆点组成的形如四边形的图案,当每条边(包括顶点)上有n(n≥2)个圆点时,图案的圆点数为Sn .
按此规律推断Sn关于n的关系式为:_______ .
解析:通过观察前3个图形中的圆点的排列规律,图形上的圆点之和是4的倍数.即Sn=4(n-1)(n≥2).
点拨:观察图形,我们不难发现图形的排列规律:后一个图形的每一条边上比前一个图形的每条边上多一个圆点,4条边多4个圆点,即后一个图形上的圆点比前一个图形上圆点多4个.
要点6整式加减
知识链接:
1.同类项:(1)几个单项式是否为同类项,就看它们是否具备两个条件:①所含字母相同;②相同字母的指数也分别相同.(2)合并同类项:是指把多项式中的同类项合并成一项,法则是把同类项的系数相加,字母及其指数不变.
2.去括号与添括号:去括号与添括号时,若括号前面是“+”号,去掉或添上“+”号,则括号内各项都不变号;若括号前面是“-”号,去掉或添上“-”号,则括号内各项都要改变符号.
3.整式加减:就是去(添)括号,合并同类项的过程.
例6已知x2+3x+5的值为7,则代数式3x2+9x-2的值为().
A.0B.2C.4D.6
解析:∵x2+3x+5=7,
∴3x2+9x-2=3x2+9x+15-17,
3(x2+3x+5)-17=3×7-17=4,故选C.
点拨:已知x2+3x+5的值,求3x2+9x-2的值,须先求x的值,用初一知识无法解决.若将求值式变形得出代数式x2+3x+5,再将其作整体代入,问题可化难为易.
三、一元一次方程
要点7 一元一次方程的解法
知识链接:
1.一元一次方程的概念;
2.解一元一次方程的5个步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
例7 解方程:-=3.
解析:将原一元一次方程中的系数化为整数,得-=3.
去分母,得5x-10-2(x+1)=3,
去括号,得 5x-10-2x-2=3,
移项,合并同类项,得3x=15,
系数化为1,得x=5.
点拨:(1)解一元一次方程,只要通过去分母、去括号、移项、合并同类项,总能使原方程化成最简方程 ax=b(a≠0)的形式,然后方程两边同除以未知数的系数a,从而得到原方程的解为x= .
(2)在解方程过程中,去分母时不要漏乘不含分母的项,要把分子上的多项式看做一个整体加上括号;去括号时,如果括号前边是“-”号,则括号里的每一项都要改变符号;移项时,一定要改变所移项的符号;还要注意解方程时不可以写成一连串连等的形式.
(3)在解一元一次方程时,验根可帮助发现解题中的错误,应引起重视.
要点8一元一次方程的应用
知识链接:
列一元一次方程解应用题,必须认真做到“设、列、解、验、答”五个步骤:“设”——审清题意,明确等量关系,恰当地设立未知数来表示某个未知量.“列”——根据问题中的等量关系列出方程.“解”——解方程.检验方程的解,并判断方程的解是否符合应用题的实际意义.“验”——双重检验,检验根的正确性,检验解的合理性.“答”——写出应用题的答案.
例8如图是2009年6月份的日历,如图中那样,用一个圈竖着圈住3个数.如果被圈的3个数的和为39,则这3个数中最大的1个为________.
解析:设中间的一个数为x,则最大的1个数为x+7,最小的一个数为x-7.由题意得:(x-7)+x+(x+7)=39,解得x=13,x+7=20,故最大的一个数为20.
点拨:这个问题来源于生活中常见的日历,着重考查学生的推理观察、归纳的能力,学生只要认真观察,不难发现,任意圈出一竖列上相邻的3个数依次大7.本题首先从特殊情形获得启发,然后推出一般的结论,这种由特殊到一般的思维方法是命题考查的热点之一.
四、图形的认识初步
要点9几何图形展开与折叠
知识链接:常见几何体的展开图.
例9 一个正方形的每一个面上都写有一个汉字,其平面展开图如图所示,那么在该正方形中,与“爱”相对的字是().
A.家B.乡C.孝D.感
解析:本题以热爱家乡为素材,考查正方体的表面展开图.解题时可亲自动手剪一剪、折一折,即可得到与“爱”相对的字是“乡”,另外也可对展开图加以分析,根据展开图对面之间不能有公共边或公共的顶点,可知“爱”的对面不可能是“我” 或“家”,折叠起来后“孝”“感” 与“爱”相邻,所以“爱”的对面不可能是“孝”“感”,所以与“爱”相对的字是“乡”,故选B.
点拨:根据正方体的展开图确定其相对面,可以通过动手折叠来得出结果,也可以直接根据展开图进行分析找相对的面.这种分析的方法较多,最简单的做法是:一个面跳过它邻面的一个面一定是它的对面,若跳过它的邻面的地方没有面,则在其垂直方向上的一个面一定是它的对面.
要点10从不同方向看(视图)
知识链接:从3个方向上看一个立体图形,得到3个不同方向上的平面图形(三视图).
例10下图所示的是由几个小立方体所搭成的几何图形的俯视图,小正方体中的数字表示该位置小立方体的个数,请画出该几何体的主视图和左视图.
解析:根据每个小方格中的数字,可以抽象出如左边的实物图,再根据实物图画出几何体的主视图和左视图.
点拨:观察所给俯视图及图中的数字,按照小立方体的排列方法可以抽象出几何体的形状,再根据这个实物画出它的主视图和左视图.
要点11点、线、面、体
知识点链接:1.点、线、面、体是构成几何图形的基本元素;2.直线、射线、线段的画法;3.角的画法;4.确定直线的条件.
例11已知线段AB=8cm,在直线AB上有一点C,且BC=3cm,求线段AC的长.
解析:题目条件只是告诉我们A、B、C三点在同一直线上,但不能判断点C是在线段AB上,还是在线段AB的延长线上,所以要分类讨论解决问题.
解:有两种情形
(1)当点C在线段AB的延长线上时,如图1,AC=AB+BC=8+3=11(cm);
(2)当点C在线段AB上时,如图2,AC=AB-BC=8-3=5(cm).
所以线段AC的长为11cm或5cm.
点拨:本题在解答的过程中运用了分类的方法.所谓分类就是根据事物的共性和差异性的特点,分别归类,然后再逐一去研究解决.在运用分类思想解决问题时,应明确分类的标准,做到不重不漏.
要点12相交线、角
知识链接:相交线、对顶角;角的概念,角的大小比较,互为余角、补角的概念.
例12如下图,直线AB、CD相交于点O. OE平分∠AOD,若∠BOC=80°,则∠AOE的度数是().
A.40° B.50° C.80° D.100°
解析:由对顶角相等,得∠AOD=∠BOC;又OE平分∠AOD,所以∠AOE=∠AOD=40°.故选A.
点拨:本题主要考查对顶角的性质,由对顶角相等和角的平分线的概念可得出答案.